341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отображение ~р: В -+ В' называется гомоморфпзмом, если выполнены условия: р(х+ у) = р(х) + ~з(у), ~р(ху) = р(х) р(у) для всех х, у е В. Если уи В -> В' взаимно однозначное отображение В на В', то р называется пзоморфизмом. Если существует изоморфизм ~р: В -~ В', то говорят, что кольца В и В' изоморфны, и обозначают зтот факт следующим образом: В и В'. Из определения гомоморфизма следуют равенства: ~р(0) = О, р(-а) = -у(а). Пример 4.
Показать,чтоотображениеу: Ж -~ Е„, у(а) = а(тойи) (остаток от деления а на и) — гомоморфизм колец. <з Так как ~з(а + Ь) = (а + Ь) (той и) = а (той и) + Ь (той и) (сложение по модулю и) и у>(аЬ) = (аЬ) (пюйи) = а (той и) + Ь (той и) (умножение по модулю и), то р — гомоморфизм. с 4.279.
Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфиаме является коммутативным кольцом. В задачах 4.426-4.429 проверить, что следующие отображения являются гомоморфными отображениями колец. 4.280.у: а,Ьей -+К, у =а — Ь. 4.281.У Ь Ь а,Ь~12 '(4 ~ Ь Ь '+Ь' 4,282. Является ли отображение С(а, Ь) -+ К, у -~ у(а) гомоморфизмом колен? В задачах 4.283 и 4.284 найти все гомоморфизмы колец. 4.283. Е -+ 2Е.
4.284. 2Е -+ 2Е. 4.285. Введем на группе (Е, +) умножение по формуле а в Ь = = — аЬ. Доказать, что (Е, +, *) — кольцо, нзоморфное кольцу целых чисел Е. 4.286*. Доказать, что Е „= Е,„Ю Е„при НОД(ги, и) = 1 (в правой части — прямая сумма колец). 199 у 3. Кольца и поля 4.287*. Пусть Х вЂ” множество из и элементов и Р(Х) — множество всех его подмножеств.
В качестве сложения на Р(Х) возьмем симметрическую разность Ал В = (А1В) 0 (В1А), а в качестве умножения — пересечение А й В. Доказать, что (Р(Х), сь, й)— кольцо, изоморфное кольцу Уз Ю... Ю Хт. и раз 4.288. Доказать, что всякое кольцо изоморфно цодкольцу некоторого кольца с единицей, 2. Поля. Пусть à — множество с двумя бинарными операциями + и, которые мы будем условно называть слвлсением и умножением.
Множество Г называется полем, если выполнены следующие условия (аксиомы полл): (П1) ч'а, Ь, с 6 Г (а+Ь)+с = а+(Ь+с) — ассоциативность сложения; (П2) 30 б Г Ча б Г а+ 0 = а — существование нуля; элемент 0 называется нулелй (ПЗ) т'а 6 Г ЗЬ Е Г а + Ь = 0 — существование противоположного элемента; элемент 6 называется противопололснын к а и обозначается -а; (П4) ч'а, Ь б Г а + 6 = Ь+ а — коммутативность сложения; (П5) Ча, Ь,сйГ (а+Ь) с=а с+Ь с — дистрибутивность; (Пб) т'а, Ь, с 6 Г (а Ь) . с = а.
(Ь с) — ассоциативность умножения; (П7) Ча, Ь б Г а Ь = Ь а — коммутативность умножения; (П8) 3 1 б Г Ч а б Г (1 уЕ 0 и а . 1 = а) — существование единицы; элемент 1 называется единипеб; (П9) т'а 6 Г (а ~ 0 => 366 Г а Ь = е) — существование обратного элемента; элемент Ь называется обратным к а и обозначается а '. Из определения видно, что по еложению всякое поле является абелевой группой. Группа (Г, +) называется аддитивнвб группой поля Г. Множество Г* = Г'1(0) ненулевых элементов поля Г является группой по умножению. Группа (Г', ) называется мультипликативноб группой поля Г. При мер 5. Доказать, что числа вида а+ Ьи'2, где а, Ь б Я, относительно обычных операций сложения и умножения образуют поле. < Перел проверкой аксиом следует убелиться в том, что применение операций сложения и умножения не выводят за пределы данного множества.
Пусть Г = (а + Ь~/2) а, 6 6 ®. Если х = а + 6~/2 и у = с+ И~Г2— произвольные элементы из Г (здесь а, Ь, с, д 6 Я), то их сумма а+у = (а+ с) + (Ь+ д)Л также принадлежит Г. Произведение ху = (а + Ьч'2)(с + й/2) = (ас + 264) + (ад + 6с) ~/2 также принадлежит Г, так как ас+ 2Ы б Я и ад+ Ьс б ф Выполнение аксиом (П1) — (П8) очевидно; ясно, что 0+0~/2 является нулем, а 1+0~/2— Гл.4.
Элементы общей алгеб ы 200 единицей в Г. Осталось проверить аксиому (П9). Для этого нам следует убедиться в том, что врн а+ Ь~/2 Е Г~(0) всегда можно найти такие х, у Е Щ что (а + Ь~/2)(х + у~Г2) = 1+ 0~/2, т.е. надо показать, что система уравнений с ох + 2Ьу = 1, Ьх+ау=О разрешима в Я. Определитель не может равняться О, так как ~/2 — иррациональное число. Следовательно, система разрешима и аксиома (П9) выполняется. Значит, г— пале. т> 4.289.
Доказать, что в произвольном поле Р выполняются следующие утверждения: а) нуль в поле г' единственный; б) противоположный элемент — а для данного а Е Р определяется однозначно; в) единица в поле г" определяется единственным образом; г) обратный элемент а 1 к элементу а ф 0 определяется единственным образом; д)длялюбогоаЕР а 0=0; е) в поле нет ненулевых делителей нуля, т.
е. для любых а, Ь Е Р из равенства аЬ = 0 следует а = 0 или Ь = О. В задачах 4.280-4.283 проверить, что указанные множества являются полями. 4.290. Множество рациональных чисел Я с операциями сложения и умножения (поле рациональных чисел). 4.291. Множество действительных чисел К с операциями сложения и умножения (поле дебстпвитпельных чисел). 4.292. Множество комплексных чисел С с операциями сложения и умножения (поле комплексных чисел). 4.293. Множество Ер, где р — простое число, с операциями сложения и умножения по модулю р (поле вычетпов).
Многвчленом над полем г называется выражение вида у(х) = а„х" +... +атх+во, где ао, ..., а„е Р— коэффициенты многочлена. При а„тЕ 0 число и называется стпепенью миогочлена у(х) и обозначается деб у. Степень многочлена, все коэффициенты которого равны О, удобно считать равной — оо. Вышеприведенная форма записи многочлена называется канонической записью мнвгвчлена и-б степени, коэффипиент а„— стпарштьн ЭЗ. Кольца я поля 201 коэффициентпом, ае — свободным членом.
Многочлен называется унитпарным, если а„= 1. 4.294. Пусть Р— поле. Обозначим г'[х[ множество всех много- членов аз+ атх+... + а„х" с коэффициентами ао, ам ..., ап Е Р, ап ф О. Сложение многочленов ао+атх+...+а„х" и Ьо+6|х+... ... + Ь, х'" определим правилом (ао+атх+... +а„х") + (6о+ Ьтх+... + Ь~х™) = = (ао + Ьо) + (ат + Ьт)х +... + (аь + Ьь)х . (здесь Ь = птах(тп, п), а; = О при т > и, Ь; = О при у' > тп). Умножение определим правилом а;х' ,'т Ьуху = ) сьх~, т ь где сь = ~ а;Ьт.
Доказать, что Р[х[ — кольцо. Это кольцо ььу=ь называется кольцом мноеочленое над полем Г, 4.295. Доказать, что множество г'(х) всевозможных дробей вида —, где т (х), д(х) Е г'[х[ и д(х) Ф О, относительно обыч- 1() д(х) ных операций сложения и умножения является полем. Оно на- У(х) Л(х) зывается полем рациональных функций. Две дроби — и— д(х) дт(х) считаются равными, если у(х)дт(х) = д(х)ут(х).
4.296. Доказать, что любое поле является кольцом. 4.29т. Пусть г' — поле. Обозначим через Р„ (другое обозначение: Мп(г")) множество всех квадратных п х п-матриц с элементами из поля Р с обычными операциями матричного сложения и умножения. Доказать, что г'„— кольцо. Это кольна называется кольцом матприц (над полем Г). В задачах 4.298-4.301 определить, образуют ли поле указанные элементы. 4.298. Числа вида а+Ь~~Г2, где а, 6 Е Я, относительно обычных операций сложения и умножения. 4.299. Числа вида а+ Ь~У2+ с~Г4, где а, 6, с Е Щ относительно ебычных операпий сложения и умножения.
4.300. Числа О, 1, 2, 3, 4, 5 с операциями сложения и умножения по модулю 6. 1'х у1 4.301. Матрицы вида ~ ), где х, у Е Щ относительно опе'12у х)' раций матричного сложе ия и умножения. Гл.4. Элементы общей алгеб ы 202 /х у1 4.302. Выяснить, при каких и Е Е матрицы вида ~ '1 ну х) ' где х, д е Ер, являются полем относительно операций матричного сложения и умножения.
П р и м е р 6. Вычислить значение выражения (2 3+ 3 4) 'о в поле Ев. э Так как 2 3 = 6: — 1 (той 5), то 2 ° 3 = 1 в Ев. Аналогично получаем: 3 4 = 2 в Ев. Следовательно, (2 ° 3 + 3 ° 4)'о = (1 + 2) го = 3'о = (Зэ)в = = Ов = (-1)в = — 1 = 4. Здесь использовано то, что -1 = 4 (глод 5), а значит, — 1 =4 в Ев. с В задачах 4.303-4.306 вычислить значение выражения в указанном поле. 4.303. (2 6+ 3 5)1О в поле Еу. 4.304. (1+ 2. 3.
4) э в поле Еы. 4.305. (7+ 3 1. 4) 1 в поле Епь 4.308. 1 ' + 2 1 +... + (р — 1) 1 в поле Е . Пример 7. Решить уравнение в указанном поле: а) Зх+ 4 = 0 в поле Ем, б) 2х + 5х+ 4 = 0 в поле Еы. л а) В поле уравнение ах + Ь = 0 при а ф О имеет единственное решение: х = (-Ь)а '. В Еы -4 = 13, 3 г = 6.
Следовательно, х=13 6=10. б) Воспользуемся обычной формулой корней нвадратного уравнения -Ь~ 1Ф ахэ+Ьх+с = О, а именно, х1 э =, где 0 = Ьэ — 4асг). В поле 2а Е 1 диснрнминант 17 = 5э — 4 2 4 = 25 — 32 = — 7 = 4 = 2э, поэтому — 5х2 -5+ 2 хцэ = — — — —. 2 2 4 Отсюда -5 — 2 — 7 4 -5+2 -3 8 хг —— 4 4 4 ' 4 4 4 В задачах 4.307-4.313 решить следующие уравнения в укааанном поле. 4.307.
Зх+ 7 = 0 в поле Е1т. 4.308. 5х+ 11 = 0 в поле Е1д. 4.309. 4хэ + х + 2 = 0 в поле Еу. 4.310. 2х + 4х + 1 = О в поле Еэ. 4,311. хз + х + 2 = О в поле Еь. 4,312. х4 + Зха + 4х + 5 = 0 в поле Еу, 4.313. х = -1 в поле Е11. ") Формула корней кввдрвтнога уравнения ахв + Ьх+ с = О, гле а, Ь, с е Г н а ф О, справедлива в любом поле г, в котором 1 + 1 ф О. 3.
Кольца и поля 203 В задачах 4.314 и 4.315 решить систему уравнений в укааанном поле. ( Зх+ 4у = 1, ! 4х+ 5у = 6, 4.314. ~ ' в Егэ. 4.315. ~? 3 1' в Еп. 4.316. ~айти обратную матрицу для матрицы А, заданной в указанном поле: 1 О 1 1 О 1 О 1 а) А = 4 О 1 (над Ег); 6) А = (над Ез). 1 1 1 1 4.317. Найти ранг заданной матрицы в указанном поле: 2 3 1 4 5 1 2 1 1 О 1 2 О 6 3 2 1 О 2 1 3 3 5 О 2 (над Ет); 6) 1 2 2 1 1 (над Ез). 2 4 4 3 5 О 0 1 О 1 4,318". Доказать малую гиеорему Ферма: аР = а для всех а 6Ер.
4.319'. Найти количество элементов а поля Ер (р > 2), для которых уравнение х~ = а разрешимо. 4.320'. Пусть р — простое число, а, Ь, с Е Ер и а ~ О. Сколько различных значений принимает квадратный трехчлен ах +Ьх+с? 4.321*. Доказать, что если р — простое число и р — 1 не делится на 3, то уравнение х = а имеет единственное решение для каждого а Е Ер. 4.322. Пусть Š— поле чисел вида а + Ь~(2, где а, Ь Е Я. Разрешимо ли в Р уравнение хз = 2? 4.323'*. Выяснить, является ли полем прямая сумма двух полей. Пусть Р— поле и 1 — единипа поля Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
