341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 25
Текст из файла (страница 25)
п 3.201. А(х,у) = ~ а;,х,ут,гдеЕ=К", х,уеК", А= 4бж1 = (а; ) — некоторая матрица. 3.202. Пусть в пространстве .С„задан базис З = (еы...,е„), А(х, у) — билинейная форма в Е„и А(е;, е ) = ань Доказать, что: а) А(х,у) = ~ о,зх;у~,гдех;, у (т, г'=1,2,...,н) — кобу=1 ординаты векторов х и у в базисе З; б) если А' = (а'; ) — матрица билинейной формы А(х, у) в базисе З' = (е1, ..., е,',), то А' =. Т' АТ, где Т = Таз,щ — матрица перехода от базиса З к базису З'. Пусть в пространстве Кз задана билинейная форма А(х, у).
Найти ее матрицу в базисе З = (еы ег, ез), если: 3.203, А(х, у) = х|у1 + 2хгуг + Зхзуз, е1 = (1, 1, 1), ег = =(1,1,-1), ез=(1 1 1). 3.204. А(х, у) = х1уг + хгуз + хзуы е1 — — (1, О, О), ег = = (1, 1, О), ез = (1, 1, 1). з 3. Билинейные н квадратичные формы 145 В пространстве К" задана билинейная форма А(х, у) в базисе %.
Найти ее матрицу в базисе В', если: 3.205. и = 4, А(х, у) = х1уз + хауз + хзул! 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 т 3.206. и = 2, А(х, у) = х1уг+ х1уг+ хзуг — хауз, т 3.207. Доказать, что скалярное произведение (х, у) в евклидовом пространстве Е является билинейной формой. 3. Нвадратичные формы. Пусть А(х, у) — симметрическая билинейная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если положить у = х, называется нвадрагличной. При этом А(х, у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, х). Если в действительном линейном пространстве ь".„фиксирован некоторый базис З = (еы..., е„), то квадратичная форма А(х, х) в этом базисе имеет вид А(х, х) = ~ а„х;ху, ну=э где А = (аи) — матрипа квадратичной формы и х = х1еь +...
+ х„е„. Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы не содержит произведений х;ху (1 ф у), т.е. (2) Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если А; = х1, О, 1 = 1, 2, ..., я, то получаем нормальныб вид квадратичной формы А(х, х). Для всякой квадратичной формы существует такой базис Ж', в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А(х, х) в базисе Ж имеет вид (1). Если все коэффициенты ан (при квадратах хэ), 1 = 1, 2,..., и, равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя 14б Гл.
3. Линейная алгебра бы одно произведение, например 2а!гх1хг. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами х! =х,+хг, ! ! хг = хг — хг, ! х;=хя 1=3,...,я. !г !г ,г г Тогда 2аггх!хг — — 2а1г(х, — хг ) = 2а1гх, — 2аггхг, и так как, по ,г предположению, ам — — агг = О, то коэффициент при х', отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис Ж, в котором в записи (1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля. В дальнейшем считаем, что ам ф О.
(Если аы —— О, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы ем ег,..., е„, что также является некоторым преобразованием базиса.) Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую хм т. е.
аг — — амхг + 2аггх1хг +... + 2аг„хгх„. г Дополним эту сумму до полного квадрата: 1 аг = — (амх!+... +а1 х„) — у, ам где у есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от хм Если теперь сделать замену х, = амх! +... + а!„х„, ! х,'=хо 1=2,...,я, то квадратичная форма в новом базисе примет вид в 1 !г ч ... 1,г А(х, х) = — х, + г а,"х,ху = — х, +Ам ам, и' ам Ф,у=г 1,г В полученной форме выделено слагаемое — х',, а оставшаяся часть А! ам является квадратичной формой в с.„м Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы А!(х, х), и т.
д. П р и м е р 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму А(х, х) = 2х!хг + 4х!хг — хг — 8хзг. г 1-е преобразование: х! = хг, хг = х'„хг = хз. Тогда получим А = -х~ +2х',хг+4х!гхг — 8х!з . 3. Билинейные и квадратичные фо мы 147 2-е преобразование: х," = — х', + хэ, хэ' = хэ, хэ = хэ. Получим новое выражение пля квадратичной формы: А = — х!' + хэ + 4хэха 8хэ . 3-е преобразование: х'," = х",, хэ" = хэ + 2хэ, хэ" = хэ, и форма принимает канонический вип: А(х! х) = -х'," + х'," — 12хэ Прн эхом /!! х, = х! — хэ, хгн = х э ! + 2хэ, !я хэ = хэ ~> Метод собственных векторов.
Будем рассматривать нвалратичную форму (1) в евклиповом пространстве и". Таи ван ее матрица А = (а; ) симметрична, то она может быть представлена в виде А = Уь1Ут, гле 11 — диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а У вЂ” ортогональная матрица (см. пп. 3 и 4 э 2). Столбцы матрицы бг являются координатами некоторого ортонормированного базиса З! = (еы ..., е„), в котором матрица А имеет диагональный внп О, и, следовательно, квадратичная форма— исвомый канонический вил. Соответствующее преобразование воорпинат определяется соотношением Пр имер 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее нвалРатичнУю фоРмУ А(х, х) = бхэ + 5хээ+ 7хэ э— 4х1хэ + 4х!хэ, заданнУю в евнлиловом пространстве К~, н каноническому виду.
Написать этот ваноничесний вид. О Матрица квадратичной формы имеет виц А= — 2 5 0 (Обратить внимание, аан получаются элементы а; (4 1Е у) из явного вида квадратичной формы!) Собственные числа згой матрицы суть Л1 = = 3, Лэ = 6, Лэ = 9. Соответствующие ортонормированные собственные Гл.
3. Дииейлал алгебра 148 векторы: 2 21 3' 3/' и, следовательно, у 1 2 2 1 уут 1. 2х', — хг+2хз 3 2х', + 2хг хз 3 — х', + 2х~г + 2хз 3 х1 —— хз = 3.208. Доказать, что всякая квадратичная форма А(х, х) в евклидовом пространстве Е„может быть записана в виде А(х, х) = = (Ах, х), где (х, у) — скалярное произведение в Е„и А— некоторый оператор.
3.209. Доказать, что полярная билинейная форма А(х, у) однозначно определяется своей квадратичной формой А(х, х). Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм: 3.210. хз~+ 5хгг — 4хзг+ 2х1хг — 4х1хз. 3.211. х1хг + хгхз+ хзхз. 3.212. 4хг1+ хгг+ хзз — 4х1хг+ 4х1хз — Зхгхз. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид: 3.213, 11хг1+ 5хг г+ 2хз г+ 1бхтхг + 4х1хз — 20хгхз.
3.214. хгз + хг г+ 5хзг — бх~хг + 2хзхз — 2хгхз. 3.215. хг1 + хг г+ хзг + 4х1хг + 4х1хз + 4хгхз. 3.216. 17х~1 + 14хгг + 14хз г— 4х1хг — 4х|хз — Вхгхз. В базисе З' = (е1, ез, е~з) заданная квадратичная форма имеет вид А(х, х) = Зх', + бх~г + 9хз, э соответствующее преобразование коор- динат: 3 3.
Билинейные л квадратичные формы 149 Квадратичная форма А(х, х), определенная в действительном линейном пространстве Е„, называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого х Е С„(х ф 0) А(х, х) > О ((0). Пусть А = (аб) — матрица квадратичной формы А(х, х) и аы агг ... а1„ ам агг ... агп ~а14 аю~ Р~=ам, Рг=~ ~,...,Р„= ~ам агг~ аы ачг ° аии А(х, х)+ 2(Ъ, х)+с= ° ~~~ аих;ху+2~ Ььхь+с = О, (3) ну=1 где в левой части стоит многочлен второй степени от и переменных хм ха~ ~ хь. — последовательность главных миноров матрицы А. Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А(х, х) бьта положительно определенной, необходимо и достаточно, чтпвбы все главные миноры ее лгатрицы А были положительны, га.е.
Рь > О, lс = 1, 2,..., п. 3.217*. Доказать: для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства (-1)"Рь > О, й = 1, 2, ..., п. В задачах 3.218-3.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет: 3.218. хзг + 26х~~ + 10х1хз. 3.219.
-хзг + 2х1хз — 4хзз. 3.220. х~г — 15х~з + 4хгхз — 2хгхз + бхзхз. 3,221. 12хгхз — 12хгхз + бхзхз — 11х~г — бхз~ — бхз~. 3.222. 9хгг + бх~ ~+ бхзз + 12хгхо — 10х4 хз — 2хзхз. 3.223. 2х4 + хгхз + хгхз — 2хзхз + 2хзх4. 3.224. хг~ + 4хз ~+ 4хз + 8х4 + 8хзх4. 3.225. Доказать, что квадрат длины вектора ~х~з в и-мерном евклидовом пространстве Еп является положительно определенной квадратичной формой. 4.
Кривые и поверхности второго порвана. Гиперпвверхностью второго нарядна в евклидовом пространстве К" называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Гл. 3. Линейная алгебра 150 Задача классификации гиперповерхностей второго порядка состоит в нахождении такого базиса в К", в котором леван часть уравнения в новых переменных х1, хт, ..., х'„имеет наиболее простой вид.
Длн этого сначала ищется такое ортогональное преобразование, что в новых переменных квадратичная форма А(х, х) = Я а,"х,ху имеет каноницу=1 ческий вид. В новом базисе уравнение (3) записываетсн следующим образом: И и Льхь + 2~ Ь'„х~ь+с = О, ь=! э=1 причем не все Ль, 1 = 1, 2, ...,я, равны нулю. Если Ль ф О, то перено- сом начала координат можно уничтожить линейный член: т э (, Ь ~ Ь „Ь Льхь + 2Ььхь = Ль ( хь + — ( — — = Льхь — —.
л ( л л После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию переменных, если это необходимо) Л1х1' +... + Л,х" ,+ Ь",+1х,"+1 + Ь'„'х'„' + с" = О. (4) Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперповерхности второго порядка. Множество точек плоскости К~, удовлетворнющих уравнению (3), называется кровей егяорого яорлдка. В этом случае каноническое уравнение (4) может принимать один нз следующих видов (в переменных х, у): 1) Л1х +Лэу +с =0 (Л1Лэ~О); 2) Л, +Ьу=О (Л ФО); 3) Л1хэ+ с = 0 (Л1 ф 0). Пример 3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка: Зхэ + 10ху + Зуэ — 2х — 14у — 13 = О, определить ее тип и найти каноническую систему координат /3 5Л О Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна ( 5 3 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
