341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Найти следующие линейные комбинации: 2.131. За» + 5аг — аз. 2.132. аг + 2аг — а4 — 2аэ. 1 1 2.133. 2а» + 4аз — 2нз. 2.134. -аг + Заз — — аа + на. 2 2 х — хге» +... + х„е„сь Х хв Замечание. Необходимо различать коьшоненты вектора и его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обозначение, хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с его компонентами только в каноническом базисе. Линейные аперапии (1) и (2) над арифметическими векторами в координатной форме выглядят следующим образом: в = х+ у сь Я = Х + У (е» х» = х» + у», й = 1, 2, ..., н), 96 Гл. 2.
Оп еделнтелн н матрицы. Системы линейных анненнй Заданы те же, что и выше, арифметические векторы аы аг, аз, а4, аз. Найти вектор х из уравнения: 2.135. 2х+ а1 — 2аг — аз = О. 2.136. а1 — Заз + х + аз = О. 2.1ЗТ. 2(а1 — х) +5(а4+ х) = О.
2.138. З(аз + 2х) — 2(аз — х) = 0 2.139. Доказать, что линейно зависима всякая система векторов: а) содержащая два равных вектора; б) содержащая два вектора, различающихся числовым множителем; в) содержащая нулевой вектор; г) содержащая линейно зависимую подсистему. Выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: 2,140.
х1 = (-3, 1, 5), хг = (6, — 3, 15). 2.141. х1 = (1, 2, 3, 0), хг = (2, 4, 6, 0). 2.142. х1 —— (2, -3, 1), хг = (3, — 1, 5), хз = (1, — 4, 3). 2.143. хд = (1, з, 2 — з, 3+1), хг = (1 — з, 1+ з, 1 — Зз, 4 — 21). 2.144*. Показать, что система арифметических векторов ез = (1, 1, 1, 1, 1), ег = (О 1 1, 1, 1), ез = (О, 0 1 1, 1) е4=(0,0,0,1,1), ез=(0,0,0,0,1) образует базис в Кз.
Найти координаты заданного вектора х в базисе З = (еы..., ез) из задачи 2,144: 2.145**. х = (1, О, 1, О, 1). 2,146. х = (5, 4, 3, 2, 1). 2.141. Доказать, что если векторы аы аг, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы а1 и аг, то векторы а1 и аг различаются лишь числовым множителем. 2.148. Доказать, что если векторы аы аг, ..., аь линейно независимы, а векторы аы аг, ..., аь, Ь линейно зависимы, то вектор Ь линейно выражается через векторы а1, аг, ..., аь. 2.149.
Доказать, что упорядоченная система векторов аы аг... ..., а„, не содержащая нулевого вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие. 2. Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера ти х и выбраны пронзвольно и строк и и столбцов (н < пцп (ги, и)). Элементы, стоящие на пересечении выбраяных строк н столбцов, образуют квадратйую матрицу порядка /с, определитель которой называется минором й-го порядка матрицы А. 3 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 97 Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матриды А называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля,— баэисным минором.
Строки (столбцы) матрицы А размера т х и можно рассматривать как систему арифметических векторов из Й" (соответственно Ж'"). Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ес строк (столбцов); при этом система строк (столбцов) матрицы, содсржатал базисный минор, образует базис в системе всех строк (сто сбцов) этой матрицы. Приведем основные методы вычисления ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрнценайденминор /с-го порядка М, отличный от нуля.
Рассмотрим лишь те миноры (Й+ 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 1с. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (й + 1)-го порядка, и вся процедура повторяется. Пример 1. Найти ранг матрицы 2!43!10 ! ! 1! 2 1! — 4 2 О 1 -1' 3 1 4 -7 4 — 4 5 а Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: Минор 3-го порядка 2 -4 3 1 -2 1, О 1 -1 окаймляющий минор Мг, также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие Мэ, равны нулю: 3' 1 ! 1! — 4 — 1' 3 4 -4 2 — 4 1 — 2 О 1 4 — 7 2 — 4 3'О ! 1 -2 1!2 О 1 — 1'1 ! 4 -7 4 5 =О, Поэтому ранг А равен трем.'(> Метод элементарных преобразований основан на том факте, что элементарные преобразования (см.
и. 2 3 2) матрицы не меняют ее ранга (см. задачу 2.158). Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме аэ„ аю,..., а„„(г < пцп (т, п)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен г. 98 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений Пример 2. Найти ранг матрипы 0 2 — 4 — 1 — 4 5 3 1. 7 0 5 -10 2 3 0 а Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь 1 4 -5 2 3 0 3 1 7 0 5 — 10 0 2 — 4 0 2 -4 -1' — 4 5 3 1 7 0 5 — 10 2 3 0 Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы. с» Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров 1 3 5 — 1 2 -1 — 3 4 5 1 — 1 7 7 7 9 1 1 2 3 4 2.153. 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 3 2 5 2 3 4 -5 0 — 7 1 4 1 1+ г' 1 — 1 2+ Зг' 1 2 1 — 1 — 1 — 1 3 — 24 4 — 41 10+ 21 2.155.
2 — 1 2.150. 4 -'2 2 — 1 3 — 1 5 — 3 2.152. 7 — 5 1 2 3 2.154. 0 1 1 1 3 4 1 4 0 — 5 0 — 11 0 5 0 2 1 4 0 1 — > 0 1 0 1 0 1 -5 10 22 — 10 -4 -5 1 0 0 -2 0 1 0 -2 -+ 0 0 0 — 2 0 0 0 — 2 0 0 0 З 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 99 Чему равен ранг матрицы А цри различных значениях Л7 3 1 1 4 1 Л вЂ” 1 2 2.157, А= 2 -1 Л 5 1 10 -б Л Л 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 2.156.
А = 2.158. Показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразова- нийц 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 47 -67 35 201 155 2.160. 26 98 23 -294 86 16 -428 1 1284 52 19 36 72 — 38 40 73 147 — 80 59 98 219 -118 36 71 141 — 72 1 2 3 — 1 3 3 — 4 4 5 б 4 — 7 — 2 1 2.163. 7 8 9 2.164. 3 10 11 12 — 2 3 0 1 Вычислить ранг матрицы: 3 — 1 б 0 1 10 3 2 0 4 — 1 16 4 52 9 8 -1 б — 7 1 2.165.
7 3 1 — 3 10 1 — 7 22 4 — 2 10 2.166. 24 2.161. 73 47 17 24 2.162. 25 31 42 -28 45 11 39 -37 61 13 50 -7 32 -18 -11 12 19 -43 -55 13 29 -55 -68 100 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений 0 0 0 0 1 1 . 2.168. 0 0 1 0 0 1 0 4 3 1 0 1 3 0 2 1 2 1 0 0 1 1 — 1 2 — 1 — 1 — 1 1 2.167. 1 5 — 1 4 -2 1 5 0 1 2 — 6 1 — 8 1 — 1 — 3 7 — 2 2.169. 2.170. 2.171. Доказать, что если произведение матриц АВ определено, то гап8(АВ) < пнп(гапПА, гап8В). 2.172, Пусть А — невырожденная матрица, а матрицы В и С таковы, что АВ, СА определены.
Доказать, что гап8 (АВ) = = гап8В и гап8(СА) = гапПС. 2.173. Доказать, что если сумма матриц А+ В определена, то гап8(А+ В) < гапПА+ гап8В. Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы арифметических векторов. П р и м е р 3. Выяснить, является ли система арифметических векторов аг = (2, — 3, 1), аг = (3, -1, 5), аг = (1, — 5, — 3) линейно зависимой или линейно независимой.
Найти ее ранг и какой-нибудь базис. г Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются аы аг, аг. 2 31 1 А = (а~~, а~, а~~) = — 3 — 1,' -5 1 5 — 3 Ранг А, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная система арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также равен 2 (по теореме о базисном миноре).
Минор 2-го порядка Мг= 3 1 0 1 1 1 1 0 О 1 0 1 0 1 0 0 1 2 2 1 0 2 1 — 1 — 2 — 3 — 1 1 2 0 — 1 1 0 0 1 1 0 — 1 — 3 3 2 0 1 -2 0 0 1 0 1 -1 2 -1 -1 3 1 — 1 — 1 0 0 1 1 2 0 — 1 — 1 з3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 101 отличен от нуля н потому может быть принят за базисный. Отсюда следует, что арифметические векторы ад и аг образуют базис исходной системы. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: 2.174. хд = (1, 1, 1, 1), хг = (1, -1, — 1, 1), хз = (1, -1, 1, -1), х4 (1~ 11 1~ 1). 2.175.
хд = (4, -5, 2, 6), хг = (2, — 2, 1, 3), хз = (6, — 3, 3, Я), х4 = (4 — 1 5 6) Найти ранг системы векторов: 2.176. ад = (1, — 1, О, 0), аг = (О, 1, -1, 0), аз = (1, О, — 1 1) а4 = (О, О, О, 1), аз = (3, -5, 2, -3). 2 177. ад = (1, д, -1, -з, 1), аг = (1, — д, -1, д, 1), аз = (1, -1, 1, -1, 1), ад = (3, -1, -1, -1, 3).
Найти все значения Л, при которых вектор х линейно выражается через векторы ад, аг, аз.' 2.178. ад = (2, 3, 5), аг = (3, 7, 8), аз = (1, -6, 1), х = = (7, -2, Л). 2,1Т9. ад = (3, 2, 5), аг = (2, 4, 7), аз = (5, 6, Л), х = = (1, 3, 5). 2.180. ад = (3, 2, 6), аг = (7, 3, 9), аз = (5, 1, 3), х = = (Л, 2, 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
