341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Найти значение тензора АЗВ-ВЗА от набора (и, ч, ън), где А = е~Зег+2е~Заа, В = Зе~ — 4ез, и = е1+ег, ч = ег — Зез, ът = е1 + ег + ез. 3.268. Найти значение тензора АЭВ+ВЗА от набора (сс „В, у,6), где А = (е1+2ег) Зез+е1Зег, В = (ег+ез) Зе1+ 2е1З ег, с, е1 В е1 + аг + ез ,у б е1 ез 3.269. Найти координаты Т1гз, Т311 тензора Т„'11 в базисе 1 2 -2 (е1 ег ез) = (е1 ег ез) О 1 3 О О 1 если в базисе е1, ег, ез все его координаты равны 2. Глава 4 ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ В 1.
Бинарные отношения и алгебраические операции 1. Бинарные отношения и их свойства. Декартовым (или прямым) произведением множеств Аы Аз, ..., А„называется множество Аг хАз х...хА„= ((аы аю ..., а„) ~ (аг б Аы аз б Аю ..., а„б А„)). Бинарным отношением в на множестве А называется подмножество множества А х А (в С А х А). Если элементы х, у е А связаны отношением сг, то пишут (х, р) Е а или хор; если не связаны, пишут (х, у) р а или х ф р. Бинарное отношение а рерглексивно, если для любого а б А имеет место (а, а) б а; симметрично, если для любых а, 6 б А из (а, 6) б в следует (Ь, а) Е а; ангписиммсгпричнв, если ни для каких а, 6 б А, где а ~ Ь, невозможно одновременное выполнение условий (а, 6) б в и (Ь, а) Е сг; транзигпивно, если для любых а, 6, с б А из условий (а, Ь) б сг и (Ь, с) б в следует (а, с) б а. Пример 1.
Выяснить, какими из основных свойств (рефлексивность, транзитивность, симметричность, антисимметричность) обладает отношение перпендикулярности (.1), заданное на множестве всех прямых на плоскости. з Отношение 1., заданное на множестве всех прямых на плоскости, не- рефлексивно (говорят также: иррефлексивно), так как а б а для любой прямой а; симметрично, так как для любых прямых а и 6 из а 1. 6 следует Ь 1. а; нетранзитивно (говорят также: ннтранзитивно), так как для любых прямых а, 6 и с на плоскости из условий а .1 6 и 6 .1 с не следует а .Е с; неантисимметрично, так как из а .1 Ь и Ь .1 а не следует Ь= а.
~> П р и м е р 2. Доказать, что из условий рефлексивно сти и симметричности бинарного отношения не следует его транзитивность. ~ Для доказательства достаточно привести пример рефлексивного и симметричного бинарного отношения, не являющегося транзитивным. В качестве примера рассмотрим бинарное отношение в, заданное на множестве К следующим образом: авЬ с-.» (а — Ь| < 1. Отношение т рефлексивно, так как ава для любого а Е К (ввиду того, что ~а — а( = О < 1), и симметрично, так как (а — 6| = )Ь вЂ” а( для любых а, Ь б К.
Однако а не является транзитивным, так как 1 т2, 2аЗ, но 1 р' 3. ~> 3 1. Бинарные отношения я алгебраические операции 165 В задачах 4.1 и 4.2 выписать все элементы декартова произведения укааанных множеств. 4.1.М1=( — 1,2), М«=(а,Ь,с). 4 2. М1 = (1 3) Мг = (5 б 7) Мз = (а). В задачах 4.3-4.9 определить, какими из основных свойств (рефлексивность, транзитивность, симметричность, антисимметричность) обладают отношения а;, заданные на множестве натуральных чисел: 4.3.
гпе»1п, если т и и не имеют общих простых делителей. 4.4. «позп, если»п делится на и'. 4.5. гпцэп, если гп' = и. 4.8. п»ц«п, если гп < и. 4.7. тпцеп, если гп < п. 4.8. тцеп, если «и — и = (с, где к — фиксированное целое число. 4.9. татп, если т — и делится на?с (?с — фиксированное целое число). Если множество А конечно, т.е.
А = (ап ..., а„), то каждому бинарному отношению а С А х А можно сопоставить матрицу размера и х и, называемую матричей отношения в которой на пересечении «-й строки н у-го столбца стоит 1, если (ап а») 6 а, и 0 в противном случае. 4.10. Пусть А — конечное множество, сг С А х А — бинарное отношение на А. Что собой представляет матрица отношения а в случае, если оно: а) рефлексивно; б) симметрично; в) антисимметрично? 4.11'. Доказать независимость друг от друга свойств бинарного отношения: «быть рефлексивным», «быть симметричным», «быть транзитивным». 2. Виды бинарных отношений. Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пусть а — отношение эквивалентности на множестве А. Для каж.
дого а 6 А определим класс эквивалентности К(а) элемента а, полагая К(а) = (х 6 А~(х, а) 6 а). Факпюр-множеством миожестеа А по отношению эквивалентности и (обозначается: А/о) называется множество всех классов эквивалентности Ае: А/а = (А„! е«6 У) (?в некоторое множество индексов).
Выберем в каждом классе эквивалентности А по одному элементу а . Множество (а ~а е У) называется множеством представителей классов эквивалентности, а сами элементы а„— представителями классов. В качестве представителя класса может быть выбран любой его элемент. Пример 3. Пусть А — множество всех прямых на плоскости. На А введено отношение а такое, что ааЬ, если аиЬ (счнтается, что айа для любой а 6 А). Доказать, что о — отношение эквивалентности. Найти 166 Гл.4. Элементы общей алгебры фактор-множество А/а и какое-либо множество представителей классов эквивалентности.
а Отношение а является рефлексивным, симметричным и транзитивным (проверяется непосредственно). Следовательно, а является отношением эквивалентности. Зафиксируем на плоскости какую-либо точку О. Каждая прямая а, проходящая через точку О, задает класс эквивалентности, в который входят все прямые, параллельные а.
Зги классы образуют А/а. Множество прямых, проходящих через точку О, является множеством представителей классов эквивалентности. С Бинарное отношение называется отношением норлдна (или отношением частичнозо норлдна), если оно рефлексивно, транзитивно и антнсимметрично. Бинарное отношение а дихотомично, если для любых а, Ь б А (а, 6) 6 а или (Ь, а) б а. Дихотомичное отношение частичного порядка наЗывается отношением линейноео норлдна. Множество, на котором задано отношение частичного (или линейного) порядка, называется частично (или линейно) упорядоченным. Если множество А частично упорядочено отношением <, то полагаем а < Ь, если а < Ь и а э~ Ь. Кроме того, а > Ь сь Ь < а, а > Ь ьь Ь < а.
Максимальный элемент частично упорядоченного множества Р— такой элемент э, что для любого х б Р из х > э следует х = х; минимальныа элемент — такой элемент и, что для любого х б Р из х < и следует х = и; наибольший элемент — такой элемент р, что х < р для любого х б Р; наименьший элемент — такой элемент о, что х > о для .любого х б Р. 4,12. Какие из отношений ай задач 4.3 — 4.9 являются отношениями эквивалентности, а какие отношениями порядка? В задачах 4.13-4.16 бинарные отношения заданы на множестве всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.
Какие из них являются отношениями порядка? Какие являются отношениями эквивалентности? 4.13. (аы ат, ...)а1(ЬО Ьт, ...), если Чь' Е 14 а; < Ь;; 4.14. (ам ат, ...)аз(ЬО (~, ...), если Вя: Чй > я аь = Ьь, 4.13. (ам аз, ...)пз(Ьм Ьг, ...), если Вя: ЧЬ > гь аь < Ьь; 4.16. (ам ат, ...)а4(6ы Ьз, ...), если либо Чя аь = Ьь, либо В и: Ч/с ф я аь < Ьь. 4.17. Пусть я — натуральное число. Введем на множестве У отношение гг, считая, что ааЬ, если а — 6 делится на гь Е г1 без остатка. Найти фактор-множество Ж/гг и какое-либо множество представителей классов эквивалентности. 4.18'ь.
Доказать, что всякое отношение эквивалентности и на множестве А определяет разбиение множества А на непересекающиеся подмножества. Наоборот, всякое разбиение множества А есть разбиение на классы некоторого отношения эквивалентности и. э 1. Бинарные отношения и алгебраические операции 167 Пусть о, т С А х А — бинарные отношения. Включение т С о означает, что все пары, принадлежащие т, принадлежат и о. 4.19. Рассмотрим множество всевозможных бинарных отношений на множестве А х А, частично упорядоченное по включению С. Ответьте на поставленные вопросы.
В пунктах д) и е) ограничьтесь случаем конечного множества. а) Какое бинарное отношение является наибольшим? б) Какое бинарное отношение является наименьшим? в) Какое отношение эквивалентности является наибольшим (наименьшим)? Каковы разбиения на классы наибольшего (наименьшего) отношений эквивалентности? г) Существует ли наименьшее отношение порядка? д) Существует ли наибольшее отношение порядка? е) Существует ли максимальное отношение порядка? 4.20.
Отношение о на множестве действительных чисел определяется правилом: (х, у) Е сг е> х — у Е Ж. Доказать, что а — отношение эквивалентности. Что представляют собой классы эквивалентности этого отношения? 4,21. Пусть М вЂ” множество всех функций, определенных на отрезке [а; Ь]. Отношения о' и т определяются следующим образом: уод, если у(а) = д(а); )тд, если для всех х Е [а;, Ь) у(х) < < д(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
