341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а Система (11) прн этих условиях принимает внд 74 Гл. 1, Векторная алгеб а и аналитическая теомет ия 1 .411. Составить уравнение конуса, вершина катарога находится в начале координат, а направляющан задана уравнениями: хг+ уг аг, 1 хг+ (у — б)2+ зг = 2б, г у +' 1, /хг — 22+1=0, В) 2 2 ~ Г) ) 1у — 2+1 = О. ! Построить соответствующие конусы. 1.412.
Составить уравнение конуса, если заданы координаты вершины Мо и уравнения направляющей: а) Мо(0, -а, 0), хг = 2ру> з = Л; 2 2 б) Ма(0, О, с), — + — = 1, з = 0; а2 Ьг в) Мо(0, — а, О), х + уг + хг = ог, у + я =- а; г) Мо(3, -1, -2), хг + уг — хг = 1, х — у + х = О. Построить соответствующие конусы. 1.413. Построить конус, определить его вершину и направляющую в плоскости х = Л, если конус задан уравнением: а) хг+(у — Л)2 — 22=0 б) х2=2ую 1,414. Составить уравнение кругового конуса, для которого оси координат являются его обрааующими.
1.415. Составить уравнения проекций линии пересечения сферы хг+ уг + зг = ог с конусом хг+ уз — 22 = 0 на координатные плоскости: а) Оху; б) Охз; в) Оую 1.416. Источник света, находящийся в точке Мо(5, О, 0), освещает сферу'х + у + яг = 9. Найти форму тени на плоскости Оуз. Поеерхностоью ерощеиоя называетси поверхность, инвариантная относительно поворотов Л(у, и) па любой угол у вокруг некоторой фиксированной оси и.
Этз поверхность может быть получена вращением вокруг оси и кривой, получающейсл в сечении поверхности любой плоскостью, проходящей через зту ось. Пример б. Пывестиуравиениеповерхности, образованной вращением кривой г (х, з) = О, у = 0 вокруг оси Оз (рис. ЗЗ). 2 Сечение поверхности произвольной плоскостью з — зо есть окружность с центром в точке О(0, О, зо) радиуса хо, причем т'(хо, зо) = О.
Позтому длн произвольной Рис. Зз э4. Поверхности и к ивые в и остранствс 75 точки М(х, у, г) атой оиружностиимеем:а=вопр(М, Оа)=~/Р+ у2 = = хо. Подставляя эти равенства в соотношение Е(хо, то) = О, получаем Р'(~/Р+ут г) =О. (14) Уравнение (14) и есть искомое уравнение ааданной поверхности вращения. с 1,417. Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой в = хт, у = О: а) вокруг оси Ов; б) вокруг оси Ох. Построить обе поверхности. 1.418.
Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой в = у, х = О: а) вокруг оси Оу; б) вокруг оси Оа. Построить обе поверхности. 1.419. Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Оач т а) кривойг=е *, у=О; 4 б) кривой в = —, у = О. Построить обе поверхности в левой системе координат. 2 т (,2 1.420. Показать, что — + — = 1 есть уравнение поверхноот от сти вращения с осью вращения Ох.
Написать уравнение кривой в плоскости в = О, вращением которой получена эта поверхность. хг+ ут 1.421. Показать что — — — = 1 есть уравнение поверхноат ст сти вращения. Найти ее ось вращения и уравнения какой-ннбудь кривой, вращением которой обрааована эта поверхность. Глава 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. системы линейных уРАвнений 3 1. Определители 1. Определители 2-го и 3-го порядков. Квадратная таблица составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, называется квадратной магприцей 2-ео порлдка. Определителем 2-ео порлдка, соответствующим матрице А (или просто — определителем матрицы А), называется число (а11 агг ()егА = ~ = амагг — аггам.
а21 а22 Аиалоп(чно, если а11 а(г ага А = агг агг агз аз( азг азз — квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определителем 3-го порядка называется число ам агг агз ((е( А = агг агг агз а31 а32 азз = амаггазз + амазгагз+ + аггагзам — агзаггам— — аггаггазз — амагзазг (1) б (-> а (+) Определители 3-го порядка обычно вычисляются с использованием следующего и р а в и л а С а р р ю с а: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть (1) со знаком плюс, есть произведение элементов елавной диагонали матрицы А, каждое из двух других— произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и $1. Определителя элемента из противоположного угла матрицы ~рис. 34а), а слагаемые, входящие в (Ц со знаком минус, строятся таким же образом, ио относи- тельно второй (ообо гяоп) диагонали (рис.
34б), Вычислить определители 2-го порядка соз а — вша 2.3. яп гг соз гт -1 4) ~а+6 а — 6 -5 2~' ' '~а — Ь а+Ь ' 2.2. а+Ьг 6 )совгт+ 2а а — Ьг~' ' ~ 1 2.5. 2.1 т' я1п гт 1 соя гт — 1 яп а 12 1 + гг 21 1+тг 21 1+12 12 1+ 12 2.8. 2вшусоя~р 2в)нгоро — 1 2сояг р — 1 2я1п~рсов<о Решить уравнения: ) х х+1) )сов8х — вшбх~ 2.8. ~ ' )-4 х+1~ ' ' ' )я1пбх сав5х ~ 3 4 -5 2.13. 8 7 — 2 2 — 1 8 1 2 3 2,12. 4 5 б 7 8 9 а+х х х х Ь+х х х х с+х 2.14, г+1 аф гт7 1 1 1 1 вг 2п гт)3 а у ,32+ 1 Ру -~2+1 япа соя гт 1 яш)3 соя )3 1 япу сову 1 2.15 2.18. 1 1 1 2 18 1 3 Рг 1 13' )3 Е сг 2.17 где я = сов — + 3 27Г 1яп— 3 4я , .
4п где,8 = сов — + г яп— 3 3 2.10*. Доказать, что при действительных а, Ь, с, И корни урав~о — х с+Й~ 1гения ~ . ~ = 0 действительны. )с — Й Ь вЂ” х~ 2.11. Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны (т.
е. чтобы элементы одной строки получались из соответствующих элементов другой страни умножением на одно и то же число). То же верно и для столбцов. Вычислить определители 3-го порядка: 78 Гл. 2. Определители и мат ипы. Системы линейных равнений Решить уравнения: 3 х — х 2 — 1 3 х+10 1 1 х х+1 х+2 х+3 х+4 х+5 х+6 х+7 х+8 = О. 2.20. Решить неравенства: 3 -2 1 1 х -2 — 1 2 — 1 2 х+2 -1 1 1 -2 5 -3 х ( О. 2.21.
> О. а1 + Ь1х а1 — 61х с1 а| Ь1 с1 2.24. аэ + Ьэх а2 — Ьэх сз = -2х аэ 52 сз аз + бзх аз — Ьзх сз аз Ьз сз аз + Ь1х а1х + Ь1 с1 2.25. аз + Ьзх азх + бз сз = (1 — хз) аз + Ьзх азх + Ьз сз а1 Ь1 с1 аз Ь2 сэ аз Ьз сз а аз бз 1 с сз а а2 1 Ь Ь2 1 с сз = (а+Ь+ с) 2.23. Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка, используя его определение: а) если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (т.е. гпранспокироеагпь матрицу), то определитель не изменится; б) если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число; в) если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки (столбпа) определителя равны, то он равен нулю; г) если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы лвух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые; д) если одна строка (столбец) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
Используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 2.23, доказать следующие тождества (определители не развертывать): в 1. Определители Вычислить следующие определители, используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 2.23: (а + 1) а + 1 а 2.28. (Ь + 1)г Ьг + 1 Ь . (с+1)г сг+1 с в1пг сг соя 2а совг а я!и 1У соя 2~3 совг)У . 2.30. в(пг7 сов2у совгу 1 1 1 2.31. Проверить, что определитель х у г делится на х — у у — зиг — х. х у г г г 2.32.
П роверить, что определитель х у х+у у х+у х х+у х у делится на х + у и на хг — ху+ уг. 2.33. Построить график функдии х хг 1 г у= — а а 1 Ь вЂ” а Ь Ьг 1 (а уЕ Ь). 2. Определители и-го нарядна. Всякое взаимно однозначное отображение я множества (1, 2,..., и) первых и натуральных чисел на себя называется подстпапоекоб и-эо порядка. Всякая подстановка может быть записана в виде (2) где а;, = т(гв) — образ элемента гв Е (1, 2, ..., я) при отображении т. Для фиксированной подстановки я существует много различных спо- собов записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов верхней строки. В частности, запись вида (3) называется конопвческоб.
х+у з 1 у+а х 1 х+х у 1 я1пга 1 соягсг я1пг,В 1 совг Р в(п~ у 1 совг у 80 Гл.2. Определителя имат нпы. Снстемылинейных авнепий Говорят, что пара элементов ((, у) образует ннверсию в подстановке з, если ( < у, ио аг ) а . Число в(т) всех инверсных пар определяет четкость подстановки: подстановка называется чегпноб, если в(т)— четное число,и нечеганоб, если в(т) — число нечетное.
Пример 1. Определить четкость подстановки 2 3 5 4 1 0 Перейдем к канонической записи (3) 2 4 3 1 5 и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1, 4), (2, 3, (2, 4), (3, 4), то в(т) = 4 и т — четная подстановка. с нределннгелевг и-го норлдка, соответствуюгпим квадратной матрице агг аю агв агг аю ... ав„ авг овэ ° авн (или определннгелевг маогризы А), называется число аы аю " аг ° ам а та .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
