341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Получить условна кол«мутативности алгебры, заданной своими структурными константами. а Докажем вначале, что коммутативность алгебры А равносильна перестановочности друг с другом базисных элементов, т.е. выполнению равенств и;и = иуи; при всех», у. Действительно, если базисные элементы перестановочны и а = а»и»+...+а„и„, Ь = Яи»+...+)Зпи„— произвольные элементы из А, то аЬ = ~~» а(и; ° ~«3уи = ~а«)ууи;иу = = ~а;)3уиуи; = ~~» )3уи ~ о,и; = Ьа.
В терминах структурных констант это означает, что .~; = ),ч при (ь) (ь) всех»', у', к. (> 4.540. Доказать, что ассопиативность алгебры А равносильна выполнению соотношений ассопиатнвности для базисных элементов, т. е. (и,и )иь = и;(и иь) при всех», у, Й. Пример 40.
Пусть г' — поле, у(х) — многочлен над г' (не обязательно неприводимый) и А = Р(х]/у(х)Р(х). Тогда А — конечномерная 3 3. Кольца н полл 233 ассоциативно-коммутативная алгебра над Г. Найти какой-нибудь базис атой алгебры н получить правила умножения базисных элементов. ° з Пусть Х(х) = х" + а|х" '+ ... + а„1х+ а„(коэффициент при х" можно считать равным 1) и! = Х(х)Е[х[. Тогда еэ = 1+Х, ег = х+Х,... ..., е„г —— х" ' + Х вЂ” базис алгебры А. Правила умножения базисных элементов имеют вид: е;е = есь при 1+у ( п, е1е„г = еге„г = = — а„еэ — а„гег —... — а1е„г и т.д. Например, если Х(х) = хг + + 2хг + Зх + 5, то А = Р[х)/Х(х)Р[х] = Е(ео, ем ег), где ео = 1+ Х, е1 = х+ Х, ег = хг + Х (снмвол С обозначает линейную оболочку, см.
с. 121). Вычислим произведения базисных элементов: егег = х + Х = -2х — Зх — 5+ Х = -5еэ — Зе1 — 2ег; г г егег = ( — 5ео — Зе1 — 2ег) ег в ~+г хз+у а+У = — 5е1 — Зег — 2( — 5еэ — Зе1 — 2ег) = 10ео + е1 + ег. Таблица умножения базисных элементов имеет вид Алгебра А называется алгеброй с делением (или телом), если она ассоциативна, имеет единицу и каждый ее ненулевой элемент имеет обратный, т.е. го ~0 ВЬ аЬ= Ьа = 1. 4.541'*. Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра А без ненулевых делителей нуля является телом.
4.542. Выяснить, является ли ассоциативной алгебра А = Ка + + КЬ со следующей таблипей умножения базисных элементов: 4.543**. Пусть С = (1, а, аг) (аз = 1) — циклическая группа. Найти все идеалы групповой алгебры )кС. 4.544*. Выяснить, ассопиативна ли алгебра А = Р + Еа + + РЬ (г" — произвольное пале) со следующей таблицей умножения Гл. 4. Элементы обшей алгебры базисных элементов: 4.545. Выяснить, имеет ли единицу алгебра А = г'а+ г'б+ г'с (Р— поле) со следующей таблицей умножения базисных элементов: 4.546.
Пусть А — конечномерная ассопиативная алгебра с единицей и а, б Е А. Доказать, что если аб = 1, то ба = 1. 4.541. Построить таблицу умножения базисных элементов алгебры А = Г[х[1хзР[х] (за базис взять 1 = 1 + 1, а = х + 1, аэ = х~+ 1). 4.548.
Выяснить, ассопиативна ли алгебра А, заданная базисом и таблипей умножения базисных элементов: а) б) 3. Кольца и поля 235 4.549. Найти единицу алгебры А = )яр + Жд + )кг, заданной таблицей умножения: 4.550. Найти все идеалы групповой алгебры РС, если Р— поле характеристики ~ 2, а С = 11, д) — циклическая группа порядка 2.
4.551. Докааать, что для любого поля Р алгебра Р[х1/(х" — 1) Р[х] изоморфна групповой алгебре РС, где С вЂ” циклическая группа порядка тс. 4.552. Доказать, что центр тела является полем ю). 4.553. Полугруппа Я = 1а, Ь, с) задана таблицей умножения Пусть Р— поле, РЯ вЂ” полугрупповая алгебра. Какой элемент является единипей алгебры РВУ 4.554.
Доказать, что над любым полем Р двумерные алгебры Ра+ РЬ и Рс+ Рд со следующими таблипами умножения изоморфны друг другу. '~) центр я(К) лольла я олрелеллетсл слелуюжлм образом: Я(К) = (а Е К ~Ч т Е тс га = аг). Гл. 4. Элементы общей алгебры 236 4.555. Пусть Р— произвольное поле, А — алгебра иад Р с базисом а, Ь и умиожеиием, определяемым таблицей При каких а, 1З, 7, б алгебра А ассоциативна? Алгеброй нватернионов Н называется четырехмериая алгебра иад полем действительных чисел, имеющая базис 1, 1, у, Й, причем 1г = =уж=аз=-1, 1у= — ус=5,ф=-Ц=ь', Ы=-И=у. Элементы Й= = а+ Щ+ уу + бй втой алгебры называются хватернионами.
Алгебра ассоциативна, ко кекоммутативиа. Модуль (или норма) кватеркиоиа о = а + фь' + ц + бй определя- фьу ~Е=~/Р+Рт~'+'Э. С Р ° ег С о = о — 1й — у1 — И. Легко проверяются равенства оо = оо = 'рйг, откуда следует, что всякий ненулевой кватеркиои имеет обратиый (цо 1 умножению): у ' = — ф.
Например, если д = 2 — 1 — 1+ Зй, то ~ ~г 1 д 1 = — (2+1+1 — ЗЙ). 15 Алгебра кватеркиоиов является четырехмериой алгеброб с делением иад полем действительных чисел или телом (тело нватернионов). Теорема Фробекиуса. Йрцествуют ровно три ассоциативные конечномерные алгебры с делением над нолем Ж действительных чисел. Это Ж, С и Н. Алгебра К одномерна, С вЂ” двумерна, Н— четырехмерна.
Алгебры К и С коммутативны, алгебра Н нехоммутативна. 4,$56. Произвести вычисления в алгебре кватерииоиов: а) (2 — ь'+ ~')(у+25); б) (1 — 21+,у)з; в) (1+1+у+/с)1о; г) (3+21 — у) 4.557. Доказать, что для любых о, ом оз Е Н и Л Е К имеют место равенства: а) Лд = Лд; б) 61 + дз = д1 + дз, в) д~ .~у~ = фз о1. 4.558. Решить уравнения в алгебре кватерииоиов: а) хд + йх = 1+ 2у; б) (1 — у)х(1+ 1) = й; в) хз = — 1. (х1+уу = 1, 4.5$9. Решить систему: с( ~хЬ-у('+у') = '.
4.560. Можно ли алгебру кватерииоиов Н = К+% + Ку + Ис считать алгеброй иад полем С = И+% с базисом 1, у'? 4.561. Что собой представляет центр алгебры кватерииоиов? ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1 — ~ 2 2 — ь 2 4 — ~ 4 2 1.8. АИ = — р — -с1, ВО = -р + -Ч, СА = — -р — -Ч. 1.9. МА = 1 -3 3 " 3 3 " 3 3 = — -(а + Ъ), МЛ = -(а — Ь), М = -МА, МВ = -Мс). 1,10. АМ = 1 2 ' 2 = ада + (1 —,9)Ь, ВЖ = (аД вЂ” 1)а + (1 — )3)Ь. 1.11.
С11 = с1 — р, В4= — р, В)б= — Ч, ~~=р — Ч А~1=р+ч А1)=2Ч А1)= Ла — Ъ = 2с1 — р. 1.13. ММ' = -(АА' + ВВ' + СС'). 1.15. АВ =— — ь, а+Ъ вЂ” ~ ЛЬ вЂ” а — + Л ВО = —, СВ = —, ОА = — — (а + Ь). 1.16. а) а = 1+Л' 1+Л ' 1+Л 1 — 4 1 = Д б) АВ = — (Др — с1), АС = — (ар — с1). 1.18. Л = 5. а — )3 а — )3 2 3 3 1.19. в = -р + -с1 + -г. 1.20. Зр — 4с1 — Зг — 2в = О.
1.21. О. 1.24. О, 5 5 5 1, 2. 1.25. Л = р = 1. 1.26. а) ( — 1/2, 1/2, 1/2)); б) (1/3, 1/3, 1/3), 1.27. (7/10, 3/20, 3/20). 1.28. а) (1/2, О, 1/2); б) (1, -1/2, 1/2). 1.29. (1, -1~Д, -1). 1.30. ) ( —, — ). Ой Ап -.'- МЗ = 1 1 а — 1 ~3 — 1 = аА1) — 01и = а(Агу + 1ч'В) — ОЛт = а(Ад + Огу) + аФ — О.М = = аАс1 + аОгу + аЛОМ вЂ” 031.
Отсюда находим Ад = Огу— а(1+ Л) 1 — а — — ОМ. Аналогично рассуждая, получаем АО = ОМ— 1 О= 3( Р) М— 1 — а 1 — ф 1 01ч. Здесь 1ч'В = ЛОМ и МС = рОЛт. В силу единственности 1 — )3 1 — ь 1 — ь разложения по базису тогда имеем Ад = — ОМ + — О1Ч. ~> а — 1 )3 — 1 ( — Указание. Воспользоваться результатом за(Д1 — а)' 1 —,3) ' дачи 1.30а). 238 Ответы и указания „ ,ду ~(-) (-)) д~ РВ- -ВЕ-)), ), 1-а7 1-ад ) ( 1 — ад 1-ад Г с«д = Р~' «~, ~« ~ «).
«.з«. ) Ад = ««« + цд«,«д, (1 — д77' 1 — Фт АМ = (1,(д/5 + 1)/2); б) Вд = <(д/5 — 1)/2,1), С1) = <(д/5 + 3)/2, (д/5 + 3)/2), М = ( — 1, (1 — д/5)/2). 1.33. а) (2/5, 3/5); б) -9/5. 1.34. Вд1г = (1/2, 1/2, -Ц, А~) = (1/3, 1/3, 1/3). 1.35. в) |ад | = д/5, ад,о — — ( — 1/д/5, 2/д/5, О); б) сов(ад,,д) = 2/д/5; в) Х(а) = — 19/3; 4 2 г) пр а = У(а) = О. 1.36. а = — 2е. 1.37.
а = — -ед — -ег. 1.38. а = 5 5 1 — — 2ед + ег — ев. 1.39. в) ао — — (2/д/13, 3/д/ГЗ, О); б) а — -Ь + 2 + с = г( = (3,11/2,0); в) а+ Ь вЂ” 2с = — 2д; г) нр1(а — Ь) = = 6. 1.40. (6/11, 7/11, — 6/11). 1.41. хЗд/6. 1,42. |р| = Д544, сова = = 9/д/154, сов)3 = 8/Д544, сов у = 3/«/1544. 1.43. х = -5д+ 10д+ 101с. 5. 5 1.44. х = 21+ 2д + 21с. 1.45. х = ~ 5д + — д — — 1с. 1.46, а = — 1, д/2 д/2 Ц = 4. 1.47. х = -(1 + 7г + 21с). Уив за ние. х = Л(ао + Ьо), где 3 ао и Ъо — орты заданных векторов а и Ь. 1А8.
а = 2, ф = 3, у = 5. абгсг бог сг сов бг огбг + бгсг + стог агбг + бгсг + сваг агбг + бгсг + сгог 1.50. а) (3, -6, б); б) (5, 5, 1); в) (-5/«/2, 7/д/2, 5). 1.51. В(9, -5, 6). 1.52. С(6, -2), В(2, — 4). 1.53. А( — б, -2), В(2, 8), С(10, -6). 1.54. Мд(7, 0) и Мг(-1, 0).
1.55. М(0, 1, О). 1.56. 7. 1.57, (4, 0) и (5,2). 1.58. (-1,2, 4) и (8, — 4, — 2). 1.59. (-19, 10, -17). Указание. Разложить вектор ОдУ по базису из векторов ОА, ОВ и ОС. 1.60. (10, — 5, 0). Указание. Разложить вектор 0«В по базису из векторов 1, д, ОА. 1.62. Л822/3.
1.63. (11/7, 10/7, 18/7). 1.65, в) 9; б) -61; в) 13. 1.66.а = хЗ/5. 1.67.15, Л93. 1.68.2«г/3. 1.69.19/5. 1.70.1/2. 2 1 1 71. г'.А = дг/2, г'.В = агссов —, г'.С = атосов —. 1.72. (ед, ег) = д/5 д/5 = я/3. 1.73. атосов —. 1.74. 5. 1.76. ПС = 4 — в |а| — |Ь| — э |Ъ| а, СВ= — а — Ь, 5 |а| |а| Аы = — у, |а| — |Ь< а + Ъ, РЙ = а — Ь.
Уи аз ание. Сначала найти век|а| тор Агд, где К вЂ” такая точка основания, что <Аф = |АВ|. 1.77. — 13. 1 78. а) 22; б) — 200; в) 41; г) д/Г055; д) 11/3; е) 22/7; ж) сова = 2/3, Ответы и указания 239 сов)) = — 1/3, сов7 = — 2/3; з) — 84/с/129; н) 11/21. 1.Т9. Мг(1, 0) и Мз(6, 0).
1.80. [Аг][ = 5, ]ВО] = бь/2, [АО[ = 5; х'.А = х/2, г'В = 15 = с'С = х/4. 1.81. а) -41/5; б) 73/7. 1.83. —. 1.84. 4. 1.85. -4/5. Тс/85 1.87. атосов 5/6. 1.88. (1, 1/2, — 1/2). 1.89. ( — 3, 3, 3). 1.90. аг = = 2), ага = — 1+ )с. 1.91. а) (2/3,2/3,2/3); б) ( — 5/3,4/3,1/3]. 1, 1 1.92. (-2, О, 2). 1.93. -с + -1 — -1с. Указание. Вектор а„,„имеет вид а, „= Лсег + Лзет, где козффициенты Лс и Лз могут быть найдены из условия перпендикулярности вектора а — а„,„ плоскости векторов ес и ез. 1.94.
х' = (х — хо) соз р + (у — уе) в1п уг, у' = — (х — хе) всп со + + (у — уе) сов чг. 1.95. Х' = Х сов сг + У в1п у, У' = — Х гйп у + К сов у, Е' = — Я. 1.96. ( — 2, ~Г2, 0). 1.97. агат = ~', Хс~ Хь ~всеь = ьь = 1 5Хсг)ХОО + 2ХсООХОО + дХ(г)ХОО 2(Х(с)Х(з) + ХО)ХОО) 1 1 2 3 в в г — 3(Х] Хв ~ + Хв ~Х] ~) + 4(Хз ~Хв ~ + Хв ~Хт ~). 1.98. а) ь/3; б) 3~/3; в) 10с/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
