341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Положим 1; = т;(1) для с = 1, 2, ..., п. Проверим, что 1с э Вь Пусть х, у б 1с и г й Вс. Положим е; = (О, ..., 1, ..., 0) (с1с на с-м месте, сОс — на остальных). Очевидно, е~ = ес и ес + ... + е„= 1— единица кольца В. Так как х, у й 1с, то х = е;х, у = е;у, следовательно, -х = ес( — х) б 1о х+у = е;(х+у) й 10 гх = г есх = е,(гх) б 1с и аналогично хг б 1;. Значит, 1с О Вс. Если теперь а — произвольный элемент из 1, то а = (ас, ..., а„), где ас 0 В;, следовательно, а = есас +... ...+е„а„е 1с+...+1„(так как ас = еса й 1).
Утверждение доказано. с> П р и м е р 23. Доказать, что кольцо Е„всех и х и-матриц над полем Е не имеет нетривиальных идеалов. а Пусть 1 а Р„и 1 ф О. Тогда существует матрица А = бас 'б й 1 такая, что ан ф 0 при некоторых с, у. Пусть Еы обозначает матрицу, у которой на (сс,1)-м месте стоит 1, а на остальных местах О. Так как 1 — идеал, то Е„А(Ла, 'Есс) б 1 при всех Л б Е и любых я, 1. Но ЕссА(Ла,"~Еус) = ЛЕм. Итак, все матрицы ЛЕм принадлежат 1. Но тогда любая матрица принадлежит 1, так как если В б Е„, то В = 2 ' ЬзсЕзс б 1. Следовательно, 1 = Р„. С> я,с Пример 24.
Существуют ли в кольцах Е, П, Е„подпольна, не являющиеся идеалами? з Если А — подгруппа группы(Е, +), то А = пЕ при некотором п. Ясно, что пŠ— идеал кольца Е. Следовательно, в кольце Е нет не только подколец, но и аддитивных подгрупп, не являющихся идеалами. В кольце И есть подкольцо Щ не являющееся идеалом. В кольце матриц Р„при и > 2 есть подкольца, не являющиеся идеалами. Приведем несколько примеров: а) подкольцо Т„верхних треугольных матриц; б) подкольдо диагональных матриц; в) подкольцо скалярных матриц, т.е. матриц вида ЛЕ, где Л б Г, а Š— единичная матрица. ~> 4.444*'. Доказать, что в поле нет нетривиальных идеалов.
4.445. Доказать, что сумма двух идеалов является идеалом. 4.446. Доказать, что произведение двух идеалов ассоциативного кольца является идеалом. 4.447. Привести пример подколец А и В кольца г Ц (Р— поле), для которых сумма А + В не является подкольцом. 4.448. Будет ли произведение АВ двух подколец А и В ассоциативно-коммутативного кольца также являться подкольцом? 4.449.
Перечислить все идеалы кольца Езо. 4.450. Доказать, что если в кольце В аз = а для всех а Е В, то В коммутативно н а + а = 0 для всех а. 4.451. Для идеалов кольца Е вычислить: а)'* тЖ+пЕ; б) тЕГспЕ; в) тЕ пЕ. 5 3. Кольца и полл 219 В задачах 4.452 и 4.453 найти сумму указанных идеалов. 4.452. 4Ж+ 102. 4.453. 8Ж+ бХ+ 15Ж. В задачах 4.454 и 4.455 найти пересечение указанных идеалов. 4.454. 4Ж й 10,'Е.
4.455. 8Ж П 12,'Е. 4.456. Найти все идеалы кольца Ъг 9 Ут. 4.457**. Доказать, что если Р— поле, Р[х] — кольцо многочленов над Р, то всякий идеал 1 кольца Р[х] имеет вид 1 = 1 (х) Р[х], где 1(х) — некоторый элемент Р[х]. 4.458. Доказать, что если Р— поле и 1(х), д(х) Е Р[х], то 1(х)Р[х] + д(х)Р[х] = д(х)Р[х], где й(х) = (1(х), д(х)). 4.459. Доказать, что множество всех и х и-матриц над полем Р, у которых первый столбец состоит из нулей, образует левый идеал кольца Р„.
Является ли он правым идеалом? Пусть  — ассоцнатнвно-коммутвтнвное кольцо с единицей. Для каждого а б В множество аВ является идеалом. Это наименьший идеал, содержащий элемент а. Он называется главным идеалом. 4.460**. Доказать, что в кольце Ж целых чисел все идеалы главные. 4.461".
Найти все идеалы кольца Жп. Какие из них являются главными? 4.462. Доказать, что в кольце Ж[х] не все идеалы главные. Элемент е кольца В называется идемпотиеишом, если е = е. В задачах 4.463-4.466 доказать утверждения, если  — ассоциативное кольцо с единицей. 4.463.
Если е — идемпотент, то 1 — е — тоже идемпотент. 4.464. Если е, 1 — идемпотенты и еу = уе, то еу — идемпотент. 4.465. Если е, 1 — идемпотенты и еу = уе, то е + 1 — еу— идемпотент. 4.466. Если еы ..., е„— ортпогональные идемпотпенгпы (т.е.
е;е = 0 при 6 ~ у), то е~ +... + е„— идемпотент. 4.467. Пусть  — ассоциативное кольцо и Š— множество его идемпотентов. Доказать, что Е будет частично упорядоченным множеством, если положить е < 1 <=о еу = у е = е. 4,468. Пусть  — ассоциативное кольцо с единицей и е Е В— центральный идемпотентп (т.е. еэ = е и ег = ге для всех г Е В). Доказать, что В разлагается в прямую сумму колец: В = = еВ9 (1 — е)В. В задачах 4.469 и 4.470 в кольпе В найти ненулевые ортогональные идемпотенты е и у такие, что е+1 = 1 и В = еВ®(1-е)В. 4.469. В = Ж24.
4.470. В = Ж4з. Гл. 4. Элементы общей алгебры 220 Пусть  — кольцо, 1 — его идеал. Образуем фактор-группу В/1, рассматривая лишь операцию сложения. Элементы фактор-группы имеют вид а + 1 и складываются по правилу (а + Г) + (Ь + 1) = (а + Ь) + 1. Введем умножение на группе В/1, полагая (а+ 1)(Ь+1) = аЬ+1. Множество В/1 с введенными операциями является кольцом. Оно называется фактор-кольцом кольца В яо идеалу 1. Пример 24. Пусть Р— поле, Р[х] — кольцо многочленов над Р и /(х) — многочлен степени я > 1. Тогда элементы фактор-кольца Р[х]//(х)Р[х] могут быть представлены в виде ао+а~ х+...+а„~х" ' + + 1, гле 1 = /(х)Р[х], а ао, аэ, ..., ав э й Р.
° з Действительно, пусть д(х) + 1 — элемент фактор-кольца. Разделим д(х) на /(х) состатком: д(х) = 1(х)д(х)+г(х), где оебг(х) ( п. Отсюда получаем: д(х) + 1 = /(х)д(х) + г(х) + 1 = г(х) + 1, так как 1(х)д(х) б 1. ~> 4.471. Найти общий вид элементов фактор-кольца А = = К[х]/(хз — 2хт + 4)К[х], 4,472. Доказать слелующую теорему. Пусть Р— поле, Р[х]— кольцо многочленов над Р и /(х) — ненулевой многочлен. Тогда фактор-кольцо А = Р[хЩх)Р[х] является полем в том и только том случае, если многочлен 1(х) неприводнм над полем Р. Пусть ул  †> В' — гомоморфизм колец. Определим лдро Мега и образ 1ш у гомоморфизма у следующим образом: (сего = (х б В[у(х) = О), 1шу = у(В) = (д(х) [х й В). Теорема о б и з о м о р ф и з м е д л я колец.
Пустаь у:  — ~ В'— гомоморфизм колец. Тогда Пег цз лвллгтсл идеалом кольца В и имеега местио изоморфизм В/1сегу а' 1гп у. Пусть  — кольцо и 1 — его идеал. Гомоморфизм В -+ В/1, ставящий в соответствие каждому элементу а б В смежный класс а+ 1, называется естесгавгииым гомоморфизмом. Пример 25. Пусть я е г( и д[п. Доказать, что дЕ„лэ Е„и Е /дЕя — Ел. з Определим отображение ул ń— ~ Ел правилом: у(х) = х шодд. Это отображение определено корректно, так как если х = у (шод я) и д [ я, то х ив ч у (шод д). Проверка того, что у является гомоморфизмом, осуществляется непосредственно.
Ядро отображения у состоит из элементов, которые ы 0 (пюдд), т.е. (сего = дЕ„. Следовательно, по теореме об изоморфизме ЙЕ„0 Е„и Е„/дЕ„~ Ел. с> Э 3. Кольца и поля 221 Пример 26. Доказать, что нзоморфны друг другу н являются полями кольца В1, Вэ н Вэ, где В1 = К[х]/(х + 1)К[х], Вэ ~/ а Ы вЂ” ] [а, Ь е К с обычными операциями сложения и умноже([ — 6 а) ния матриц и Вэ = ((а, Ь) [а, 6 Е К) с операциями (а, Ь) + (а', Ь') = = (а + а', Ь+ Ь'), (а, 6)(а', Ь') = (аа' — ЬЬ', аЬ' + Ьа'). 2 Элементы из В1 имеют вид ах + Ь+ Х, где 1 = (хэ + 1)К[х]. Полагая х+1 = 0, получим: В1 = (ад + Ь ) а, 6 Е К, 02 + 1 = О) = К[0].
Соответствия (а,6)-+ [ Ь ) -+ад+6 / а Ы между этими кольцами (Вэ -+ Вэ -+ В1), очевидно, взаимно однозначны. Сохранение операций прн этих соответствиях проверяется непосредственно. Следовательно, кольца изоморфны. Так как В~ — — В[0]— поле, то Вэ н Вэ — также поля. Эти поля изоморфны полю С комплексных чисел. ~> Пример 27. Доказать, что если Р— поле н 1(х) — многочлен первой степени над Р, то имеет место нзоморфизм Р[х]/1(х)Р[х] Ы Р. 0 Положим 1 = /(х)Р[х). Элементы факторкольпа Р[х)/1 имеют вид д(х) + 1, где д(х) Е Р[х).
Представители смежных классов могут быть выбраны таким образом, что деяд(х) < деб/(х). Значит, Р[х]/1 = = (Л+ 1[Л е Р). Нетрудно показать, что соответствие Л ~-1 Л+ Р взаимно однозначно и сохраняет операции, а значит, является изоморфизмом колец Р и Р[х]/1. с 4.473*'. Доказать, что Ж/сьев И Ж„. 4.474. Выписать все элементы фактор-кольца Жэ/4Ж8. 4.475. Определить изоморфные образы заданных фактор-колец: а) ~12/2~12~ б) ~48/бю48 4.476. Найти все идеалы кольна Я[х]/(хэ — 1)1,8[х]. 4.477.
Пусть В = Р[х] — кольцо миогочленов над полем Р, р = р(х) — неприводимый над Р многочлен, Найти все идеалы кольна В/р" В. 4.478. Доказать, что если  — ассоциативное кольна и 1 — его идеал, то кольцо В/1 также ассоциативно. 4.479. Пусть  — кольцо и 1 — его идеал. Будет ли В коммутативным, если 1 и В/1 коммутативны? 4.480*'. Пусть В1, ..., „— кольца и 11, ..., 1„— идеалы этих колец.
Доказать, что В1 9 "ЮВя/11 9... Щ1я = — (В1/11) 9... 9(В„/Хя). Гл. 4. Элементы общей алгебры 222 4.481*». Пусть  — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, а и Ь вЂ” его элементы и В = аВ+ ЬВ. Доказать, что В/аЬВ И В/аВ тут В/6В. В задачах 4.482-4.450 определить, чему изоморфны указанные фактор-кольца. 4.482". К[х]/(хз — 1)К[х]. 4.483, К[х]/(хт + х+ 2)К[х]. 4.484. Щх]/(хз — 1)фх].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
