341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов: 2.181. ад = (5, 2, — 3, 1), аг = (4, 1, — 2, 3), аз = (1, 1, -1, -2), а4 = (3,4, -1,2). 2.182. ад = (2, — 1, 3, 5), аг = (4, — 3, 1, 3), аз = (3, -2,3,4), а4 = (4, -1, 15, 17), аз = (7, -6, -7, 0). 2 183.
ад = (1, 2, 3, — 4), аг = (2, 3, — 4, 1), аз = (2, — 5, 8, — 3), а4 = (5, 26, — 9, — 12), аз = (3, — 4, 1, 2). Найти ранг и все базисы системы векторов: 2.184. ад = (1, 2, О, 0), аг = (1, 2, 3, 4), аз = (3, 6, О, 0). 2.185. ад = (1, 2, 3, 4), аг = (2, 3, 4, 5), аз = (3, 4, 5, 6), а4 = (4, 5, б, 7). 2.186. ад = (2, 1, -3, 1), аг = (4, 2, -б, 2), аз = (6, 3, -9, 3), а4 = (111,1,1).
102 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений амхг+аггхг+ .. + агох„= 6м аггхг +аггхг+... +агох = 6г амхг + аегхг +... + а„„х„= 6„, или, в матричной форме, АХ = В, где 6, 6г аы агг ... аг„ х1 А = агг агг ''' аг" Х = хг В 1 а„г аог ... а„„ хп Ь„ Правило Крамера. Если в системе (1) бегА матрипа А имеет обратную А г, то система (1) имеет, ственное, решение Х=А 'В или, в покомпонентной записи, = Ь 16 О, т.е. и притом един- Ь; х;= —, г=1,2,...
п, где Ь; — определитель, получаемый из определителя Ь заменой з'-го столбца на столбец свободных членов. Пример 1. Решить систему уравнений Зхг+2хг+хз = 5, 2хг — хг+хз =б хг+5хг =-3 3 2 1 з Матрица А = 2 — 1 1 невырожденная, так как бей А = -2 ф О. 1 5 0 Присоединенная матрица А" имеет вид Ач 1 1 1 Следовательно, 34. Системы линейных уравнений 1. Правило Крамера. Пусть задана система и линейных уравнений с я неизвестными вида З 4.
Системы линейных уравнений 103 Х=А 'В= — — 1 — 1 — 1 б =-- 2 = — 1 т.е. х1 = 2, хг = -1, хз = 1. с Следующие системы решить по правилу Крамера: 2.187. Зх — 5у = 13, 2.188. Зх — 4у = -6, 2х+ 7у = 81. Зх+ 4у = 18. 2.189. 2ах — ЗЬу = О, 2.190. 7х+ 2у+ Зг = 15, Зах — 6Ьу = аЬ. 5х — Зу+ 2г = 15, 10х — 11у+ бз = 36. 2.191. 2х+у = 5, 2.192. х+ у-2з = 6, х + Зл = 16, 2х + Зу — 7з = 16, 5у — и = 10. 5х+2у+ л = 16. 2.193. 2.194. 4х1+4хг+5хз+5х4 = О, 2х1 — хг+ Зхз+2х4 = 4, 2х1 + Зхз — х4 = 10, Зх1 + Зхг + Зхз + 2х4 = б хз + хг — 5хз = -10, Зх1 — хг — хз — 2х4 = б, Зхг+ 2хз = 1.
Зх1 — хг+ Зхз — х4 = 6. 2.195*. Доказать, что для любых различных чисел хм хг, хз и любых чисел у1, уг, уз существует, и притом только один, мно- гечлен у = 1(х) степени < 2, для которого 7'(х;) = у;, 1 = 1, 2, 3. Когда степень этого многочлена < 2 (равна 1, равна 0)? По заданным условиям найти многечлен Дх): 2.196.
~(1) = — 1, Д-1) = 9, ~(2) = — 3. (1, 1=г, 2 197 УЗ(хз) = 50, з, 1 = 1, 2, 3, ЬО = ~ О 1 Решить системы уравнений: 2.198. 5х1 + 8хг + хз = 2, 2.199. 2х1 — Зхг + хз = -7, Зх1 — 2хг + бхз = -7, х1 + 4хг + 2хз — — — 1, 2х1+ хг — хз = -5. Х1 — 4хг = -5. 2.200. 2.201. 2х1+ 2хг — хз+ хз = 4, 2х|+ Зхг + 11хз + 5х4 = 2, 4х1+Зхг — хз+2х4 =6, х1+ хг+ 5хз+2х4 =1, 8х1+5хг — Зхз+4х4 = 12, 2х1+ хг+ Зхз+ 2х4 = — 3, Зх1+Зхг — 2хз+2х4 = 6. х1+ хг+ Зхз+4х4 = -3. 2.202. 2х1+ 5хг+4хз+ х4 — 20 = О, х1+ Зхг+2хз+ х4 — 11 =О, 2хг + 10хг + 9хз + 9х4 — 40 = О, Зх1+ 8хг + 9хз + 2х4 — 37 = О. 104 Гл.2. Оп еделнтелн и мат нцы.
Системы линейных знненнй 2.203. Зхт+ 4хг+ хз+2х4+ 3 = О, Зхт+5хг+Зхз+5х4+6 =О, 6хт+8хг+ хз+5х4+8=0, Зх4 + 5хг + Зхз + 7х4 + 8 = О. 2. Решение произвольных систем. Пусть задана система тп линейных уравнений с и неизвестными общего вида амхт + атгхг +...
+ ат„х„= Ьы агтхт+аггхг+ ..+агнх„=бг, (2) пня хт + атгхг + ° ° ° + антпхн — ~т ~ или, в матричной форме, АХ = В, (3) ам атг .. ат„ хт Ь, аж агг аг хг Ьг ато1 автг ° ° ° аптн х„ Ь Если В = О, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Решением системы (2) нааывается всякий и-компонентный вектор- столбец Х, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соответствующий решению Х арифметический вектор х б К" также будем называть решением системы (2)). Система называется совместной, если у нее существует по крайней мере одно решение, в противном случае она называется несовместной Две системы называются эквивалентпными, если множества их решений совпадают. Теорема Кронекера-Капелли.
Длл тпого чтпобы система (2) была совместпной, необходимо и достпатпочно, чтпобы гапдА = гапбА, (4) где А = (А~ В) — р а с ю и р е н н ел м а ш р и и а систпемы. Пусть гапб А = гзпдА = г, т. е. система совместна. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых т (1 < г < ппп (яг, и)) строках и столбпах матрицы А. Отбросив последние тп — г уравнений системы (2), запишем укороченную систему: амхт +... + аттхт + ац„+тх„+т +...
+ ат„х„= Ьы (5) а,.4 хт +... + а„.х„+ а,,„+4 х„+т +... + а„„х„= Ь„ которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные хм ..., х„баэисными, а х,+ы ..., х„свободными и перенесем слагаемые, содержащие в 4. Системы линейных уравнений 105 свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Получаем систему относительно базисных неиавестных: аыхз +... + амх„= бз — ацкыхкы —... — азох„, аыхз +...
+ а„„х„= 6„— аог ых„+г —... — а„„х„, которая для каждого набора значений свободных неизвестных хсы = = см ..., х„= с„„имеет единственное решение хг(сы..., с„„), ... ..., х„= (сы ..., с„„), находимое по правилу Крамера. Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной систем имеет вид хз(см ..., с„„) х„(сы ..., с„,) с1 Х(см ..., с„„) = (б) со-к Формула (б), выражающая произвольное решение системы в виде вектор- функции от п — г свободных неизвестных, нааывается общим решением системы (2). Пример 2.
Установить совместность и найти общее решение системы 2хг + хг — хз — Зхз = 2, 4хз + хз — 7х4 = 3, 2хг — Зхз + хз = 1, 2х1+ Зхг — 4хз — 2хз = 3. ° з Выпишем основную и расширенную матрицы системы: 4 О' > О 2 2 3 2 1 -1 -3 4 О 1 -7 О 2 — 3 1 2 3 — 4 -2 — 1 -3 1 — 7 — 3 1 — 4 — 2 А= Так как гапбА = гапбА = 2 (проверьте!), то походная система совместна, )2 1) Выберем в качестве базисного минор Мг = ~4 1. Тогда неизвестные хм хг — базисные, хз, х4 — свободные, а укороченная система имеет вид 2х1 + хг = 2+ хз + Зхм 4хз — — 3 — хз + 7хч. 106 Гл.2.
Оп еделителии мат яды. Системылинейных данелий 3 1 7 х1 = — — -с1 + -с», 4 4 4 1 3 1 хт = — + -с1 — -сз. 2 2 2 Следовательно,,общее решение исходной системы имеет вид 3 1 7 — — -с1 + -сз 4 4 4 1 3 1 — + -сз — -сз 2 2 2 Х(сы сз) = с1 Сз Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем: 2.204, ' х — ~/Зу = 1, 2.205. ~/5х — 5у = ъУ5, ьУЗх — Зу = 43.
х — Лу = 5. 2.206. 2х — у+» = — 2, 2.207. х+ 2у — 4» = 1, х+ 2у+ 3» = -1. 2х+ у — 5» = — 1, х — Зу — 2» = 3. х — у — » = — 2. 2.208. 2.209. Зх1 — 2хз — 5хз + х4 = 3, х1+ хз — бхз — 4»4 = 6, 2х1 — Зхз+ хз+ 5х4 = -3, Зх| — хз — бхз — 4х4 = 2, х1+2хз — 4х4 = -3, 2х1+Зхз+9хз+2»4 = 6, х1 — хз — 4хз + 9х4 = 22. Зх1+ 2хз + Зхз + 8х4 = -7. 2.210, 2.211.
2х1+7хз+Зхз+ х4 =б, Зх1 — бхт+2хз+4х4 = 2, Зх1+бхз+2хз+2х4 = 4, 7х1 — 4хз+ хз+Зх4 = 5, 9»1+4хз+ хз+ 7»4 = 2. 5х|+ 7хз — 4хз — бх4 = 3. 2.212. 2.213. 9х1 — Зхг + 5хз + бх4 = 4, 3»1 + 2хз + 2хз + 2х4 = 2, бх1 — 2хз+Зхз+ 4х4 = 5, 2х1+Зхз+2хз+ бх4 = 3, Зх1 — ха+ Зхз+14х4 = — 8. 9х1+ ха+ 4хз — 5х4 = 1, 2х1+ 2хз + Зхз + 4х4 = 5, 7х1+ ха+ бхз — х4 = 7.
2.214. х1+ ха + Зхз — 2»4+ Зхз = 1, 2х1+ 2хз+4хз — х4+Зхз = 2, Зх1 + Зхз + 5хз — 2х4 + Зха = 1, 2х1+ 2хз + бхз — 3»4 + 9ха = 2. Полагал хз = сы »4 = ст и решал укороченную систему относительно базисных неизвестных, получаем 4. Системы линейных уравнений 107 2.215. 2х1 — хг+ хз+2х4+ Зхз = 2, бх1 — Зхг+ 2хз+ 4х4+ 5хз = 3, бх1 — Зхг + 4хз + 8х4 + 13хз = 9, 4х1 — 2хг + хз + х4 + 2хз = 1. 2.216. 12х1 + 14хг — 15хз + 24х4 + 27хз = 5, 16х1 + 18хг — 22хз + 29х4 + 37хз = 8, 18х1+ 20хг — 21хз+ 32х4+ 41хз = 9, 10х1 + 12хг — 16хз + 20х4 + 23хз = 4. 2.217. 24х1 + 14хг + ЗОхз + 40х4 + 41хз = 28, Збх1 + 21хг + 45хз + 61х4 + 62хз = 43, 48х1 + 28хг + 60хз + 82х4 + 83хз = 58, 60х1 + 35хг + 75хз + 99х4 + 102хз = 69.
Исследовать совместность и найти общее решение в сти от значения параметра Л: 2.218. 2.219. 5х1 — Зхг + 2хз + 4х4 = 3, Лх1 + хг + хз + х4 4х1 — 2хг + Зхз + 7х4 = 1, х1 + Лхг + хз + х4 8х1 — бхг — хз — 5х4 = 9, х1+ хг+ Лхз+ х4 7х1 — Зхг+ 7хз+ 17х4 = Л. х1+ хг+ хз+ Лх4 2.220. 2х1 — хг+ Зхз+ 4х4 = 5, 4х1 — 2хг + 5хз + бх4 = 7, бхз — Зхг + 7хз + бх4 = 9, Лх1 — 4хг + 9хз+ 10х4 = 11. 2.221. (1+ Л)х1+ хг+ хз = 1, х1+ (1+Л)хг+ хз = 1, х1+ хг+(1+Л)хз=1.
зависимо- 3. Однородные системы. Однородная система АХ = О всегда совместна, так как имеет пьриепальяое решение Х = О. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы г = гапяА < п (при тя = п это условие означает, что беСА = О). Пусть Я С К" — множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Я состоит из и — г векторов еь, ..., е„„. Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из ЗЗ) система вектор-столбпов Ем ..., Е„„называется фдядамеягяалькоб сисгяемой решений Общее решение однородной системы имеет вид Х = с1Е1 +... + с„„Е„„ где сы ..., с„„— произвольные постоянные. Базисные решения Еы..., Е„„могут быть получены методом, изложенным в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
