341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 15
Текст из файла (страница 15)
аз 1) ац л(г) ° ° ° аю в(в) ~ в(л) г(е$А = а„( а,,э ... а„„ где с мма берется по всем подстановкам т и-го порядка. ля определителя н-го порядка выполняются основные свойства, аналогичные свойствам а)-д) из задачи 2.23. 2.34. На множестве (1, ..., 6) найти подстановку т, если;т(й) является остатком от деления числа Зя на 7. Определить ее четность. 2.35.
На множестве (1, ..., 8) найти подстановку и, если и(й) является остатком от деления числа 55 на 9. Определить ее четность. Определить четность подстановок: 3 1 2 5 4 ' ' 1 4 3 2 5 6 2.38. 2гг 2гг — 1 ... 4 3 2 1'( 2гг-1 2гг ... 3 4 1 2(' 3 1. Определители 81 2.29. с и п — 1 ... п — 1+1 и — Й и — 7« — 1 ... 2 1 9 7« — 1 ... 1 и п — 1 ... 1+2 й+1/' Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками: 2.40. а4заг«азба«га54 2.41. аб1а2за45азба12а54. 2'.42.
'а27азба51а74а25а43а62 2.43 азза16а72а27а55а61а44. 2А4. Выбрать значения 1 и «4 так, чтобы произведение абга«баззаь4а46аг1 входило в некоторый определитель со знаком минус. 2.48. Выбрать значения 1' и «4 так, чтобы произведение «147««63«116а55«173«124 «1 31 входило в некоторый определитель со знаком плюс. 2.48. Найти члены определителя содержащие х4 и хз. Пользуясь только определением, вычислить следующие определители: О О 24«О О а а2,„1 аг,» аа,п-1 аа,п аз,« -г ап,1 аж и-г ап, ~-1 аж изменится определитель, если: а) к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку; ам а21 2.48. аз1 «141 а51 2.49.
Как бх 1 2 3 х х 1 2 1 2 х 3 х 1 2 2х а12 а1з а14 а15 «122 агз аг4 ««25 азг О О О а42 О О О абг О О О 82 Гл. 2. Определители к матрицы. Системы линейных уравнений б) из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки; в) на каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку; г) его матрицу »повернуть на 90' вокруг центра»; д) первый столбеп переставить на последнее место, а остальные передвинуть влево, сохраняя их расположение. 3. Основные методы вычисления определителей я го порядка. М е т о д понижения порядка определителя основан на следующем соотношении (» фиксировано): бе»А = Д~~ авА~с "1, »=1 (4) где аи ...
ас»-» ак»+» ... а»„ а;ц» ... а;к»» а»ц»+» ... а;к„ а;+к» ... а;+к»» аьы св» ... а»+ц„ АО, »1 ( Ц»+с (5) а„» ... а„,с» а„,ь+» ... а„„ 8 7 2 10 -8 2 7 10 4 4 4 5' 0 4 -3 2 < Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем 0 -1 — 6 0 0 10 15 20 »+з 4 4 4 5 0 4 — 3 2 — 1 — 6 0 10 15 20 4 — 3 2 называется алгебраическим доколкекиак элемента ам и представляет собой (с точностью до знака ( — 1)»+с) определитель (я — 1)-го порядка, получающийся иа исходного определителя вычеркиванием»-й строки н л-го столбца, на пересечении которых стоит элемент ам. Соотношение (4) называется разложеккез» окределоя»ела ио »-б с»проке.
Аналогично определяется разложение определителл яо ' столбцу. Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль зсе, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца). Пример 2. Вычислить определитель 3 1.
Определители 83 Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме эле- мента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель второго порядка: =4 (-Ц'+' (-Ц = — 4( — 90+ 540) = — 1800. с Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю. Пример 3.
Вычислить определитель <э Вычитая первую строку из всех остальных, получаем Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данньгй определитель, преобразуя и разлагая его по строке нли столбцу, через определители того же вила, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением. Пример 4. Вычислить определншель Вандермокда 1 1 1 ... 1 О1 Ог ОЗ ... О« аг аг гаэг ... аг а«-1 а«-1 а«-1 а1 а аэ «-1 О« О Покажем, что при любом и (н > 2) определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей аг — ау, 1 < у < 1 < н. Доказательство проведем по ищгукции, используя метод рекуррентных соотношений. Действительно, при н = 2 имеем Юг = = аг — а1.
1а1 аг1 -1 — 6 0 11=4 0 -45 20 0 — 27 2 1 1 1 1 1 -1 2 2 1 1 -1 3 1 1 1 — 1 1 1 1 1 0 — 2 1 1 0 0 -2 2 0 0 0 -2 84 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений Пусть наше утверждение доказано для определителей Взндермонда по- рядка н — 1, т.е. Ц (ૠ— а ). 1<1<«<»-1 Преобразуем определитель 0„следующим образом: из последней и-и строки вычитаем (н — 1)-ю, умноженную на а« и, вообще, последовательно вычитаем из /с-и строки (Ь вЂ” 1)-ю, умноженную нз а«. Получаем 1 1 1 О аг — а« аз — а1 О аг — а1 аг аз — а1 аз г 2 а„— а1 а„— а«а„ 2 О» ໠— 1 а«а» 2 а» 1 а а» 2 З 1 З а" ' — а а" 2 » 1» Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид 1 1 1 аг «12 «14 «1» аг аз а« ..
а„ 2 2 2 2 .0„= (аг — а1)(аз — а1)... (а„— а1) »-2»-2 аг аз а"-2 а — 2 4 '' а» = (аг — а,)(аз — а1) ...(а„ вЂ” а«)0„ 1. Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индук- пии, окончательно выводим: .0„= (аг-а1)(аз-а1)... (а„-а1) Ц (а«-ау) = Ц (а«-а,). С 2(У<«(» 1(.1<«<» Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу: 2.51.
2.52 2.53. 2 -3 4 1 2.54. з) в) 1 О 2 О 2 О 2 О 3 2 1 О 1 2 1 О 1 2 4 — 2 3 2 а Ь с «з' 3 — 1 4 3 — 1 5 2 О 7 О 1 2 О 10 11 1 1. 3 4 5 а 2 4 6 4 2 с 3 4 «( 5 а 1 1 1 Ь О 1 1 с 1 О 1' «( 1 1 О 6 1. Определители 85 Вычислить апрелелители: 2 — 1 1 0 0 1 2 — 1 3 — 1 2 3 3 1 6 1 2 3 -3 4 2 1 — 1 2 6 2 1 0 2 3 0 -5 2.55. ~/2 ~ГЗ Л ~/3 ~/6 ~21 1~/ГО -2~/3 ДО 2Я5 5 ~/6 2 2~/6 ~/ГО ~/15 3 -1 4 2 5 2 0 1 Х5Т. а 2 3 6 — 2 9 8 2.58.
2.59 2,60 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 О. 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 2.61 х 0 — 1 1 О 1 х — 1 1 0 1 0 х — 1 0 1 0 1 — 1 х 1 0 1 — 1 0 х 2.63 2.64. а аф 0 ... 0 1 а+ф аф ... 0 0 1 а+13 ... 0 2.65'. 0 0 0 ... 1 а+Д аД 0 2 а+Р а8 0 1 а+Д 2.66. 0 0 0 0 1'а+Р 0 -а а 0 И с а' е -Ь вЂ” И -с -е 0 0 О 0 0 Ь с 4~ Ь 0 И с сйОЬ 41 с ь о 1 х хг 1 2х Зхг 1 4х 9хг „г 1 29 Зрг а+ 13 0 0 0 0 0 0 3 4 4хз 5х4 16хз 25х4 3 4 493 594 86 Гл.2. Оп еделятеляя матрицы.
Системы,ляяеязых азнеязй Вычислить определители порядка 22 приведением их к треугольному виду: 2.68 -1 — 2 — 3 ... 0 2 2 2 ... 3 2.69. Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями а1 = пип (т,,у). 2ЛО. 6ычислить определитель, элементы которого заданы условиями а11 = тзх (2, 2). Вычислить определители порядка 21 методом рекуррентных соотношений: 0 0 0 ... 2 1 0 0 ... а„ 2ЛЗ. Вычислить определитель » — 1» 1 а» 1» 1 а, аг аз ...
а„ а а а .. ° а 1 2 3 '' » а1 аг аз .. а„ 1 1 1 ... 1 2.74. Доказать, что для любого определителя выполняется соошение» Ь Убесл й =1 где А1"*А — алгебраическое дополнение элемента аьу (см. (5)). 8 2. Матрицы 1. Операции над матрицами. Моп2рззеб размера пт х и нлн (т х и)- матрицеб называется прямоугольная таблица кз чисел аоь 1 = 1, 2, ...
..., п2, у = 1, 2, ..., а, ан агг ° .. а1„ а21 а22 ... а2» состоящая нз т строк н и столбцов. 1 2 3 ... 22 -1 0 3 ... 22 — 1 -2 0 ... 22 0 1 1 ... 1 1 а1 0 ... 0 1 О аг ... 0 3 2 2 ... 2 2 3 2 ... 2 2 2 3 ... 2 2 1 0 ... 0 1 2 1 ... 0 0 1 2 ... 0 5 2. Матрицы 87 Суммой А + В (т х я)-матриц А = (а; ) н В = (бб) называется матрица С = (с, ) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А н В: с; =а,"+6;, 1=1,2,...,т, у'=1,2,...,я, Произведением аА матрицы А = (аб) на число а (действительное нли комплексное) называется матрица В = (бб), получающаяся нз матрицы А умножением всех ее элементов на а: 1 = 1, 2, ..., т, у = 1, 2, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
