341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 45
Текст из файла (страница 45)
У к а ванне. Написать уравнение искомой окружности в виде хз + рз + Вх + Еу + Е = О, подставить в него координаты каждой точки и затем найти В, Е и Е. 1.243. 2х — 5у + 19 = О. 1.244. а) 7; б) 2. 1.245. а) Пересекает; б) касается; в) проходит вне 4 овружности. 1.246. а) а = 5, Ь = 3; б) Е1( — 4, 0), Ез(4, 0); в) е = -; 5' 25 25 хз рз хз уз г) юг'. х = — —, Вз. х = —.
1.247. а) — + — = 1; б) — + — = 1; 4' 4 9 4 ' 25 9 хз р2 х уз хз ут х уз в) — + — =1; г) — + — =1; д) — + — =1; е) — + — =1. 25 16 ' 169 25 ' 5 1 ' 64 48 1.248. + = 1. 1.249. а) С(3, -1), а = 3, Ь = Л, е=Я/3, В~. 2х+З=О; Рз. 2х — 15=0; б)С(-1,2), а=5, Ь= = 4, е = 3/5, Вд. Зх + 28 = 0; Вз.
'2х — 22 = 0; в) С(1, — 2), а = 4, 244 Ответы и указания 2 Ь=22ГЗ, е=1/2, Р,: у+10=0; Рг. у — 6=0. 1.252.— + + — = 1, гкг = 4 х ь/3, рдг = (4 х ~/3) 1 253 ( — 15/4, хг/63/4). 4 ' ' ' с/3 1254 2хг 2ху+ 2уг 3 0 1255 7хг 2ху+ 7дг 46х+ 2у+ 71 = 0 1.256. а) Прямая пересекает эллипс; б) проходит вне эллипса; в) касается эллипса. 1.258. Зх + 2р — 10 = 0 и Зх + 2у + 10 = О.
1.259. х + у — 5 = = 0 и х + у + 5 = О. 1.261. х + у — 5 = 0 и х + 4р — 10 = О. 1.262. Мо( — 3, 2), ДЗ. 1.264. 2х+ 11р-10 = О. Укааание. Воспользоваться результатом задачи 1.263., 1.265. а) а = 3, Ь = 4; б) гг(-5, 0), 5 4 9 Ег(5, 0); в) е = —; г) у = х -х; д) х = х —. 1.266.
а) а = 4, 6 = 3' 3' 5 5 4 16 = 3; б) Ег(0, -5), Ег(0, 5); в) е = †; г) р = х -х; д) р = 4' 3' 5 хг рг хг уг хг уг хг уг 1.267. а) — — — = 1; б) — — — = 1; в) — — — = 1; г) — — — = 4 9 ' 9 16 ' 4 5 ' 64 36 = 1; д) — — — = 1; е) — — — = 1. 1.268. х' д' , х' д' (х — хо)' (у — до)' 36 64 ' 4 5 аг Ьг = 1.
1.269. а) С(2, — 3), а = 3, Ь = 4, е = 5/3, уравнения асимптот: 4х — Зу — 17 = 0 и 4х + Зу + 1 = О, уравнения директрис: 5х — 1 = = 0 и 5х — 19 = 0; б) С(-5, 1), а = 8, 6 = 6, е = 5/4, уравнения асимптот: Зх + 4у + 11 = 0 и Зх — 4р + 19 = О, уравнения директрис: х= — 11,4их=1,4; в)С(2,— 1), а=4, Ь=З, с=5/4,уравнения асимптот: 4х + Зу — 5 = 0 и 4х — Зу — 11 = О, уравнения директрис: у = — 4,2 и р = 2,2. 1.272.
гг — — 9/4, гг = 41/4, р(М, Рг) = 9/5, р(М, Рг) = 41/5. 1.273. (-б, х42/3). 1.274. Тр + 24хр — 144 = О. ,2 2 1.275. 7хг — бху — уг + 2бх — 18р — 17 = О. 1.2Т6. — — — = 1, е = ~/2, 2 2 К,(- /2, -,/2), Кг(/2,,/2), Р,,: х+ р+ /2= О. 1.277. — *',*-"— '" = а2 = 1. Указание.
См. задачу 1.257. 1.2ТВ. 10х — Зу-32 = О, 10х — Зу + + 32 = О. 1.279. Зх-4у- 10 = О, Зх-4у + 10 = О. 1.281. 5х -Зр- 16 = = О, 13х + 5у + 48 = О. 1.282. Мо( †, 3), р = 11/ДЗ. 1.284. 2х + + 119+ 6 = О. Указание. Воспользоваться результатом задачи 1.283.
1.285. а) р = 3; б) р = 5/2; в) р = 2; г) р = 1/2. 1.286. а) р = — х; б) х = — 2р; в) хг = — 12у. 1.287. а) (р — уо)2 = 2р(х — хо); б) (р — ро)2 = — 2р(х — хо). 1288. а) А(2, 0), р = 2; б) А(0, 2), р = = 1/2; в) А(1, 3), р = 1/8; г) А(6, — 1), р = 3; д) А(1, 2), р = 2; Ответы и указания 245 е) А( — 4, 3), р = 1/4; 1.290.
6. 1.291. а) у = -хт — х + 3; б) хв + 2ху + 8 + ув — бх+ 2у+ 9 = 0 1292 уоу = р(х+ хо) 1293. х+ у+ 2 = О. 1.294. 2х — у — 16 = О. 1.295. Зх — у + 3 = 0 и Зх — 2у + 12 = О. 1296 ЛХо(9 — 24) р(Ме, Ь) = 10 1298 у — 18 = 0 1209 16сг = т~ 1 = 1. 1.300. тз(пзбг = 1. 1.301.
гсов Г р — — ) = —. 1.302. г = а. 4 ~/2 1.303. тт = —. 1.304. т = а сов гр. 1.305. Окружность хт + ув = 25. сов 2у 1.306. Праман у = — х. 1.307. Прямая х = 2. 1.308. Примак у = 1. 1.309. Прнмая х — у — 1 = О. 1.310. Прямая х+ у — 2 = О. 1.311. Окружность (х — а)в + у~ = а . 1.312. Окружность х~ + (у — а) = а .
1.313. Пара лучей х = х 2у, у > О. 1.314. Семейство кондентрических окружностей радиусов т„ = ( — 1)" — + ггн, я = О, 1, 2, ... 1.315. Гипер- 6 бала ху = ав. 1.316. Лемииската Бернулли (хв + уз)в = аз(хт — ув). 1.31Т. а) тсоз~р = 3; б) д = гг/3; в) 16~р = 1. 1.318. а) г = 10сову; б) г = х бжп р. 1.319. а) С(2, 0), В = 2; б) С(З/2, х/2), В = 3/2; в) С(5/2, -х/2), В = 5/2; г) С(З, гг/3), В = 3; д) С(4, 5гг/6), В = = 4; е) С(4, -х/6), В = 4. 1.320.
тв — 2тет сов(у — его) = В~ — те. 16 16 9 1.321. а) т = ;б)г= . 1.322. а) т =— 5 — Зсов<р' 5+ Зсозр 4 — 5сов р' 9 3 хв ув б) т = 1.323. т = 1.324. а) — + — = 1; 4 — 5 сов р 1 — сов ~р 25 9 ха уз бв б) — — — = 1; в) ув = бх. 1.325. тв = 1.326. тв 16 9 ' 1 — ез сова Зг' 1.32У. г = .. 1.328. а) х = 1, у = 1 + бв 2р сов р ев сова ег — 1 з1пз гр + 1, $ Е [-1, + со); б) х = 1 — 1, у = г, 1 Е [О, + оо); в) х = ~/2 ь/2 ь/2 сов 1 — — 1 + — $, у = — $, 1 Е [О, + оо); г) х =— 2 ' 2 ' ' ' 2 сов(1 — Зх/4)' ~/2 з)пз г ят 1 у = , г 6 [~-я, — ).
1.329. а) х = '1 + — ~, у = 2 сов(1 — Зх/4)' [ ' 4) ~/5 ' 2 =1+ — $, 16[О,Д~; б)х=2 — — Е, у=З вЂ” — $, 16[О,ь/5]. 1 2 1.330. х = хе + Всоз1, у = уе + Взгпг, 1 Е [О, 2гг). 1.331. а) х = = В(1 + сов21), у = Вв1п21, 1 Е [-гг/2, я/2); б) х = В(1 + сов1), у = Вз(п1, Ф Е [О, 2х). 1.332. Прнмая х + 2у — 3 = О.
1.333. Парабола ут = х. 1.334. Окружность (х + 1)в + (у — 3)т = 4. 1.335. Эллипс 246 Ответы я указания хг уг (х — 1)г (у+ 1)г — + — = 1. 1.336. Правая ветвь гиперболы аг Ьг 4 1 хг уг аг Ьг = 1. 1.337. Правая ветвь гиперболы — — — = 1. 1.338. Окружность (х — Н)г+ уг = ггг. 1.339. Окру ность хг+ (у — Н)г = Яг. 1.340.ВерхаЬсовг рб р =2р. 1.341.*= у = >41 Р> — > б >3,2 ).
1.342.*= Р бе>рь ~1' ' ' А44' Й:" "1' аЬ жпг Ь Ь\ р=, >Е 4- 13-, 42-> р й 4 ~4 — Уб '1 а а) >Е ( — 43-, -'; >3-)~ й . 1.342. >*= а а) гг — у = Ф, г 6 (-оо, + со); б) х = 2рссб~г, у = 2рсгбг, где 2р' г 6 (О, я/2) для верхней ветви и г 6 (Зя/2, 2г) для нижней ветви; в) х = — ссб —, у = рсгб-, г 6 (О, 2т). 1.344. Плоскость» = — 5, р 2 2' 2' параллельная плоскости Оху. 1.345. Плоскость с нормальным вектором п(1, -2, 1).
1.346. Сфера радиуса В = 2 с центром в начале координат. 1.347. Сфера радиуса Я = 4 с центром в точке С(2, О, -1). 1.348. Начало координат. 1.349. Ось Оу. 1.350. Пустое множество. 1.351. Пара пересекающихся плоскостей х — 2» = 0 и х + 2» = О, параллельных оси Оу. 1.352. Пара координатных плоскостей Оу» и Оху. 1.353. Тройка координатных плоскостей.
1.354. Пара плоскостей х = 0 и х = 4. 1.355. Пара плоскостей у = 0 и у = х, 1.356, 20у + 53 = О. 1.357. хг + уг + хг уг »г хг' уг »г + »г аг 1.358. — + — + — = 1. 1.359. — — — + — = — 1. 9 9 25 16 9 16 1.360.
а) С(0, О, 3), Н = 3; б) С(2, 1, — 1), Н = 5. 1.361. а) (х+1)г+ +(у — 2)г +»г = 4; б) (х — З)г + (у + 2)г + (» — 1)г = 18; в) (х — З)г+ +(у + 1)г + (» 1)г 21; г) (х — З)г + (у + 5)г + (» + 2)г 56. д) (х — 1)г + (у + 2)г + (» — З)г = 49. 1.362. (х + 1)г + (у — З)г + + (» - 3)г = 1. 1.363. х — — + у + — + 1 1.364. х = -1 + 5$> у = 3-г>» = — — + 2».
1.365. Мо( — 2, — 2,7) > р = 3. 2 1.366. а) Пересекает; б) касается; в) проходит вне сферы. 1.367. а) Прямая, проходящая через точку (5, О, -2) параллельно оси Оу; б) окружность в плоскости Ох», имеющая центр в начале координат и радиус Ответы и указания В = 7; в) окружность, лежащая в плоскости» = 2 с дентром в точке С(0, О, 2) и радиусом Н = 4; г) окружность в плоскости» = б с цен- тром в точке С(0, О, 6) и радиусом Н = ДЗ.
1 368. а) С(1, 7, 2), П = = 4; б) С(-1, 2, 3), Н = 8. 1.369. Эллипс + = 1. (х — 2)« (р + 4) 36 . 18 (х — 1) + (у — 2) + (» — 1)« = 36, 1.370. 2х — » — 1 = О. (х — 2)« + р« + (» — 3)« = 27, 1.371. х+9-2=0. 1.372. Эллипсоид. 1.3ТЗ. Однополостный гиперболоид. 1.374. Двупо- лостный гиперболоид вращения. 1.375.
Конус. 1.376. Параболоид вра- щения. 1.3ТТ. Гиперболический параболоид. 1.378. Эллиптический па- раболоид. 1.3Т9. Параболический цилиндр. 1.380. Параболоид враще- ния с вершиной (О, О, 2). 1.381. Гиперболический параболоид. 1.382. Од- нополостный гиперболоид вращения. 1.383.
Двуполостный гиперболоид вращения. 1.384. У к а з а н не. Воспользоваться однородностью уравне- ния. 1.385. Указание. Перейти к новой системе координат поворо- том осей Ох и Ор вокруг оси О» на угол х/4. 1.386. а) Конус второго порядка с вершиной в начале координат (см. задачу 1.384); б) гипер- болический параболоид (см. задачу 1.385). 1.387. На плоскость Охуд х«+ 4хр + 59« — х = 0; на плоскость Ох»: х« — 2х«+ 5»« — 4х = = 0; на плоскость Оуж р«+»«+ 29 — » = О, 1.388. а) Эллипс; б) парабола. 1.389.
а) М~(3,4, — 2) и М«(б, -2,2); б) М(4, — 3,2)— прямая касается поверхности; в) прямая и поверхность не имеют об- щих точек. 1.390. а) М(9, 5, -2); б) М(З, О, — 10); в) М(б, -2, 2). 2» — 129-»+16=0, 2» — 129-»+16=0, 1.391. х — 29+4=0, х+2у — 8=0.
р + 2» = О, 2х — 5» = О, 1,392. » †5, у+4=0. 1.403.а) р~+»« = а б) х«+»« = 2ах; в) х«+ р« = 2ах. 1.404.а)х«+ +59» — 8р — 12=0; б)4»«+5»«+4« — 60=0; )29 — » — 2=0. 1.405. а) 8х«+ 4уз — Збх + 169 — 3 = О, » = 0; б) 2» — 2» — 7 = О, р ж 0; в) 49«+ 8»«+ 169 + 36» — 31 = О, х = О. 1.406. р« = 2ах — х«. 1.407. а) (Зр — 2»)« = 12(Зх — »); б) (х — «)» + (р — »)« = 4(х — »). Ответы и указания 248 1.408.
Уравнение проевтирующего цилиндра: 2хг + (у — г + 2)г = 8; хг (р + 2)г контур тени — эллипс — + 4 8 = 1. 1.409. х = 4, г х д = 2. 1.411. а) = —; б) 9(хг + гг) = 16уг; в) — — + — + — = 0; аг яг аг Ьг сг хг г) хг + рг — гг = 0 1412 а) Ьгхг = Зря(й(д + а) — аг); б) — + аг дг (г с)г + — — = 0; в) хг + гг = я(д+ а); г) Зхг — 5дг+ 7гг — бхд+ Ьг сг + 10хг — 2рг — 4х + 4у — 4г + 4 = О. 1.413. а) вершина (О, Ь, 0), направляющая — окружность х + (у — й) = гг~, г = Ь; б) вершина (О, О, О), направляющая — парабола хг = 28р, г = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
