341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов: 3 52. х1 = (1, О, О, -1), хз = (2, 1, 1, 0), хз —— (1, 1, 1, 1), х4 = (1, 2, 3, 4), хз = (О, 1, 2, 3). 3.53. х1 = (1, 1, 1, 1, 0), хз = (1, 1, -1, -1, -1), хз = (2, 2, О, О, -1), х4 = (1, 1, 5, 5, 2), хз = (1, — 1, -1, О, 0). 3.54*. Показать, что линейная оболочка системы многочленов -31~-1, 21~+1, -1 совпадает с пространством Рз всех многочленов степени < 2. Пусть $~ — произвольная система геометрических векторов.
Геометпрвческим образом системы У назовем множество точек, являющихся концами векторов из У, при условии, что все векторы исходят из начала координат. 3.55. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки С(а) и многообразия .С(а) + Ь, если а = -21 + 1 — 1с и Ь = 21 — 1. 3.56. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки С(а1, аз) и многообразия С(а1, аз)+Ь, если а1 = — 1+3+1с, аз = 21 — 1с и Ь = 1+ 1с.
3,57. Задана система уравнений: х1+ хз Зхз х4+ хз = 1~ Зх1 — хг+ хз+4х4+Зхз = 4, х1 — бхай — 9хз — 8х4 + хз = О. а) Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве Кз, Гл. 3. Линейная аа ебра 122 6) Сдвигом какого пространства получается зто линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис етого надпространства. в) Найти какой-ннбудь вектор сдвига.
3. Пространства со сналярным произведением. Действительное линейное пространство Е называется ееклвдееым пространством, если каждой паре векторов х и у из Е поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным яроизеедеякем векторов х и у, причем выполнены следуюшие условия: 1) (х, у) = (у, х); 2) (х1+ хт, у) = (хы у) + (хз, у); 3) (Лх,у) =Л(х,у), Лбй; 4 (х, х) > О, причем (х, х) = Ось х = О.
ланой вектора х называется число )х) = ~/(х, х). Вектор х, длина которого равна единице, называется иармероеанкым. Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо н еравенство Коши-Буняковского )(х, у))т < (х, х)(у, у), )О, 1~), (ео е ) = 6< с=у Если в пространстве Е„задан произвольный базис (Ры гз, ..., Г„), то векторы ь-ь еь = гь — ~~ с) Ое;, й = 2, 3, ..., н, (=1 еь — — г"ы ~ь О Д,е) где с; = ', образуют ортогональный базис в атом пространстве (е;, е;) (процесс ортогонализации Шмидта).
Комплексное линейное пространствами называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из И поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (х, у)и называемое скалярным яреезее- которое позволяет следующим образом определить угол между ненулевыми векторами: сов~о = ( ' )х) )у) Ненулевые векторы х, у е Е называются ортегональкыми, если (х, у) = = О.
Базис Ж = (еы ..., е„) я-мерного евклидова пространства Е„называется ортонормарееанным, если 1. Линейные и ост анства 123 деннем векторов х и у, причем выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у,х); 2) (хг + хг, у) = (хг, у) + (хг, у); 3) (Лх, у) = Л(х, у), Л Е С; 4) (х,х) ) О, причем (х,х) = О в>х = О. В унитарном пространстве не определяется угол между векторами. Однако все остальные определения н результаты, сформулированные выше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитарного пространства. Евклндовы и унитарные пространства в дальнейшем называются пространстпвами св скалярным произведением.
3.58. Доказать следующие свойства скалярного произведения в унитарном пространстве: а) (х, уг + уг) = (х, уг) + (х, уг); б) (х, Лу) = Л(х, у); в) (хг — хг, у) = (хм у) — (хг, у); г) (х> О) = О. 3,59. Доказать, что базис З = (ег, ..., е„) в унитарном пространстве И„ является ортонормированным в том и только том случае, когда выполнено любое из следующих условий: а) если х = хге1+ ... + х„е„и у = уге1 +... + у„е„, то (х, у) = х1уг +... + х„У„; б) если х = тге1+... + т„е„, то хь = (х, еь), Й = 1, ..., п. 3.60. Доказать, что любая система попарно ортогональных векторов линейно независима. 3.61.
Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать следующие н е р а в е н с т в а т р е у г о л ь ни к а: а) (х+у) < )х(+)у~; б) Ох( — (уб < ~х+у~. 3.62. а) Доказать, что в пространстве К" формула (х у) = '1у~+ "+х у, где х = (хм ..., тн) и у = (уг, ..., у„), задает скалярное произведение (получаемое евклидово пространство арифметических векторов в дальнейшем будем также обозначать символом К").
б) Показать, что в евклидовом пространстве К" канонический базис (см. 3 3 гл. 2) является ортонормированным. в) Написать неравенство Коши-Буняковского для евклидова пространства К". г) Написать неравенства треугольника в евклидовом пространстве К". 3.63. Пусть х = (тг, хг) и у = (ум уг) — произвольные векторы арифметического пространства Кг. Показать, что скалярное произведение в К можно определить следующими способами: а) (х„у) = 2хгуг+ Ьхгуг, б) (х У) = хгрг + хгУг + хгУг + тгрг Гл. 3. Линейная алгебра 124 Вычислить свалярное произведение векторов х = (1, -2) и у = = (5, 1) каждым из указанных способов.
3,64. Доказать, что в пространстве Р„многочленов степени ( гг — 1 свалярное произведение многочленов р(г) = по + о(1+... + о„ н можно определить способами: а) (р,д) =ао()о+а)51+ .+о -(Ь -1' 6) (Р (1) = Е РРь)Я(Гь), 11,, 1 — произвольные попарно Ь=) различные действительные числа. Вычислить скалярное произведение многочленов р(1) = 1+ 1+ гг и 6(1) = 1 —. 2гг + 31з каждым из указанных способов (и = 4), если в случае б) 11 = -2, 8г = — 1, 1з = 1, 14 = 2. 3.66. а) Доказать, что в пространстве С(а ь) соотношение: У, р) = 1(1)Ф) 1( а задает скалярное произведение. 6) Написать неравенство Коши-Буняковского для этого пространства. в) Написать неравенства треугольника для этого пространства. Применить процесс ортогонализации к следующим системам векторов евклидова пространства Ка (со скалярным произведением из задачи 3.62 а): 3.66 Г) = (1, -2, 2), Гг = (-1, О, -1), Гз = (5, -3 -7) а Полагаем е1 — — 11 = (1, — 2, 2).
Вектор ег ищем в виде ег = Гг — с, е1. (1) Так вак (1г, е1) = — 3, (е1, е1) = 9, то с, = ' = --. Сле- (1) (гг,е ) 1 (е1, е() 3 / 2 2 1( довательно ег = ~-- — — — — ). Наконец вектор ег находим в виде 3' 3' 3) следУющей линейной комбинации: ег = Гз — с, е1 — сг ег. ВычислЯЯ (г) (г) скалЯРные пРоизведениЯ (Гг, е1) = — 3, (Йз, ег) = 1, (ег, ег) = 1, нахо(г) (Уг е1) 1 (г) (Гг ег) днм значения коэффициентов с1 = ' = — —, сг = ' = 1. (е1, е)) 3 (ег, ег) Следовательно, ег = (6, -3, -6).
с З 1. Лялейяые п остраяства 125 3.67. Е1 = (1, 1, 1, 1), Ез = (3, 3, — 1, — 1), Ез = ( — 2, О, б, 8). 3 68 Е1 = (1, 2, 1, 3), Ез = (4, 1, 1, 1), Ез = (3, 1, 1, 0). 3.69. Ез =(1,2,2, — 1), Ез=(1,1, — 5,3), Ез=(3,2,8, — 7). 3.70". Е1 = (2, 1> 3, -1), Ез = (7, 4, 3, — 3), Ез = (1, 1, — б, О)> Е4 = (5, 7, 7, 8). Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в евклидовом пространстве К": З.Т1.
Е1 = (1, 2, 2, — 1), Ез = (1, 1, — 5, 3), Ез = (3, 2, 8, — 7). 3 72 Е1 = (2, 1, 3 — 1), Ез = (7, 4 3 -3) Ез = (1, 1 — 6 0), Е4 = (5, 7, 7, 8). Проверить ортогональность следующих систем векторов в евклидовом пространстве К" и дополнить их до ортогональных базисов: 3 ТЗ*, е1 = (1, -2, 1, 3), ез = (2, 1, -3, 1). 3.74. е1 = (1, 1, 1, 1, 1), ез = (1, О, О, 1, -2), ез = (2 1 -1 0 2). 3.75. е1 = —, —, —, ез = 3.76. е1 = (1, 1, 1, 2), ез = (1, 2, 3, -3). З.ТТ. Пусть Ь вЂ” линейное подпространство в 5„. Доказать, что: а) любой вектор х Е 5„однозначно представим в виде х = у+з, где у Е Ь и г ортогонален к Ь (у называется ортогональной проекцией вектора х на Ь, а з — ортогональной составляющей х относительно Ь); ь б) если 93 = (еы ..., еь) — базис Ь, то у = 2; с;е;, где коЫ1 эффициенты с,, 1 = 1, 2, ..., й, однозначно находятся из системы уравнений ь (е, е;)с, = (е, х), у = 1, 2, ..., /с, а з = х — у.
Используя результат задачи 3.77, найти ортогональную проекцию у н ортогональную составляющую з вектора х на линейное подпространство Х евклидова пространства И": З,Т8. х = ( — 3, 5, 9, 3), Ь натянуто на векторы: е1 = (1, 1, 1, 1), ез = (2, -1, 1, 1), ез = (2, -7, -1, -1). 3.79. х = (4, -1, — 3, 4), Ь натянуто на векторы: е1 = (1, 1, 1, 1), ез = (1, 2, 2, — 1), ез = (1 0 0 3). Гл.3. Линейная алгеб а 126 3.80. х = (5,2, — 2,2), Л натянуто на векторы: е1 = (2,1,1, — 1), ез = (1, 1, 3, 0), ез = (1, 2, 8, 1). 3.81.
Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда ]х- у] = ]х] + ]у] . 3.82". Доказать, что теорема Пифагора остается справедливой и в унитарном пространстве: если векторы х н у ортогональны, то ]х — у]~ = ]х]~ + ]у]з. Показать вместе с тем, что обратное к теореме Пифагора утверждение в этом случае неверно.
8 2. Линейные операторы 1. Алгебра линейвэях операторов. Линейным онератдором в линейном пространстве Е называется всякое отображение А: ~ -~ .С пространства С в себя, обладающее свойствами А(Лх) = ЛАх и А(х+у) = Ах+Ау. Пусть А — линейный оператор в конечномерном пространстве Е„и З = (ем ..., е„) — некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Аеь, А = 1, ..., н, по базису В: Аеь =аые, +...+а„ье„, А=1, ..., п. Тогда матрица ап аы ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
