341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1.414. ху + хг + + уг = О, ось конуса проходит в 1-м и 7-м антантах; хд + хг — рг = = О, ось пануса проходит во 2-м и 8-м оптантах; хд — хг — уг = О, ось конуса проходит в 3-м и 5-м оптантах; ху — хг + уг = О, ось конуса проходит в 4-м и 6-м актантах. 1.415. а) Окружность хг + уг = = (а/~/2)г; б) отрезки г = х а/~/2, — а/ь/2 < х < а/Щ в) отрезки г = х а/Г2, — а/Й < д < а(Г2. 1.416.
Уравнение проентирующего конуса: 9хг — 16рг — 16гг — 90х + 225 = О, контур тени — окружность уг + гг. (15у4)г 1417. а) г = хг + уг. 6) г/рг+гг хг. 1418 а) хг + гг рг. 6) гг хг + дг 1419 а) г е-г '+и'). 4 хг уг б) г = 1.420. — + — = 1. 1.421. Поверхность образована хг+уз' ' аг Ьг хг гг вращением гиперболы — — — = 1, р = 0 вокруг осн Ог.
аг сг 2.1. 18. 2.2.4аЬ. 2.3.1. 2.4. (а-Ь)'. 2.5.0. 2.6.1. 2.7.1. 2.8.хг —— я хй = — 4 хг = -1. 2.9: х= — + — й Е Е. 2.10. Указание. Показать 6 3' 1 что днснриминант соответствующего квадратного трехчлена неотрицателен. 2.12. О. 2.13. О. 2.14. аЬс+ х(аЬ+ Ьс+ са). 2.15. аг + ~3г + уг + + 1. 2.10. з(п(а-Д) + з(п(ф — 7) + з$п(7 — а). 2.17. -3. 2.18. ЗьГЗг. 2.19.
-4х ~Г22. 2.20. ( — оо, + оо). 2.21. (4, + оо). 2.22. (-6, — 4). 249 Ответы и указания 2.26. Ук а за н ие. Показать, что последний столбед исходного опреог 2 делителя можно представить в виде Ь = (а + Ь + с) 2 -(аЬ + ас + Ьс) Ь + аЬс 1 , и воспользоваться этим представле- кием. 2.2Т. О. 2.28. О. 2.29. О. 2.30. О. 2.33.
Парабола р = (х — а)(р- Ь). четная. 2.36, Нечетная. 2.37. Нечетная. 2.38. Четность подстановки совпадает с четностью н. 2.39. Если н нечепго, то подстановка четная при любом Ь; если и четно, то четкость подстановки совпадает с четиостью Ь. 2.40. Входит со знаком минус. 2.41. Входит со знаком плюс. 2.42. Не входит. 2.43. Входит со знаком плюс. 2.44. 2 = 5, Й = 1. 2.45.1 = 6, п(п-11 Ь = 2.
2.46. 10х4 — бхг. 2.4Т. ( — 1) г, а1«аг и 1...о«1. 2.48. О. 2.49. а) Не изменится; б) не изменится; в) обратится в нуль; г) умно- и(«-11 жится на (-1) 2; д) умножится на (-1)п 1. 2.50. -2. 2.51. -14. 2.52. 4. 2.53. О. 2.54. а) 8а+ 155+ 12с — 194; б) 2а — 8Ь+ с+ 54 в) 2а — Ь вЂ” с — д. 2.55. О. 2.56. 48. 2.5Т. 223. 2.58. 9ь(ГО(~/3 — 1/2).
2.59. (Ье — <41)2. 2.60. (Ь-с — Ы)(Ь+ с+ д)(Ь вЂ” с+ ф(Ь+ с-д). 2.61. 394. 2.62. 665. 2.63. хэ — х4 + хг + хг — 2х + 1. 2.64. 2х49(р — т)е. 2.65. ап УКаэаНИЕ. ДаваэатЬ, ЧтО ИСХОдНЫй ОлрсдспнтЕЛЬ 41«(а) МОЖНО ПрЕдставить ввиде 41„(42) = а12„1(42). 2.66. а" +)у".
2.6Т. 115 2.68. 2н+ /1 1 1 1 + 1. 2.69. 1. 2.70.( — 1)п 1.н. 2.71. †аг...а„ ~ — + — + ... + †) . ~а1 аг о п(п-11 1 2 5. -3'1 2.72. н + 1, 2.Т3. ( — 1) 2 П (о; — оь). 2.Т6. ~ 1<2<4<« ~ — 6 7 — 8) 2.77.. 2.Т8.. 2.ТЭ.. 2.80. Ответы и указания 250 5 — 5 11 -22 29 56 3 10 0 . 2.82. 9 -27 32 . 2.83. 69 . 2.84. а) (31); 2 9 -7 13 — 17 26 17 2.81 5 б) 35 па Л» пЛ»-~ соа пгг з1п па 21 -23 15 (8 151 / — 3 21 2.90. ~ ~ . 2.91. ~ ~ . 2.92. -13 34 10 ~ О 23,~ -1 — 1~ -9 22 25 4 1 9 (12 -4) 2.94. -2 -6 3 -8 — 9 2 /а 2Ь (а ЗЬ 2.96.
, где а и 6 — любые числа. 2.97. ЗЬ а+36 ~ — 5Ь а+ 96) а Ь с где а и Ь вЂ” любые числа. 2.98. 0 а Ь, где а, Ь и с — любые 0 0 /а 6| числа. 2.99. , где а, Ь, с — произвольные числа, удовлетворяЛс -а/ ~а Ь\ ющие соотношению аз + Ьс = О. 2.100. ~Е;, где аз + Ьс = 1. с — а 2.101. а) 1-я и у-я строки произведения поменяются местами; б) к 1-й строке произведения прибавится учя строка; умноженная на аб в) 1-й и у-й столбцы поменяются местами; г) к 1-му столбцу произведения при- бавится ~-й столбец, умноженный на а.
12 0 -6 9 3 4 0 — 2 3 1 — 4 0 2 — 3 — 1 20 0 -10 15 5 8 0 — 4 6 2 0 0 0 295. 0 0 0 0 0 0 Ответы и указания 251 5 -2 21 -1 5 — 6 — 4 2.104. — 6 12 0 — 4 0 8 2.103. 5 -3 7 21 -3 26 — 2 7 — 2 10 5 — 1 5 -1 5 -1 5 -1 5 — 1 5 -1 5 — 1 5 5 — 1 5 — 1 5 -1 5 — 1 5 1 -1 1 сова вша 2.108.
— в1па сова 2.109. -38 41 -34 27 -29 24 1 — 1 0 ... 0 0 1 — 1 ... 0 2111 0 О 1 ... 0 -8 29 -11 2.110. -5 18 -7 1 — 3 1 0 0 0 ... 1 1/2 -1/2 1/4 1/20 -1/4 -3/20 -1/4 3/20 1/4 -1(20 — 7/3 2 — 1/3 1/9 2/9 2/9 2.114. 5/3 -1 -1/3 . 2.115. 2/9 1/9 -2/9 -2 1 1 2(9 -2(9 1/9 1/4 1/4 1/4 1/4 2.112, 1/4 -1/4 1/4 -1/4 1/4 3/20 1/4 1/20 2.113. 1/4 -1/20 1/4 -3/20 1/2 -1/2 0 3/2 -1/2 -5 3 Ответы и укаэания 252 2.116.— 1 4 2.117.
1 ... 1 1)п ' 1 -1 0 1 1 1 1 Цп-2 ( 1)п-3 2.118. 0 0 О 0 0 0 0 ... О 1/и 6 4 5 2.121.. 2.122.. 2.123.. 2.124. 2 1 2 3 3 3 2 1 2 (-1 -1'1 2.12Т. ~ ) . 2.128. 0 2 1 1,0 -1( 0 0 2 1 2 3 2.125. 4 5 6 7 8 9 5 5 2.129.— 1 9 -7 5 . 2.131. 11, 4, — 7, 7). 2.132. 14, 6, — 35, — 1). 5 — 7 2.133.170,40, -20, -16). 2.134. 51, 26, †, ††) . 2.135. ~--, 1, 3, 3 . 37 23'1 / 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 -1/6 1(2 -7(6 10/3 -7/6 -1/2 5/6 -5/3 2.119.
3/2 1/2 -1/2 1 1/2 1/2 -1(2 1 1 0 0 ... 0 -1/п 0 1/2 0 ... 0 0 2 120 О О 1/3 ... О О -7 5 12 -19 3 -2 -5 8 41 -30 -69 111 -59 43 99 -159 Ответы и указания 253 2.136. (-17, -13, 41, 5). 2.137. (-8/3, -Т/3, -16/3, -11/3). 2.138.( — 23/4, -29/8, 27~8, 9/8), 2.140.Линейнонезависима. 2.141. Линейно аависима.
2.142. Линейно неаависима. 2.143. Линейно зависима. 2 144. У к а за н не. Расписав векторное равенство сззе1 + агег + 4ззез + + 424е4 = О покомпонентно, показать, что получающаяся система четырех уравнений (относительно а1, 422, 423, 424) имеет единственное решение 441 — — 422 = сзз = 444 — — О. 2.145. 43 Положим хзе1 + хгег + хзез + + х4е4 + хзез — — х и распишем это равенство покомпонентно: х1 = 1, х1 + х2 О~ х1 + хг + х3 1~ х1 + хг + х3 + х4 — О~ х1 + х2 + + хз + х4 + хз — — 1. Решая эту систему, находим х1 = 1, хг = — 1, хз=1, х4= — 1, хз=1, Итак,х=ез — ег+ез — е4+ез 4> 2.146. 5е1 — ег — ез — е4 — ез. 2.150.
2. 2.151. 3. 2.152. 3. 2.153. 2. 2.154. 2. 2.155. 2. 2.156. 2, если Л = О, и 3, если Л „-4 О. 2.15Т. 3 при любом Л. 2.159. 3. 2.160. 2. 2.161. 3. 2.162. 2. 2.163. 2. 2.164. 2. 2.165. 2. 2.166. 3. 2.16Т. 5. 2.168. 4. 2.169. 3. 2.170. б. 2.1Т4. Линейно независима. 2.1Т5. Линейно зависима. 2.176. 3. 2.1ТТ.
3. 2.178. Л = 15. 2.179. Л ф 12. 2.180. Ни при каких Л. 2.181. т = 3; гз = (аг, аз, а4). 2.182. т = 3; гз = (аз,аг, аз). 2.183. т = 3; Ъ = (аз,аг, а4). 2.184. т = = 2; 221 = (аз,аг), гзг = (аг, аз). 2.185. т = 2; %1 = (аз,аг), гзг = (аз,аз), гзз = (а1, а4). 2.186. т = 2; 231 = (а1, а4), гзг = = (аг,а4), Из = (аз, а4). 2.187. х = 16, у = 7. 2.188. х = 2, у = 3. 2.189. х = — Ь, у = — (2(3)а. 2.190.
х = 2, у = — 1, г = 1. 2.191. х = = 1, у = 3, 3 = 5. 2.192. х = 3, у = 1, г = — 1. 2.193. х1 = 1, хг = — 1, хз = 2, х4 = — 2. 2.194. х1 = 2 хг = хз = х4 = О. 2.195. Степень многочлена меньше двух, если выполняется соотношение Ь = (Уз — Угйхг — х1) = (уг — У1)(хз — хг); если Й ф О, то степень равна единице; если же Ь = О, то степень равна нулю. У к а ванне.
Доказать, что определитель системы уравнений уз = ахг + Ьх; + с, 1 = 1, 2, 3 (с неизвестными а, Ь, с) отличен от нуля. 2.196. 7(х) = хг — 5х + 3. 2197.у1(х) = ( ги з) т( ) = ( 1)( з) у( ) = (Х1 — Х2)(Х1 — ХЗ) (Х2 — Х1)(Х2 — ХЗ) (х — х1)(х — хг) 2.198. х = — 3, хг = 2, хз = 1.
2.199. х = — 1, (ХЗ вЂ” Х1НХЗ вЂ” Х2) хг = 1, хз = — 2. 2.200. х1 = 1, хг = 1, хз = -' 1, х4 = — 1. 2:201. х1 = — 2, хг = О, хз = 1, х4 = — 1. 2.202.х1 = 1, хг = 2, 254 Ответы и указания хз = 2, х4 = О. 2.203. хз = 2, хг = — 2, хз = 1, х4 = — 1. Ф 2,204. (1 + н'Зсм сз)~. 2.205. Система несовместна. 2.206. Система несовместна. 2.20Т. (-1 + 2см 1 + см сз)т.
2.206. (-1, 3, — 2, 2)т. Г 2 1 9 10 5 1 2.209. (О, 2, 1/3, — 3/2)т. 2.210. ~- — + — сз — — сг, — — — сз + — сг, '~п и и'п п и т с„сг . 2.2П. Система несовместна. 2.212. (см — 13 + Зс„-7, 0)" . / б 8 1 13 15 6 2.213. ~-- + -см — — †— — -см с,) . 2.214.Системанесовместна.
'(, 7 7 '7 7 '7 7 ' )' 2.215. (см сг, 5 — 8сз + 4сг, — 3, 1 + 2сз — сг) ". /20 53 5 5 5 1 2 2.216. ~ — + с1 — — сг, — — — -с1 + -сз, — — + -сг, см сг) ),9 9 ' 3 2 6 ' 9 9 ' ' ) / 1 7 5 7 1 2 217 сг сг сз1 сз~ сг> 1 сз~ сз (, 2 12 4 8 ' ' ' 2 ' ) 2.218. Если Л ~ О, то система несовместна; если Л = О, то / 3 5 13 7 7 19 Х = ~-- — -сз — — сг, — — — -сз — — сг, сы сз) . 2.219. Если 2 2 2 ' 2 2 2 ' ' ) (Л вЂ” 1)(Л + 3) -,Е О, то Х = — (1, 1, 1, 1); если Л = — 3, то система несовместна; если Л = 1, то Х = (1 — сз — сг — сз, см сг, сз)т.
2.220. Если Л = 8, то Х = (см 4 + 2с1 — 2сг, 3 — 2сг, сз)з", если Л ф 8, то Х = (О, 4 — 2см 3 — 2см сг)т. 2.221. Если Л(Л + 3) УЕ О, то Х = 1 = — (1, 1, 1)т; если Л = — 3, то система несовместна; если Л = О, то Х = (1 — сз — сг, см сг)". 2.223. сзЕм Ез — — (3, 1, 5)т. 2.224. сгЕг + + сгЕг, Ез = (2, 1, 0), Ег = (3, О, 1)т. 2.225. Система имеет только тривиальное решение. 2.226. сгЕм Е1 = (4, 1, — 5)т.
2.22Т. с1Е1 + + сгЕг, Ез = (8, — 6, 1, 0)т, Ег = (-7, 5, О, 1)т. 2.228. с1Е1 + сгЕг, Ез (1 0 5/2 7/2)т Ег = (0,1 5 7)т 2229. с1Е1 + сгЕг + + сзЕз Ез = (1, 0,0, -9/41 3/4)т, Ег = (О, 1~ О, — 3/2, 1/2)т, Ез = (О 0 1 2 1)т 2 230.с1Ез + сгЕг + сзЕз, Ез — (1, 1 1 1 0 0)т Ег =(-1 0,0 0 1 0)т Ез (О 1 0 0 0 1)т 2231.сдЕ1 +сгЕг, Е1 = (О 1/3 1 0 0)т Ег = (О -2/3 0 0 1)т.
2.232. с1Ез + сгЕг) Ез = ( — 3, 2, 1, О, 0)т, Ег = (-5, 3, О, О, 1)т. 2.233. Строки матрицы А не образуют, а строки матрицы В образуют. Указание. Если ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен г, то необходимо про- Ответы и указания 255 верить, что а) ранг А (соответственно В) равен 5 — г; б) строки матрипы А (соответственно В) являдотся решениями исходной системы.
2.234. ад — — 2, Х = сдЕд, Ед = (1, О, -2); аг = — 4, Х = одЕд, Ед = = (1, -24/5, — 4/5) г. 2.235. ад = — 1, Х = сдЕд, Ед = (-5/3, 1/3, 1) 2.236. Хо + сдЕ, + сгЕг + сзЕз, Хо = (1/3, 1/3, О, О, 0), Ед = (О, 1, 1, О, 0), Ег = (О, 1, О, 1 0), Ез = (1/3, — 5/3 01 О 1)т. 223Т Хо + сдЕд + сгЕг + сзЕз, Хо = (2/3 1/6,0,0 0)г Ед =(0,1/2,1 0,0)т Ег=(0 — 1/2 0 1 О) ~ Ез=(1/3 5/б 0 0 1)т. 2.236.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
