341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Хо + сдЕд + слЕт + сзЕз + сдЕ4, Хо = (1/3, -1/3, О, О, О, 0) Ед (1 1 0 0 0 0)т Ег ( 1 0 1 0 0 0)т Ез =(О 0 0 1 1 0)т Ез — — (О, О, О, -1, О, 1)" 2239 Хо + сдЕд + сгЕг + сзЕз, Хо = (1 1/2 0 0 О)т~ Е, (0~ 3/2~ 1 0 0)т Ег (01 2 0 1 0)т Ез = (01 -5/2, О, О, 1)т 2240 (1 — 1 — 1 1)т 2241. (б — с, 5+ с, 3, — 1 — с, с) . 2.242. Система несовместна. 2.243.
~- — -сд, сд, О, О, 11 б — — -сг, сг) . 2.244. (-1 + сд + 2сг, -3 + сд + 2сг, сд, сг) 3.6. Да. З.Т. Да, если прямая проходит через начало координат. 3.6. Нет. 3.9. Да. 3.10. Нет. 3.11. Да. 3.12. Нет. 3.15. Ттд.,зз 1 1 -1 1/2 -1 0 0 — 1 — 1 2, Х' = -3/2 . 3.16. Тзд,гд = 0 -1 0 0 0 — 1 0 0 -1 0 0 1 -2 Х'= 2 . 3.1Т.Тзд дгд = 1 0 О, Х'= 1 0 1 1 0 3.16.
Т„„~, = , Х'= -2созу+ зшу 2з1пу+ сову 0 сазу — вшу 0 здп у сазу 3.19. г = 2; базисом является, например, система (хд, хг). 3.20. Тгд,зз = Ответы и указания 256 1 2 1 1 о 2 3 2 3 о 3.21. Зх~ + 2хэ — хэ = О, г = 2, — 2 — 1 4 0 2 3.22. Координаты любая пара векторов образует базис этой системы. матрицы в этом базисе совпадают с ее элементами. 0 3.23. а) 0; б) 1 -Со то со " ( 1) Со (-1)"-'(и — 1)1,"-' 0 0 0 0 2 3.28. 1 . 3.30.. 3.31. 0 2 .
3.32. 1 2 1 1+34 . З.ЗЗ. 2(1+1) -42 -71 -41 3.37. Тщ,н = 12 20 9 7 12 8 3.34. 2 0 1 -1 — 3 1 -2 1 3.38. Ти- и' = 3.39. Является. 3.40. Не явля- 1 -2 2 -1 1 — 1 1 — 1 ется, так как нарушено условие линейности отображения. 3.41. Не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения. У'1 О'1 3.43.
Ти~ж =, -2+ 31 = — 2(1+ 1) — 5(-1). 3.45. а), б) Нод- пространство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеар- Ответы и указания 257 ных векторов из заданного множества; в) не является подпространством. 3.46. а) Подпространство размерности и-2; б) не является подпространством.
3.47. Множества, указанные в п, а), б), г), — подпространства, а множество из п. в) подпространством не является. Указание. Условие, которому удовлетворяют координаты в любой из задач втой серии, можно записать в виде АХ = О, где А — некоторая матрица, имеюшая я столбцов, а Х вЂ” столбец координат в фиксированном базисе.
Поэтому размерность соответствующего подпространства равна и — галбА, а в качестве базиса можно взять любую фундаментальную систему решений системы уравнений Ах = О. 3.48. а) Подпространство размерности 2 2 ( + ). ят — Сит =; б) не является подпространством. 3.49.
а) Бесконечномерное подпространство; б) не является подпространством; в) подпространство размерности и. 3.51. 2. 3.52. 3; один из базисов есть, например, 22 = (х1, х2, хь). 3.53. 3; один нз базисов есть, например, Ж = (х1, х2, хь). 3.54. У на ванне. Заданная система многочленов ли- Х У 2 нейно независима. 3.55. Е(а) — прямая — = — = —, Е(а) + Ь— — 2 1 — 1' х — 2 у+1 прямая — = = —. 3.56. Е(а1, а2) — плоскость -Зх — у-22 = — 2 1 — 1 = О, С(а1, а2) + Ъ вЂ” плоскость -Зх — у — 22 + 5 = О. 3.57. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности я — гапбА = 3 решений соответствуюшей однородной системы сдвигом на произвольное частное ре/ п «2 и и шение неоднородной системы.
3.62. в) ~ 2 хьу)) < ~ х2 2 уз; «=1; «=1 «=1 и и и и и г) ~„х2 — 2, уз ~< 2 (хь+уь)2 < 2 х2 + 2 у2. з=1 з=1 «=1 з=1 «=1 3.63. а) 0; б) — б. 3.64. а) — 1; б) 24. ь ь ь зд«з) () д)«)д)з)дз) 4 (/д )«)дз)(1 д )«)й); а в) у'(2) 4(с — у'(2) 4(с < а а 4 (1) )д)з) + д)з)) дз) 4 (1) д')з)д«) + (1« д')«) дз) Ответы и указания 258 число, не обязательно равное нулю. 3.83. Является; А = 0 Л 0 0 0 Л 3.84. Не является. 3.85. Является оператором проектирования на ось, заданную вектором е.
Если е = сова 1+ созф 1+ соя у 1с, то созга созфсоза соз ~сага А = созасозД созгД сову соз)1 созг у созасоз у созДсоз у — аз аг 0 — аг аг 0 3.86. Является; если а = аг1+ аг( + аз1с, то А = аз -аг 3.67. ег — — Гг — — (1, 1, 1, 1), ег = (2, 2, — 2, — 2), ез = ( — 1, 1, — 1, 1). 3.68. ег = Гг = (1, 2, 1, 3), ег — — (10/3, — 1/3, 1/3, — 1), ез = ( — 19/185, 87/185, 61/185, — 72/185). 3.69.ег = Гг — — (1,2,2, — 1), ег —— (2,3, — 3,2), ез = (2, -1, -1, -2). З.ТО. е> = Гг = (2, 1, 3, -1), ег = (3, 2, -3, -1), ез —— (1, 5, 1, 10).
Указание. Система Тм Зг, Гз, Тз не является линейно независимой (вектор Тз может быть получен как линейная комбинация векторов 71 и 1г). Поэтому получение вектора ез с использованием Гз дает в результате ез — — О. Показав это, следует искать вектор ез в виде ез = Гз — с, ег — сг ег. З.Т1. И = (еы ег, ез), ег = (з1 1з1 = (1, 2, 2, -1), ег = (2, 3, -3, 2), ез = (2, -1, -1, -2) 3.72 гз = = (ем ег, ез), ед = (2, 1, 3, -1), ег = (3, 2, -3, -1), ез = (1, 5, 1, 10).
3.73. ез — — (-4, 2, -1, 3), ез —— (2, 4, 3, 1). Указание. Для определения вектора ез —— (хм хг, хз, хз) достаточно найти какое-нибудь регпение системы относительно неизвестных хм хг, хз, хз двух линейных уравнений (ез, ег) = О, (ез, ег) = О. Для определения ез аналогичная система состоит из трех уравнений. 3.74. ез = (1, — 1, 1, -1, 0), ез —— = (О, 5, 1, — 4, -2). 3.75. ез = (2/3 — 2/3, -1/3).
3.76. ез = (1, — 2 1, 0)> ез = (25, 4, -17, — 6). 3.78.у = (1, 7,3, 3), х = ( — 4, — 2, 6, 0). 3.79. у = = (1, -1, -1, 5), з = (3, О, -2, -1). 3.80. у = (3, 1, -1, -2), з = = (2, 1, — 1, 4). 3.82. Указание. Из равенства (х — у(~ = (х(~ + (у(~ следует, что (х, у) + (у, х) = (х, у) + (х, у) = О, т.
е. (х, у) — мнимое Л 0 0 Ответы и указания 259 3.87. Не является, 3.88. Является. а Ясно, что у = Ще, ~р)х = у + у, где у — составляющая вектора у вдоль оси е, уо — составляющая вектора у, компланарная плоскости о. Составляющая у равна у = х = (х, е)е. (2) Составляющая у получается иа вектора х поворотом последнего в плоскости а на угол ~р. Для нахождения у введем вспомогательный вектор [е, хв], лежащий в плоскости а перпендикулярно вектору х, причем тройка хо, [е, х ], е — правая.
Разложим вектор у на составляющие вдоль хк и [е хк]: хе . [е, ха] у„= ]х~] сову — + ]х~[в1пу ' = сову ° хв + а1пу [е, х„]. [х,„[ [[е, х,„][ (3) Наконец, х,„ = х — х = х — (х, е)е. Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим (4) у = (х, е)е -~ сов~р(х — (х, е)е) + в1пу[е, х — (х, е)е] = = сов р.х+ (1 — сезар)(х, е)е+ в1пу[е, х]. (5) Из (5) следует, что оператор Ще, у) представляет собой сумму операторов задач 3.83, 3.85 и 3.86, матрицы которых известны. г О 1 1 О 1 1 3.89.
Является; А = 2 О 1 . 3.90. Является; А = 2 О 1 3 — 1 1 О О 1 — 1 . 3.93. Является; 3.91. Не является. 3.92. Является; А = О О 3 1 1 2 2 А= Π— 3 1 . 3.94. Является; А = 1 -2 О 3 2 О 3 22 13 -37 3.97. С = — 39 -16 25 3.95. Не является. Π— 6 Ответы и указаиия 260 Сх = (22х1 + 13хг — 37хз> -39х1 — 16хг + 25хз -хд — бхз) 3 98 С = 3 -2 + хг + 7хз). 3.99. С = О, Сх = О.
3.100. С = 1 О О -2 О О Сх = (2х1 + Зхг — 2хз)х1 — 4хз, 5х1 — 2хз). 3.102. О Л О О Л совг а 3,103. (Ьь Ег, Ез), где Е1 = С1яа(сов18сов1р — сов уяп1р) сова(созфв1пз1+ сов усо Ег —— Ег = (созфяп<р+ совусов1р)2 е = сова! + СозД + со8741. а1 0 3.104. О овсов' р+ аз81П'Ф -(аг — аз)81П2З1 агвш <Р+ овсов У 1 2 2 2 2 — (2вш<р+ соз~р) 2сов1р — 81П1р 1 2 2сов1р+ 81П1р 2 — -81П21р — (1+ яп у) 2 3.105.— 1 3 1 2 + — зш 2<р 2 2 вш 1р — сов 22 -15 23 -7 2 8 -4 — 7 1 7 , Сх=(-15х1 + 23хг — 7хз, 2х1 + 8хг — 4хз, — 7х1 + сов о(сов ф сов 1р — сов у вш 81) совг)Усозг 1р+ совг 781пг „~ созг,З вЂ” совг у, 81П2<р+ сов)3совусов2 сова(со8~381пф+ созусовф) совгД вЂ” совг у .
81П21р+ сов13совусо821р 0 1 -(аг — аз) яп 2~р 2 Ответы и указания 261 1 О 2 1 -2 О 1 0 2 3 5 1 1 — 4 — 8 — 7 1 4 6 4 1 3 4 7 3.106. а) А' = б) А'= 3 — 1 О 2 1 1 2 3 1 2 2 / 44 44 1 3.107. Ав = 3 -1 — 2 . 3.108. [А + В]зз 'з — 29,5 -25,~ 2 -3 1 / — 6 221 3 109 [р(А)] ЗАг 2А + 5Е = ~ '1 -22 49,~ О 1 О 1 О 2 О 1 О 3 О О 1 О 3.110. а) б) О н — 1 О 1 8 йг у,з 1/2 1/3 1/4 1/5 1 1/2 1/3 1/4 О 1 25 ЗЬг , 3.111. 3.112.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
