341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 48
Текст из файла (страница 48)
О О О О О О 1 ЗЙ О О О О О О О 1 ; 3.114. Оператор обратим в том и только в том случае, когда Л ~ О; , А гх = — х. 3.115.а) Операторпроектированилна ось,заданнуювекто: ром е, не имеет обратного; б) оператор не имеет обратного. 3.116. а) Оператор проектирования на плоскость, перпендикуллрную вектору е, не имеет обратного; б) оператор зеркального отражения в плоскости, перпендикулярной вектору е, обратим, причем А ' = А. Указание. Последнее следует из равенства Аг = Е, которое геометрически очевидно, но может быть и проверено следующим образом: Агх = А(х — 2(х, е)е) = х — 2(х, е)е — 2(х, е)Ае = г = х — 2(х, е)е — 2(х, е)(е — 2е) = х = Ех, х Е Уз.
Ответы и указания 262 3.117. А 'х = ( — х + 29 — г)1+ ( — х — Зр — 2а)1 + (2х — Зр + 2х))с. 3.118. Оператор не имеет обратного. 3.119. 11 '(е, х) = Ще, — ~р) = = ٠— е, аг). 3.120. А ' = А. 3.121. Оператор не имеет обратного. 3.122. А 'х = -(хг + 2хэ + 2хэ, 2хг + хэ — 2хз, 2хг — 2хэ + хэ).
3.123. а) >)<„— двумерное подпространство всех векторов, ортогональных вектору е, ҄— одномерное подпространство всех векторов, коллинеарных вектору е; б) ̄— одномерное подпространство всех векторов, коллинеарных а, ҄— двумерное подпространство всех векторов, ортогональных а. 3.124. Фо = Ро = К, То = Р„г. 3.126. гх = 2, базис Т„: ег = (2, 1, 1), еэ = ( — 1, — 2, 1); н„ = 1, базис >г'„: е = = (1, 1, 1). 3.127. г„ = 1, базис Т„: е = (1, 1, 1); н„ = 2, базис М„: ег = (1, -1, О), еэ = (1, О, -1). 3.129.
Л = а, х<л) — любой ненулевой вектор. 3.130. Лг = 1, х<л') = х1, х )Е О; Лэ = О, х<л') = у) + х)с, х<л'> ф О. 3.131. Л = О, х<л) = х1, х ф О. 3.132. При <о = 2гг<, 1 = = О, х1, ..., оператор 11(е, чг) совпадает с единичным. Поэтому в этом случае Л = 1, а хрй — любой ненулевой вектор.
При <а = (21 + 1)я, ! = = О, х1,..., Лг = 1, х<л'> = ае, а ф О, Лэ = — 1, х<л'> — любой ненулевой вектор, перпендикулярный вектору е. При у ф гг1, 1 = О, х1, ..., оператор имеет единственное собственное число Л = 1, а хОО = ае, а ~ О. 3.133. Лг = 1, х<л'> — любой ненулевой вектор, компланарный плоскости отражения, Лэ = — 1, х<л'> = ае, а ф О.
3.134. Л = — 1, 1 аФО 3135 Л=2 Х<л) а Х<л) = а аэ не равны одновременно нулю. 3.136. Лг — — 1, Х< Л О Х<л,) =сг 2 афО 3137 Л 1 Х<л) а 3138 Лг —— 3 Х<л') = сг 2 Лэ = — 1, Х<л'> = а 2 а ~ О. Ответы и указания 263 3.136. Л, = 1 Х(л ) = а, , ад, аг не равны одно- временно нулю; Лг —— — 1, Х(л') = а 5, а ~ О.
3.146. Л1 = 2, Х(л1) = а ; Лг =1 Х(л') =а 1; афО. 3.141.Л= — 1, Х(л) = а1 + аг 1 аг + аг ~ О. 3.142. Л1 = — 1, Х(л') = ' Лг=2 Х(л') =а ) Лг = — 2 Х(лг) =а 3; афО. ; 3.143. Л = 2, ХОО = а -4, а ф О. 3,145. При любых (я ф О, и 3 ° оператор А имеет два собственных числа Лг(~р) = сову + г з1п|р = е'т, , Лг(сг) = сову — (в!и у = е '". Соответствуюп(ие им собственные веку' й (й ~ хоры: Х(~') ((г) = а и Х(~') (у) = (3 ~, где а и (1 — произволь— г 1 (. ные отличные от нуля комплексные числа. При )г = 0 и ~р = х оператор 1 А имеет по одному собственному числу: Л((о = 0) = 1, Л(р = х) = ) = — 1. В обоих случаях собственным вектором являетсн любой ненуле, вой вектор из комплексного пространства Ег.
3.146. У к а за ние. К равенству (А — ЛЕ)Х(л) = О применить операцию комплексного сопряже- 1 3 — Зг 5 — 3( 1- ..' ния. 3.147. Л( = 1, Х(л') = а ; Ля=2+3(, Х(л') =а Ответы и указания 264 3+ 31 Лг = 2 — 31 Х(лг) = а ; о Е ь.', а ф О. У к а з а н и е. Вос- 5+ 31 пользоваться результатом задачи 3.146. 3.149. б) Л„- = 1/Л„. — 83 — 59 — 45 /3 61 3.151. ~ ) . 3.152. 107 83 67 3) 14 10 3 — 2 — 1/2 0 -1/2, Р' = 2 3/2 0 2/3 0 -3/2 3.153. -11 сг 8 е 8 3 154 Р 1/2 1/2 0 1 0 ег 0 0 0 . 3.155.Р= 0 0 3, Р'= 1 0 -1/2 — 1 — 1 1 0 0 0 0 4/3 0 3.156. Поворот на угол а вокруг начала координат по часовой стрелке / 1 О'1 1 /Ьг — аг -2аЬ Л 3.157. ~ ).
3.158. ~ ), если аЬ ф. 0; ~Ь/а О) аг + Ьг ~ — 2аЬ аг — Ь') < о'Л /-1 О'Л ) при а = 0; ~ при Ь = О. 3.159. О Пусть ам ..., а„Е О -1) '),О 1) Е П" соответствуют вектор-столбпам матрипы А. По теореме КронекераКапелли система совместна тогда и только тогда, когда гапбА = гап8 А, т. е. вектор Ь, соответствующий вектор-столбпу В, принадлежит линейной оболочке векторов аы ., а„, которые соответствуют также вектор- строкам сопряженной матрипы А' (рассматривается действительный случай). Арифметический вектор х является решением сопряженной системы по определению тогда и только тогда, когда (а,, х) = О, 1 = = 1, 2, ...,л, а значит, и (Ь,х) = О. Теорема доказана.
В комплексном случае строками матриды А* являются не векторы аг, ..., а„, а их комплексно-сопряженные, но доказательство проводится аналогично. 1> 3.160. Совместна; общее решение сопряженной системы се, е = ( — 1, — 1, 2). 3.161. Несовместна; общее решение сопряженной системы с|е1 + сгег, е1 — — ( — 1, 1, 0), ег — — ( — 1, О, 1). 3.162. Совместна; сопряженная система имеет только тривиальное решение. 3,163. Совместна; общее решение 265 Ответы и указания сопряженной системы как в аадаче 3.161. 3.164.
Указание. Воспольаоваться теоремой Фредгольма. 3.165. Только система из задачи 3.162. О , А= 2 2 Ез = — 1 Ез = 3.172. Ез = 1 ΠΠΠ— 1 2 Ез = 1 4 1 О О 3.1ТЗ. Ез О О О О 2 О О О 2 ,Е4 = 3.174. Ез = 1, Ез А = 3 О О , А = О О О . 3.1Т5. Диагонализировать О,Ез= 1 О О О нельзя. 3.176. Ез — — О ,Ез= ,Ез= 1 .'3.17Т. Ез = О, Ез Ез ' 3.1ТЗ.
Ез Ез = 1 О О О О -1 О О О О 2 ΠΠΠΠ— 3 О О О ,А= О 1 О О О 1 2 О О О 2 О О О 1 Ответы и указания 266 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 О 0 2 0 0 0 0 2 1 ,Ез= 1 0 ,Ез= 0 3.179. Е~ —— 1 0 0 0 3.180. а) 0 1 0 0 А = 0 0 -1 0 0 Е< —— 0 0 0 0 -1 /'1 О'1 (2 -11 б) при т четном, при т нечетном. Уназапие. 10 1) ~3 -2) /3197 -12661 Использовать формулу А = Т ьР'"Т. 3.181. ~ 7385 -2922) 189 -189 127 -126 . 3.183. Ес = 3.182. 252 -251 9 0 0 -9 0 . 3.184.Е 0 18 9 0 0 9 0 . 3. 0 0 27 2 0 ЕЗ 1/ Ез = 1/ 2/ , Р=, 3.188.У=в 2 ~/6 1 — 1 ~/6 ,Р= 0 0 /3 /3, Р /3 / / / 1+~ ~/6 — 2 ~/6 267 Ответы и указания /2 01 В = ~ ). 3.189. 11 = 1,0 8) 2/3 -2/3 -1(З 1 О О 3.190.
У = 2/3 1/3 2(3, П = 0 4 О 1/3 2/3 -2/3 2 2 1 0 О 7 Л ЗЛ 1 4 3.191. У = Л ЗЛ 5 О ЗЛ 1 0 О ,В= О 1 О О О 10 1 1 6 Π— 4 3.203.А= О 6 2 . 3.204.А= О 1 2 — 4 2 6 1 2 3 3 — 1 — 1 — 1 3.206. А' = 1 -3 1 1 1 1 3.205. А' = -1 — 1 3 — 1 3.211. х, — хг — х з, ,г ,2 3.210. х', + х'г Х1 = Х,— Х1 = Х1 — Хг — Х3! ! ) Х2 =Х1+Х2 — ХЗ, Хз. ) хз = ! хз = 3.213. 9х', + 18х'г — 9х'3, Х1 — Х1 + Х2 ХЗ! 3 3 3 1, 2, 2, хг — — — -х', + -х' + -х', 3 3 3 2, 1, 2 хз = -х' — -х' + -х'. 3 1 3 2 3 ~ 3.212.Х", +х", )2 Хз! 1 Х)=-Х,+Хг ! 2 ! Х2 + ХЗ! — Х' + Хз.
хз = )2 хз! 1 2 хг + 1 -х'— 2 2 5, 6 3' Охз, 1, хз. 3 3 2 3 2 3 1/2 1/2 1 Л Л О О 1 5 0 0 Π— 3 О О О 1 Ответы и указания 268 + бх'2 — 2х'3, 1, 1, 1 3(-хз + (-хг + (2хз 1, 1, 1 — Х', — — Х,'+ — Х3, Л Лб 1(2 1, 2 — Х' — — Х.з. 3/3 3(6 ,2 ,г Хг Х31 1, 1, 1 ухг + ухг + (-хз, 1, 1, 1 — Х~~ + — Хг — — Хз, ЛЗ 3(6 3/2 1, 2 — Хз — — Х~. 3(3 1(6 3.214. Зх'3 Хз —— хз = + 18х'2 + 18х'3, 1, 2, 2 Х2 + ХЗ~ 3 ' 3 3 2, 1, 2, ХЗ Хг Х31 3 3 3 2, 2, 1 хг+ х2+ хз' 3.216.
Ох", 3.215. 5х', хз = хг = Хз = 3.218. Положительно определенная. 3.219. Отрицательно определенная. 3.220. Общего вида. 3.221. Отрицательно определенная. 3.222., Положительно определенная. 3.223. Общего вида. 3.224. Положительно ,г определенная. 3.228. Эллипс — + у' = 1, О'( — 4/5, 2/5), ез 2 = (1/Л, 2/Л), ег = (-2/Л, 1/3/5). 3.227. Парабола у'. = 43(2х', О'(2, 1), ез — — (1/3(2, 1/3(2), ег = ( — 1/3(2, 1/3(2). 3.228.
Гипербола — — = 1, О'(1, 1), ез = (3/ЯЗ, 2/ДЗ), ег = (-2/ъ(ГЗ, 3/ЛЗ). 4 9 3.229. Параллельные прямые х' = х Л/2, О'( — 3/5, — 3/10), ез —— = (-2/3(5, 1/Л), ег = (1/Л, 2/Л), или, в старых переменных, !2 ,г х' у' 2Х вЂ” у + 1 = О, 2Х вЂ” у — 4 = О. 3.230. Эллипс — + — = 1, 35/б 35/Зб О'(7/6, 1(З), ез = (2/Л5, -1/Л), ег = (1/Л, 2/Л). 3.231. Парабола у" = — *', О'(3,2), е, = (-2/Л, -1/Л), е, = (1(Л, -2/Л). 5 ° г 3.232. а) При Л Е ( — со, — 1) — гипербола (х — Л)2 + Л у — -) Л) Лз + 1 , при Л = — 1 — две пересекаюпгиеся прямые х — у = О, Л 2 х + у + 2 = О, при Л Е ( — 1, 0) — гипербола (х — Л)2 + Л у — — ) Л) Лз = —, при Л = 0 — парабола хг = 2у, при Л Е (О, + оо) — эллипс Л Ответы и указания 269 1Лг Лз+1 (х — Л)г + Л у — — ) = —; б) при Л Е ( — оо, — 1) — гипербола л) л (1 — Л)х' + (1 + Л)у' = 1, О'(О, 0), ез — — ( — 1/зГ2, 1/зГ2), ег = = ( — 1/~Г2, — 1/зГ2), при Л = — 1 — две параллельные премые х-ух1 = = О, при Л Е ( — 1, 0) — эллипс (1 — Л)х' + (1 + Л)у' = 11 0'(03 0)3 е, = ( — 1/зГ2, 1/зГ2), ег = (-1/Л2, -1/~/2), при Л = Π— окружность х + уг = 1, при Л Е (О, 1) — эллипс (1 — Л)х' + (1 + Л)у' = 1, О'(О, О), ез = (-1/~Г2, 1/зГ2), ег —— ( — 1/зГ2, -1/~2), при Л = 1 — две параллельные премые х + у х 1 = О, при Л Е (1, + оо) — гипербола (1 — Л)х' + (1 + Л)у' = 1, 0'(О, 0), е1 = ( — 1/Л2, 1/~Г2), ег = ( 1 1Л вЂ” —, — — ).
3.233. Эллипсоид — + — + — = 1, О'(1,2,-1), ~Г2 ~Г2) 2 1 2/3 ез = (1/3, 2(З, 2/3), ег = (2/3 1/3, -2/3), ез = (2/3, -2/3, 1/3). ,г ,г 3.234. Гиперболический параболоид — — — = — 2з', О'(1, 2, 3), е1 — — (-2/3, 1(3, 2/3), ег = (1/3, -2/3, 2/3), ез = (2/3, 2/3, 1/3). х' у' г' г г 3.235. Дэуполостный гиперболоид — + — — — =-1, 0'(О, 1, -2/5), 4/5 4/15 4/25 е1 — †(1/зГ2, — 1/~Г2, О), ег = (1/зГ2, 1/зГ2, О), ез = (О, О, 1). 3.236. Эл~г гг липтический параболоид + — = 2г', 0'(-1/40, -19/40, 1/2), 5~Г2/4 ~Г2/2 е = (1/зГ6, 1(зГ6, -2/зГ6), ег = (1/зГЗ, 1(~ГЗ, 1(~ГЗ), ез = (1/Л, -1/~Г2, О). 3.237.
Параболический цилиндр у' = -х', 0'(2, 1, -1), е1 — — (2/3, 2/3, 1/3), ег = (2/3, — 1/3, -2/3), ез = (1/3, — 2/3, 2/3). гг уг 3.238. Эллиптический цилиндр — + — = 1, О'(О, 1, 0), е1 = (1/зГЗ, х' у' 2 1 1/~ГЗ, — 1/зГЗ), ег = (1/~Г6, -2/зГ6, -1/зГ6), ез = (1/~Г2, О, 1/Л). 3.239. Однополостный гиперболоид — + — — — = 1, 0' 1/3 1/6 1/2 ' ~ 3' 3'3)' е = (1( ГЗ, -1/ Гз, 1/ ГЗ), е = (1/Л, 2/зГ6, 1/зГ6), е ,г д = (1/Л, О, — 1/Л). 3.240. Гиперболический цилиндр — — — = 1, 1/3 1/3 О'(1/6, 1/3, — 5(6), ез — — (1/зГ2, О, — 1/~Г2), ег = (1/ь/3, -1/ЛЗ, 1/~ГЗ), ез = (1/зГ6, 2/зГ6, 1/зГ6). 270 Ответы и указания 1/ 41 11 11 -1111 3.243 Тензор типа (3, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
