341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 32
Текст из файла (страница 32)
х А„— также группа. 4.112. Пусть А и  — множества с операциями, ук А + В— гомоморфизм (определение гомоморфизма множеств с операцией ) Эта оиервлня лрелстввлявг собой нрвеиво сев«сенин скоростев е снециввьноа теории относитевьности. 180 Гл.4. Элементы общей алгебры см. 91) А на В. Доказать, что если А — группа, то  — также группа. 4.113'.
Доказать, что если йк С » С' — гомоморфизм групп, то ~р(е) = е' и ~р(а ~) = р(а) 1, где е, е' — единицы групп С, С' соответственно. 4,114. Найти все гомоморфизмы группы Ж в себя. 4.115. Пусть С вЂ” группа а — фиксированный элемент С. Определим другое умножение в С, полагая х * у = хор. Доказать, что (С, *) м (С, .). 4.118'. Доказать, что если Х вЂ” конечное множество из и элементов, то группа из задачи 4.107 изоморфна,'Ет х Кэ х ... х Кт. и эзз 4.117. Доказать, что: а)* (К, +) ы (К+, ), где К+ — множество всех положительных действительных чисел; б)" Щ +) 91 Я»., ), где Я+ — множество всех положительных рациональных чисел; /а Ы в) С1 ~ Сэ, где С1 — группа матриц вида ~ ) (а, б Е К, а ,-Е О) с операцией умножения матрип, Сэ — группа из задачи 4.106 а); /а г) С1И Сэ, тле С1 — группа матрицвида ~ ~ (а, б, с Е К, су а, с ф.
О) с операцией умножения матриц, Ст — группа из задачи 4.106. Непустое подмножество Н группы С называется яоогрупкоа (обозначается Н < С), если оно само является группой относительно той же операции. В группе С наименьшая подгруппа — (е), наибольшая— С.
Эти подгруппы нааываются гиривиольнымж Остальные подгруппы (еслн онн существуют) называются нетривиальными. 4.118. Доказать, что непустое подмножество Н С С является подгруппой группы С в том и только том случае, если выполнены условия: абЕН и а ' ЕНпри всех а, бЕН.
4.119*. Доказать, что подмножества вида яУ., где и Е Й, и только они, являются подгруппами группы Ж (здесь яе", = (тй ~?с Е Е Ж)). 4.120. Доказать, что пересечение () Н,„подгрупп Н„является а подгруппой. 4.121. Может ли группа быть объединением двух своих нетривиальных подгрупп? 4.122. Пусть С вЂ” множество всех ненулевых комплексных чисел, А — множество положительных действительных чисел, В— 3 2. 1)эуппы 181 множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Доказать, что относительно обычного умножения С вЂ” группа, А и  — ее подгруппы, причем С М А х В.
Пусть М вЂ” подмножество группы С, тогда символом (М) будем обозначать пересечение всех подгрупп, содержащих множество М. Это множество называют подеруппой, порожденной множеством М: (М) = П Р. Множество (М) состоит в точности из тех элементов, комйРйа торые можно записать через элементы из М, используя операции умножения и взятия обратного элемента а '. Говорят, что М порождаепт подгруппу Н, если (М) = Н. 4.123. В группе Еш с операпией сложения по модулю 12 найти указанную подгруппу: а) (3); б) (4, 9). Группа С называется циклической, если существует элемент а с С такой, что (а) = С.
Прн этом а нааывается образующим злеменспом группы С. Пример 4. Выяснить, какие элементы являются образующими элементами группы Е„. э Пусть а е Е„. Докажем, что элемент а является образующим элементом группы Е„в том н только том случае, если а взаимно просто с п. Предположим вначале, что а и и взаимно просты. Тогда ах+ пу = 1 при некоторых х, у б Ет).
Можно считать, что х > О. Так как и = О в группе У„, то в этой группе а+ а+... + а = 1. Таким образом, склаваэ дывая элемент а с самим собой несколько раз, можно получить элемент 1. Отсюда следует, что нз а можно получить любой элемент группы Е„. Следовательно, а — образующий элемент. Теперь предположим, что а и и не являются взаимно простыми. Пусть д > 1 — их наибольший общий делитель.
Построим последовательность элементов группы Е„, складывая элемент а с самим собой по модулю и: а, а+ а, а+ а+ а, ... Если а — образующий элемент, то построенная последовательность содержит все элементы группы Е„. Поэтому йа = 1 (шос) и) при некотором к. Отсюда следует, что )со + гп = 1 при некотором 4 й Е.
Однако это невозможно, так как на+ 4п делится на И. > В задачах 4.124 — 4.127 определить, какие элементы являются образующими в указанной группе. 4124 Е1о 4125 Ень 4129 Е44 4127 Егэ 4.128. Доказать, что Ун — циклическая группа, и найти ее какой-нибудь образующий элемент (см. задачу 4.94). 4.129. Доказать, что всякая циклическая группа изоморфна либо группе Е, либо Е„ при некотором и б И. 4.130. Доказать изоморфизм групп Е„ и СГн.
) Теорема в теории чисел. Если д = ПОД(а, 6), то существуют такие х, у й й Х, что ах + 6у = д. 182 Гл. 4. Элементы об»цей алгеб ы )2кй('1 Пусть «» = ехр ~ — ) — элемент группы У„й = О, 1,..., я — 1 и ) (проверьте!). Назовем ~» примитиенмм (или иервообрпэным) корнем н-б степени иэ единицы, если Г»™ ~ 1 при т = 1, 2, ..., и — 1. Пример 5. Доказать, что произведение примитивных корней 3-й и 4-й степени из 1 является примитивным корнем 12-й степени из 1. з Пусть а — примитивный корень З-й, а !у — примитивный корень 4-й степени из 1.
Если (а!1)» = 1 для некоторого Ь 6 И, то (а!З)э» = 1, и ввиду того, что аэ = 1, получаем !)э» = 1. Следовательно, 4 ) ЗА, а значит, 4) Ь. Аналогично доказывается, что 3) (с. Следовательно, Ь делится на 12. Эти рассуждения показывают, что (а!3)' ~ 1 при 0 < 1 < 12, т.е. а!у — примитивный корень 12-и степени из 1. !э 4.131. Найти все образующие элементы группы ГУ»з. 4.132. В каком случае произведение примитивных корней т-й и и-й степени из 1 является примитивным корнем тя-й степени из 1? 4.133. Доказать, что всякая подгруппа циклической группы является циклической.
Пусть С вЂ” группа с единипей е и а 6 6. Порядок о(а) элемента а— это наименьшее натуральное н (если оно существует), для которого а" = е. Если а" ф е ври всех я, то говорят, что а — элемент беснонечного порядка, и пишут о(а) = оо. Порядок элемента обладает следующими свойствами: а) о(а) — делитель !С), если )С) < оо; б) о(д»ад) = о(а); в) о(а ') = о(а); г) о(а) = !(а)/; д) о(Ьа) = о(аЬ); е) если о(а) = т и д! т, то о(а ) = —; т И' ж) если НОД(й, о(а)) =1, то (а») = (а) и о(а») = о(а); з) если о(а) = т н а = е, то т(/с; и) порядок элемента а = (ам..., а„) группы А = А» х... х А„равен наименьшему общему кратному чисел о(а;), т.
е. о(а) = НОК(о(а»),..., о(а„)). Пример 6. Найти порядки каждого из элементов группы Ее. з Же = (О, 1, 2, 3, 4, 5) . Порядком элемента а этой группы будет являться наименьшее натуральное число т такое, что та = О. Очевидно, элемент 0 имеет порядок 1, т.е. о(О) = 1. Далее, наименьшее число т, для которого т 1 = О, равно б, поэтому о(1) = 6. Рассуждая аналогично, получим: о(2) = 3, о(З) = 2, о(4) = 3, о(5) = 6.
С> 4.134. Доказать свойства а)-и) порядка элемента. 4.135. Доказать, что группа С порядка я является пиклической в том и только в том случае, если в ней есть элемент порядка г». 2. 1)эуппы 183 4.136'. Чему равны порядки элементов в группе ))1')(О) с операцией обычного умножения? 4.137'. Пусть а и Ь вЂ” два элемента конечного порядка группы С, причем аЬ = Ьа и НОД(о(а), о(Ь)) = 1.
Найти о(а6). 4.138. Пусть а и Ь вЂ” элементы группы С, причем а6 = Ьа, о(а) = 4 и о(Ь) = 10. Найти о(аЬ). В задачах 4.139 — 4.141 найти все элементы указанного порядка: 4Л39. Порядка 8 в группе Без. 4.140. Порядка 8 в группе С')(О) с операцией умножения. 4.141. Порядка 10 в группе С~(0) с операцией умножения.
4.142. Доказать, что в группе Уп количество элементов порядка и равно гр(и)з). В задачах 4.143-4.145 в группе С')(О) с операцией умножения ' найти количество элементов указанного порядка. 4.143'. Порядка 28. 4Л44. Порядка 60. 4.145. Порядка 100. В задачах 4.146-4.148 найти порядки каждого из элементов указанных групп.
4.146. Его. 4.147. Жз х Жз. 4.148. Группа кватернионов (см. задачу 4.110). 4.149. Чему равен порядок элемента а в группе Жп? (Ответ дать в виде формулы, содержащей а и и.) В задачах 4.150-4.153 найти количество элементов порядка т в группе С. 4 150. гп = 6, С = йз х Ж4 х уз. 4.151. т = 10, С = 34 х К4 х л.зз. 4.152. т = Ро, С = Яро (Р— пРостое число, гг, )1 Е )М).
4.153. С = л,п. 4.154'. Доказать, что если НОД(т, и) = 1, то Х о М Я х Ж„. 4.155. Доказать, что если С вЂ” группа, а, 6 Е С, аЬ = Ьа и (а) П (Ь) = (е), то о(аЬ) = НОК(о(а), о(Ь)). 4.156*. Доказать, что в группе порядка и уравнение хш = а разрешимо для любого а и любого целого т, взаимно простого с и. 3. Группы подстановон. Пусть т — подсгооновко, т.е. взаимно однозначное отображение множества (1, 2, ..., п) нз себя (определение см. гл.
2, З 1, и. 2). Произведением (компознпиег)) то подстановок т и и называется результат последовательного выполнения сначала отображения л, з потом в"). Оброгпнол подсгпоновко и ' получается нз л переменой строк. Совокупность всех подстановок множества (1, 2, ..., п) с операцией композиции отображений образует спммегприческую группу и-гг ) Здесь у(п) — функззл Эвлерв (золнчестзо натуральных чисел, меньших и н зззнмно простых с и). ) Иноглз произведением хв нззыззлгт результат последовательного зыполненнл сначала в, потом и. Гл. 4.
Элементы общей алгеб ы 184 сглеяеяк 5„. Нетрудно видеть, что тождественное отображение множества (1, 2, ..., я) на себя является едвкипеб в группе Я„. Всякая подстановка группы Я„может быть записана в каноническом. виде /1 2 ... я1 и = ~... (, т.е. с натуральным расположением чисел в верх- 111 4э ° 1 ( ней строке. Подстановка,вкоторойнекоторыеснмволыом аэ, ..., аь 6 (1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
