341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными О. 108 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующей однородной системы уравнений: хг — 8хз+ 2х4 + хь = О, 2хг — Зхз — 7х4 + 2хь = О, 11хг — 12хз + 34х4 — 5хь = О, 5хг + 2хз — 16Х4 + Зхь = О. ЗХ1 + 2Х1— Х1 + а Матрица козффнциентов 3 1', -8 2 1 2 — 2~~ — 3 -7 2 1 11 -12 34 -5 1 — 5 2 — 16 3 имеет ранг г = 2 (проверьте!).
Выберем в качестве базисного минор М,=,',' Фо. Тогда укороченная система имеет вид Зх1 + хг = Зхз — 2х4 — хь, 2х1 — 2хг = Зхз + 7Х4 — 2хь, откуда, полагая хз = с1, Х4 = сг, хь = сз, находим 19 3 1 х1 = — — с1 — -сг+ -сз, 8 8 2 7 25 1 Хг = — -С1 + — Сг — -Сз. 8 8 2 Общее решение системы Л (с1, сг, сз) = С1 сг сз 19 3 — — с1 — -сг 8 8 7 25 --с1 + — сг 8 8 1 + -сз 2 1 — -сз 2 З 4. Системы ляяейяых уравяеяяй 109 Из общего решения находим фундаментальную систему решений -3/8 25/8 0 1 0 19/8 — 7/8 1 0 0 Е =Х(1,0,0)= Ег=Х(0,1,0) = 1/2 -1/2 — 0 0 1 Ез =Х(0,0, 1) хз +хз =О, — ха +ха=О, +хз — ха =О, хз +ха=О, — х4+ хз — — О.
2.230. х1 + Х2 хг — х2 Х2 + х1 2.231. 5х1+ бхг 2х1+ Зхг 7х1 + 9хг 5х1+ 9хг — 2хз+ 7х4+4хз = О, — хз + 4х4+ 2хз = 0; — Зхз+бх4+бхз =О, — Зхз+ х4+бхз =О. С использованием фундаментальной системы общее решение может быть ааписано в виде Х(сы сг, сз) = с1 Еъ + сгЕг + сзЕз г 2.222. Доказать, что всякая линейная комбинапия решений од- нородной системы уравнений также является ее решением. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем: 2.223. х1 + 2хг — хз = О, 2.224. х1 — 2хз — Зхз = О, 2х1 + 9хг — Зхз — — О. — 2х1 + 4хг + бхз = О. 2.225.
Зх1 + 2хг + хз = О, 2.226. 2х~ — Зхг + хз = О, 2хг+бхг+Зхз =О. х1+ хг+ хз =О, Зх1 + 4хг + 2хз = О. Зх1 — 2хг + 2хз = О. 2.227, 2.228. х1 + 2хг + 4хз — Зх4 = О, 2х1 — 4хг + 5хз + Зх4 = О, Зх1 + 5хг + бхз — 4х4 = О, Зх1 — бхг + 4хз + 2х4 = О, 4хз + 5х2 — 2хз + Зх4 = О, 4х1 — 8хг + 17хз + 11х4 = О. Зх1 + 8хг + 24хз — 19х4 = О. 2.229. Зх1 + 2хг + хз + Зх4 + 5хз = О, бх1+ 4хг + Зхз + 5х4 + 7хз = О, 9х1+ бхг+ 5хз+ 7хл + 9хз = О, Зх1 + 2хг + 4х4+ 8хз = О. 110 Гл.
2. Определители н матрицы. Системы линейных уравнений 2.232. Зхг + 4хг+ хз+ 2х4+ Зхь = О, бхг+ 7хг+ хз+Зх4+4хь =О, 4х1+ 5хг+ 2хз+ х4+ 5хь = О, 7хг + 10хг + хз + бх4 + 5хь = О. 2.233*. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц ЗО -24 43 50 -5 4 2 9 — 20 — 3 А= 9 -15 8 5 2, В= 1 -11 2 13 4 4 2 9 -20 -ЗО 9 -15 8 5 2 фундаментальную систему решений для системы уравнений Зхз+4хг+2хз+ х4+ 5хз + 9хг+ 7хз+4х4+ 4х1 + Зхг — хз — х4 + х1 + бхг + 8хз + 5х4— бхь =О, 7хь =О, 11хь = О, 4хь = О. Определить значения параметра а, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения: 2.234.
а хз+Зхг+2хз =О, 2,235. 2хг+ хг+Зхз =О, ахг — хг+. хз = О, 4х1 — хг+ 7хз = О, 8хг+ хг+4хз = О. хг + ахг + 2хз = О. Найти общие решения неоднородных систем, используя фун- даментальную систему решений соответствующих однородных: 2.236. 2х1+ хг — хз — х4+ хь = 1, хг — хг+ хз+ х4 — 2хь = О, Зх1 + Зхг — Зхз — Зх4 + 4хь = 2, 4хг + 5хг — 5хз — бх4 + 7хь = 3. 2.237. 2х1 — 2хг + хз — х4 + хь = 1, хг + 2хг — хз + х4 — 2хь = 1, 4х1 — 10хг + 5хз — 5х4 + 7хь = 1, 2х1 — 14хг + 7хз — 7х4 + 11хь = — 1. 2.238.
хг — хг + хз — х4+ хь — хь = 1, 2хг — 2хг + 2хз + х4 — хь + хь —— 1. 2.239. хг + 2хг + Зхз + 4х4 + 5хь — — О, х1 — 2хг — Зхз — 4х4 — 5хь = 2, 2хг+ Зхз+ 4х4+ 5хь = — 1. Если задана неоднородная система АХ = В, то ее общее решение может быть найдено квк сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ = О и произвольного частного решения неоднородной системы.
3 4. Системы линейных уравнений 4. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (2) может быть приведена к виду Ь' 1 О ... 0 а', „+, ... а',„ О1...
Оц,',+, 1 Ьг Ь'„ Ь'„, (7) 0 О ... 1 а'„„+, ... а'„„ 0 0 ... 0 0 ... О 0 0 ... 0 0 ... 0 Ь тэ Матрица (7) является расширенной матрицей системы х! + а, „+1х е1 + .. + аз„х„= Ь„ ! ! хг + аг „+1х„+1 +... + ог„х„= Ьг, х„+ а„„+,х,+1+... + а,„х„= Ь,, ! и о= ь„+„ (8) О = Ь', хс = — 3, — 1, 7. х! — 2хг + Зх1 хг 2хз, 2Х1 + хг — 2хз— Х1 + Зхг — 2хз— Х4 2Х4 = з Производя элементарные преобразования над строками расширенной матриды, получаем 1 — 2 0 1 3 — 1 — 2 0 2 1 — 2 — 1 1 3 -2 — 2 -3 1 4 7 которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел Ь'„+„..., Ь' отлично от нуля, то системы (8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны.
Если же Ь',+1 —— ... = Ь,'„= О, то система совместна и формулы (8) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных Х1, ... ..., х„через свободные неизвестные х,+1, ..., х„. Пример 4. Методом Жордана-Гаусса найти общее решение си- стемы 112 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений 1 — 2 О 1 — 3 10 10 10 ' 0 5 — 2 -3 О 5 — 2 — 3 О 5 — 2 — 3 Первые две строки последней матрицы составляют расширенную ма- трипу системы 4 1 хз — -хз — -х4 = 1, 5 5 2 3 хг — -хз -х4 = 2, 5 5 эквивалентной исходной.
Считая хы хг базисными неизвестными, а хз и х4 свободными, получаем общее решение в виде 1 -сг 5 3 -сг 5 хг Хг Х(сы ог) = Хз Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность общее решение следующих систем: 2.240. 2.241. хз+ 2хг+ Зхз+ 4Х4 = О, хз+хг 7Х1 + 14хг + 20хз + 27Х4 = О, хз + хг + хз бхз + 10хг + 16хз + 19Х4 = -2, хг + хз + х4 Зхз + 5хг+ бхз+ 13х4 = 5. хз + х4 + Х4 + и найти 1, — 4, =-3 1 хе= 2, хз = -1. 175хг — 315хз 150хг — 270хз 125хг — 225хз 4х4'= 8, 2Х4 = -3, 2Х4= 1, 24х4 = 1, 2х4 = 3. 2.242. 105хз 90хг 75Х4 2.243.
8х1+ 12хг 14хг + 21хг 9хз + 11х4 16хз + 20х4 10хз + 12ха 15хз + 18хз 20, 35, О, О, 22, 33. 4 1 1 0 5 5 2 3 О 1 5 5 О 0 0 О О 0 0 0 4 1+ -сз + 5 2 2+ -с1+ 5 с1 сг + 245Х4 = 84, + 210х4 = 72, +175х4 = 59. 2.244. 7хз — 5хг — 2хз— -ЗХ4 + 2хг + хз + 2хз — хг хз— — хг + хз+ — хг+ хз+ Глава 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 3 1.
Линейные пространства и пространства ео еиалярпым произведением 1. Линейное пространство. Множество ь". называется лпнсбным (вектлорным) нростлронстявом, если выполнены следующие условия: .1. В ь". введена операция сложения элементов, т. е. ттх, у б С определено отображение (х, у) -т з б Е (обозначение: в = х + у), обладающее следующими свойствами: 1а) х+у = у+х; 1б) (х+у)+з = х+(у+э); 1в) ВО б Е Чх б ь (х+ 0 = х) (элемент 0 называется нулевым); 1г) Ух б С В(-х) б ь" (х+(-х) = 0) (элемент -х называется нроятнвояоложньтм элементу х).
2. В ь" введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т. е. ЧЛ б и (Л б С), Чх б ь" определено отображение (Л,х) -т у е,С (обозначенне: у = Лх), обладающее свойствами: 2а) 1. х = х; 26) Л(,их) = (Лд)х. 3. Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности: За) Л(х+у) = Лх+ Лу; Зб) (Л+ р)х = Лх+ ттх. Элементы линейного пространства называются вектпоромн. Пространство С называется дебсятвнотсльньтм, если в Е операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел. Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами: 3,1. Множества Уз всех геометрических векторов (операции над геометрическими векторами определены в 3 1 гл.
1). 3.2. Множество Кн всех арифметических тт-компонентных векторов х = (хы ..., х„) (операции над арифметическими векторами определены в 3 3 гл. 2). 3.3. Множество утн всех многочленов р(ь) = ан тФ" +... + аге+ ао 114 Гл. 3. Линейная алгебра степени < я — 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа. 3.4. Множество С( в) всех функций у (1), непрерывных на отрезке [а, Ь], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа. 3.5. Множество М „всех матрип размера т х и (операпии над матрицами определены в 3 2 гл.
2). Выяснить, являются ли следующие множества линейными пространствами: 3.6. Множество 7г всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой. ЗЛ. Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой. 3.8.
Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию ]х[ > а, где а > 0 — фиксированное число. 3.9. Множество всех сходящихся последовательностей. 3.10. Множество всех расходящихся последовательностей. 3.11. Множество всех функций, интегрируемых на отрезке [а, Ь]. 3.12. Множество всех преобразований поворота трехмерного пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси. Система векторов хм ..., х, С л. называется линейно зависимой, если найдутся числа Л1, ..., Л„не равные одновременно нулю и такие, что Л1х1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
