341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 16
Текст из файла (страница 16)
5," = ааб, Произведением АВ (т х и)-матрицы А = (а,,) на (я х й)-матрицу В = (бб) называетсЯ (т х lс)-матРнпа С = (с; ), элемент котоРой сиь стоящий в 1-й строке и .у-и столбпе, равен сумме произведений соответственных элементов 1-й строки матрицы А и ухго столбца матрицы В: с," = Са;„Ь„у, 1 = 1, 2, ..., т, у = 1, 2, ..., й. нза 2.75. Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами: а) А + В = В + А, А + (В + С) = (А + В) + С; б) (а+11)А = аА+фА, а(А+ В) = аА+ аВ, (аф)А = афА); в) А(ВС) = (АВ)С, А(В+С) = АВ+АС. Вычислить линейные комбинации матриц А и В: 2Л7, (1+1)А+(1 — 1)В, А= ~ .~, В = ~ /1 з'1 / з 11 5 — 4 2 5 ' ' ' 4 -б б — 4 2.81.
3 — 4 1 1 2 5 2.83. 4 1 5 3 -2 7 4 3 3 1 1 2.84. а) (4 Π— 2 3 1) -1 , "б) -1 (4 Π— 2 3 1). 5 5 2 2 О О 1 2.85. 2 2 3 3 4 3 -4 ' 2'87' О 1 2.88. О, Л Е Ж. 2.89, Найти значение многочлена 7'(А) от матрнны А: 2'99' У(х) 3х 4' А (Ю 3) ~2 11 1 21 ~М.П*) =*'-3*+1, = ~, у. 1 -'2 3 2.92.
~(х) =Зх~ — 2х+5, А= 2 -4 1 3 — 5 2 Вычислить А — ВА: 2.93. А=, В= 2.94.А= — 1 1 О, В= О 1 2 2.95.А= О 1 1, В= О 7 5 88 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений З 2. Матрицы Матрицы А и В называются»ересжокооочкыкк, если АВ = ВА. Найти все матрицы, перестановочные с данной: ~ 2.98.. 2.97.. 2.98. О 3 1 О О 3 2.99. Найти все матрипы 2-го порядка, квадраты которых равны у'О О'1 нулевой матрипе О = ~ 2.100. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых у1 О~ равны единичной матрице Е = ~ 2.101. Как изменится произведение АВ матрид А и В, если: а) переставить эью и у-ю строки матрицы А, б) к 1-й строке матрицы А прибавить у-ю строку, умноженную на число сг, в) переставить г-й и уьй столбцы матрицы В, г) к гыру столбцу матрицы В прибавить у-й столбец, умножен- ный на число сг? Матрица Ат называется »1рокс»о»крова»кой к матрипе А, если вы- полняется условие а;. = а; для всех э, у, где аи и а," — элементы т т матриц А и Ат соответственно.
2.102. Доказать следующие соотношения: а) (Ат)т. б) (А+В)т Ат+Вт, в) (АВ)т ВтАт Вычислить АА~ и А~А для заданных матрип А: 1 2 1 3 -1 1 -1 1 -1 2.103. 4 — .. 2.104. 2 О 2 О 2 О -2 О -2 О Квадратная матрица В называется склмег»ркчкой, если В = В. Квадратная матрипа С называется кососиммеглркчкой, если С = — С. 2.103. Докааать, что любую матрицу А можно представить, и при этом единственным образом, в виде А = В + С, где В— симметричная, а С вЂ” кососимметричная матрицы. 2.
Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырожден- ной (особенной), если ее определитель равен нулю, и кеоырождеккой (неособенной)' в противном случае. Если А — невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрнда А 1 такая, что АА 1=А 1А=Е, 90 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений 1(") 1(2 1) ....4("') 1(1,2) 1(2,2) 1(п,2) А(1, и) 4(2, н) 4(ю и) Справедливо равенство чА ААч без 4 Е Отсюда следует, что если А — невырожденная матрица, то 1 4-1 Ач бес А Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти А ', если А= 3 0 2 2 Имеем бес А = — 4.
Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А: 4 А(г, Ц ~ 3 А(з, 1) ! 0 2 ~ 2 -1) (2 — 2 5 ' ~2 5~ 7 (2, 2) 9 А(з 2) ! 6 (г,з) 10 (з,з) 4 -2~ ' (4 -2~ -1 2 А(1') = 2 — — — 5, А('2) = ,4(1 з)— Поэтому 4 — 8 4 ч — 1 2 — 1 Ач= — 7 9 -5 иА 1= — -Ач= 7/4 — 9/4 5/4 -б 10 -6 3/2 -5(2 3/2/ где Š— единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю).
Матрица А 1 называется обрангкок к матрице А. Укажем основные методы вычисления обратной матрицы. Метод присоединенной матриды. Присоединенная матрица А определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А (см. формулу (5) из 21). Таким образом, з2. Мат ицы А= 4 5 2 3 Образуем матриду Гл: 3 2 1 Г1= 4 5 2 2 1 4 Обозначив через 71, 72, 73 строки матрицы Гл, произведем над ними следующие преобразования: 1 71 ~1~ 3 2, 71 772 3, 772 11 73+ 772~ 7 24 3 7л 1 7и! 1 4 72 = 72 — 71, 3 2 73 = 73 — 71~ 3 72 = Ьт 72 к РП 73 = В результате последовательно получаем с 3 2 1 1 0 0 1 2/3 1/3 4 5 2 0 1 0 -+ 0 7/3 2/3 2 1 4 0 0 1 0 -1/3 10/3 1/3 0 0 -4/3 1 0 -2/3 0 4 5/7 -2/7 0 -4/7 3/7 0 -6/7 1/7 1 1 0 1/7 -+ 0 1 2/7 0 О 24/7 3/4 -7/24 -1/24 -1/2 5/12 -1/12 -1/4 1/24 7/24 Метод элементарных преобразований.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие: 1) перестановка строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих эле- ментов другой строки (столбца), предварительно умноженных на неко- торое число.
Для данной матрицы А н-го порядка построим прямоугольную ма- трицу Г,, = (А~Е) размера п х 2я, приписывая к А справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу Г„к виду (Е~В), что всегда возможно, если А невы- рождена. Тогда В = А 1, Пример 2. Методом элементарных преобразований найти А ' для 92 Гл.
2. Оп еделители и мат ипы. Системы линейных у авнений Следовательно, 3/4 -7/24 -1/24 А ' = -1/2 5/12 -1/12 -1/4 1/24 7/24 Методом присоединенной матрицы найти обратные для следующих матриц: 2.106.. 2.107.. 2Л08. 2.109. б 3 4 . 2.110. 2 -3 1 1 1 1 ... 1 О 1 1 ... 1 2.111. О О 1 ... 1 Методом элементарных следующих матриц: найти обратные для 2.114. 3 9 4 . 2.115. 2 1 -2 1 1 1 1 3 3 .-4 — 3 1 1 — 1 — 1 О б 1 1 2.116. 1 1 1 1 . 2.117. 5 4 1 — 1 -1 1 2 3 3 2 1 1 О ... О О 1 1 ...
О О О 1 ... О 2.110 2.119 О О О ... 1 О О О ... 1 1 1 3/Я 1/Л 1 — 1 1/ /5 -3/~/5 1 1 1 1 1 1 -1 -1 2'112' 1 -1 О О О О 1 — 1 1 1 — 1/Л -3/Л -1 1 3/Л вЂ” 1/Л преобразований 0 О 1 — 1 О 3 1 4 2 7 б — 1 1 2 2 — 1 3. Прост анство арифметических некто ов. Ранг матрицы 93 1 0 0 ... 0 1 0 2 0 ... 0 0 0 0 3 ... 0 0 2.120 0 0 0 ... 0 и Решить матричные уравнения 2.121. Х = . 2.122. Х. 2.123. Х .
2.126. Доказать следующие равенства: 1 а) (с2А) 1 = — А ', б)(АВ) '=В 'А1; в) (А-1)т = (Ат)-1 Вычислить значение функции д(х) при х = А /1 1'1 2.127. д(х) = хз — Зх+2х 1 — х 2 А = ( — ~0 11 2 -1 0 2.128. д(х) = х — 8х '+1бх 2, А = 0 2 -1 0 0 2 0 1 1 2,129. д(х) = (хз — 1) 1 — (хз+1) ~, А = 1 0 1 1 1 0 33. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 1. Арифметические векторы.
Всякая упорядоченная совокупность нз и действительных (комплексных) чисел называется дексо2аоо2елькььи (ко,иплекскььк) ароф24егяоческ2ьи вско2ором н обозначается символом Х = (ХЫ Х2, ..., Хи). 94 Гл.2. О еделители и мат ипы. Системы линейных звяеяий Числа хм хэ, ..., х„называются номионенглаии арифметического вектора х. Над арифметическими векторами вводятся следующие операпии. Сложение: если х (эм э21 ° ) эа)~ у (рм р21 1 ра)~ то х+у =(э~+рм хэ+рэ ° ° ., х„+р„). (1) Умножение на число: если Л вЂ” число (действительное или комплексное) и х = (хм хэ, ..., х„) — арифметический вектор, то Лх = (Лхм Лхэ, ..., Лх„).
(2) х = Х~~ Льем а=1 (3) Формула (3) называется разложением вектора х по базису З. Козффипиенты Лм ..., Л, однозначно определяются вектором х и называются ноординаоаами етого вектора в базисе И. Справедливы следующие утверждения: 1) Всякая система векторов Я Е К" имеет по меньшей мере один базис; при атом оказывается, что все базисы втой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Я и обозначаемого гвпдЯ или гЯ). 2) Ранг всего пространства К" равен н и называется раэмерносглью этого пространства; при этом в качестве базиса К" можно взять следую- Множество всех действительных (комплексных) арифметических нкомпонентных векторов с введенными выше операпиями сложения (1) и умножения на число (2) называется ярвсгярансгявом арифмегаичесниэ венюоров (соответственно действительным или комплексным).
Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается действительное пространство арифметических векторов, обоаначаемое символом К". Система арифметических векторов (хм ..., х,) называется линейно эависимой, если найдутся числа Лм ..., Л„не равные одновременно нулю, такие, что Лгх1 +... + Л,х, = О (где О = (О, О, ..., 0) — нулевой вектор). В противном случае зта система называется линейно неэависимой. Пусть Я вЂ” произвольное множество арифметических векторов.
Система векторов З = (ем ..., е,) называется базисом в 1э, если выполнены следующие условия: ™ а)еьЕЯ, 1=1,2,...,э; б) система З = (ем ..., е,) линейно независима; в) для любого вектора х Е Д найдутся числа Лы ..., Л, такие, что З 3. Пространство арифметических некто ов. Ранг матрицы 95 щую систему: е, = (1, О, О, ..., 0), ег = (О, 1, О, ..., 0), е, = (О, О, 1, ..., О), (4) е = (О, О, О, ..., Ц. Этот базис принято называть камокоческим. Зафиксируем произвольный базис З =,(ем ..., е„) в пространстве К".
Тогда всякому вектору х можно поставить во ааанмно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т.е. хг у =Лхсьу = Л Х (сэр» =Лх», й=1,2, ..., о). 2.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обладают следующими свойствами: 1а) х+у=у+х; 16) (х + у) + и = х+ (у + и); 1в) х+0 = х; 1г) Чх, у ЭЪ (х = у+ з) (вектор и называется разносгпью векторов х и у и обозначается так: и = х — у); 2а) Л(у»х) = (Л»»)х для любых чисел Л и »»; 26) 1 х = х; За) Л(х+ у) = Лх+ Лу; 36) (Л + 1»)х = Лх + у»х. Заданы арифметические векторы: аг = (4, 1, 3, -2), аг = (1, 2, -3, 2), нз = (16, 9, 1, -3), а» = (О, 1, 2, 3), аэ = (1, -1, 15, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
