341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 22
Текст из файла (страница 22)
а1и аж асз ". аз ан1 а,а ... а„„, называется маглрииеб оператора А е базисе В. Матрицу оператора будем иногда обозначать также символом [А] или [А]и, если существенно, о каком базисе идет речь. Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: если у = Ах, то У = АХ, где Х, У вЂ” столбды координат векторов х, у и А — матрица оператора А в базисе М. Пусть А и А' — матрицы оператора А в базисах И и З', а Т = = Тж и — матрица перехода от базиса Ж в базису тг'. Тогда формула преобразования матриды оператора при преобразовании базиса имеет вид А' = Т 'АТ.
Пример 1. В базисе З = (1,], 1с) написать матрипу оператора проектирования Ра на плоскость сс х + р + я = О. с~ Оператор проектирования на плоскость а определяется равенством Рах = х, где ха — ортогональная проекция вектора х на плоскость а. Имеем и (п,х) Рах = х — х„= х — пр„х — = х — — п, ]п] ]п]з 2. Линейные опе ато ы 127 где и — нормальный вектор плоскости а. В рассматриваемом случае и = 1+1+ 1с и, следовательно, 1 2. 1. 1 Р 1 = 1 — -и = -1 — -1 — -1с, 3 3 3 3 1 2.
2. 1 Рь1 =,] — -и = — -1+ — 1 — -1с, 3 3 3 3 1 1. 1, 2 Р 1с = 1с — -и= — -1 — -]+ -1с, 3 3 3 3 откуда 2/3 -1/3 -1/3 Рв = -1/3 2/3 -1/3 . (> -1/3 -1/3 2/3 Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве ь', вводятся следующие операции: а) сложение операторов: (А + В)х = Ах + Вх; при этом [А + В] = =А+В; б умножение операторов на числа: (ЛА)х = Л(Ах); прн этом [ЛА] = =Л в) умножение операторов: (АВ)х = А(Вх); при этом [АВ] = АВ. Обрапсным к оператору А называется оператор А ' такой, что АА ' = А 'А = Е, где Š— еднничный оператор, реализующий тождественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется неэьсронсденным) в том и только том случае, когда его матрица А кевырождена (в любом базисе); при этом [А '] = А '. В задачах 3.83 — 3.89 установить, какие из ааданных отображений пространства Уэ в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе сВ = (1, 3, 1с).
3.83. Ах = Лх, Л вЂ” фиксированное число. 3,84. Ах = Лх + а, Л и а фиксированы. 3.85. Ах = (х, е)е, где е — заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения. 3.86, Ах = [а, х], а — фиксированный вектор. 3.87. Ах = (а, х)х, а — фиксированный вектор. 3.88*'.
Ще, сэ) — отображение, состоящее в повороте на угол со вокруг оси, задаваемой единичным вектором е. 3.89.'Если х = х1+уд+ «1с, то Ах = (у+ «)1+ (2х+ «)3+ (Зх — у+ «)1с. В задачах 3.90-3.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов Иэ в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом Гл. 3. Линейная алгебра 128 базисе: 3.90. Ах = (хг+хз, 2хд+ха, Зхд — хг+хз) 3.91. Ах = (хд, хг + 1, хз + 2). 3.92. Ах = (О, хг — хз 0).
3.93. Ах = (хд + 2хг+ 2хз, — Зхг+ хз, 2хд + Зхз). 3.94. Ах = (Зхд + хг, хд — 2хг — хз, Зхг + 2хз). 3.95. Ах = (Зхд + 5хз, хд+ ха+ 1, Зхг — бхз). В пространстве Из заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С) линейного оператора С = А — ВА и его явный вид в каноническом базисе Кз: 3.96. Ах = (2хг, -2хд + Зхг+ 2хз, 4хд — хг + бхз), Вх = ( — Зхд+хз 2хг+хз -хг+Зхз). З Так как Аед = (О, -2, 4), Аег — — (2, 3, — 1), Аез = (О, 2, 5) н Вед = = (-3, О, 0), Вег = (О, 2, -1), Вез = (1, 1, 3), то А= — 2 3 2, В= 0 2 1 Далее, АВ= 6 4 7, ВА= 0 5 9 По атому -4 11 -3 [С) = А — ВА= 6 — 1 — 2 -26 -1 5 По определению матрицы линейного оператора в каноническом базисе й" ее столбцы являются наборами компонент образов базисных векторов, т.е.
Сед —— ( — 4, 6, — 26), Сег = (11, — 1, — 1), Сез = ( — 3, — 2, 5). Отсюда находим: Сх = С(хдед + хгег + хзез) = хд Сед + хгСег + хзСез = = ( — 4хд + 11хг — Зхз, бхд — хг — 2хз, -26хд — хг + 5хз). д> 3.97. Ах = (7хд + 4хз, 4хг — 9хз, Зхд + хг), Вх = (хг — бхз, Зхд + 7хз хд + хг — хз) 3.98. Ах = (2хд — хг+5хз, хд+4хг — хз, Зхд — 5хг+2хз), Вх = (хд + 4хг + Зхз, 2хд + хз, Зхг — хз). 3 2. Линейные операторы 129 3.99.
Ах = (Зх! + хз — 2хз, Зх! — 2хз + 4хз, — Зх! + 5хз — хз), Вх = (2х! + хз, х! + хз + 2хз, — х! + 2хз + хз). 3.100. Ах = (Зх! + хз + хз, 2х! + хз + 2хз> х! + 2хз + Зхз), Вх = (х! + хз — хз 2х! — хз + хз, х! + хз). В задачах 3.101-3.105 найти матрицы указанных линейных операторов А, действующих в пространстве Уз, в базисе З' из задачи 3.18. 3.101. Ах = [а, х], а — фиксированный вектор. з Пусть а = ад!+ ад] + авк.
Тогда матрица линейного оператора А в базисе З = (1, д, 1с) имеет внд (см. задачу 3.86): О -ав ад [А]е = ав 0 — а! -ад а! 0 Матрица перехода нз базиса зд в базис З' была найдена в задаче 3.18: 1 0 О Те ~е = 0 сову — в!пу 0 в!пу сову Так как 1 О 0 Т,', = 0 сову в!пу 0 — вшу сову то, используя формулу (1), находим [А]дд = Тд ~ дд ' [А]дд .
Тдд и -аз сов у + ад в!и у О ад 3.102. Ах = Лх, Л вЂ” фиксированное число. 3.103. Ах = (х, е)е, где е — заданный единичный вектор 3.104. Ах = (а, х)х, а — фиксированный вектор. 3.105. А = Ще, у ) из задачи 3.88, уо = —; сова = соз]д = 1 Гз' = сову= —. 1 0 0 О сову — вшу О„ап у сов у ! О ав сов у — аг в!ау — аз в!и у — ад сов у < 1 0 0 0 сову вшу 0 — в!пу сову аз вшу+ ад сову — ад . !> О 130 Гл. 3.
Линейная алгебра 3.106. В 4".4 задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе цз = (е1, ез, ез, е4) равна 1 2 0 1 3 0 — 1 2 2 5 3 1 1 2 1 3 Найти матрицу этого оператора в базисах: а) 1В = (е1, ез, е2, е4); 6) В' = (е1, е1+ез, е1+ез+ ез, е1+ез+ез+ е4). 3.107. В ь",з заданы два базиса: И'. е', = 8е1 — без+ 7ез, ез = — 16е1+ 7е2 — 13ез, ез = 9е1— — Зез,+ 7ез В~~: е~1~ = е1 — 2е2+ез, е~2~ = Зе1 — е2+2ез, е~з~ = 2е1+ез+2ез Найти матрицу оператора А в базисе 01", если его матрица в базисе 22' имеет вид 1 -18 15 А' = -1 -22 20 1 -25 22 3.108.
В пространстве С2 оператор А в базисе В'. е1 = е1+2ез, /3 51 и, ез = 2е1+ Зез имеет матрипу ~4 31. Оператор В в базисе 08: /4 6~ е1' — — Зе1 + ез, е2 — — 4е1 + 2ез имеет матрицу ~ 1. Найти матрицу оператора А + В в базисе 01".
3.109. Пусть р(4) = а„ 14Я 1 + ... + а14 + ае — некоторый многочлен и А — линейный оператор. Рассмотрим оператор р(А), определяемый равенством р(А) = а„1А" ' +... + а1А + аеЕ. Найти матрицу оператора р(А), если р(г) = 342 — 21+5, а оператор /1 — 2'1 А задан матрицей А = ~ 3.110. В пространстве 7„задан линейный оператор дифферен- 11 цирования 11 = —. Найти матрицу этого оператора в базисе: а'г ) 1 ~ З2 1я — 1. (г — ге) (г — ге) 6) 1, (й — Зе), 1 ~ ( 1), Зе 614 2.
Линейные опе ато ы 131 Доказать операторное равенство Р„= О (Π— нулевоб оператор: Ох = О). 3.111. В пространстве Р4 задано отображение Ар(1) = К($, т)р(т) с1т, о где К(с, т) — многочлен от двух переменных, степень которого по г не превосходит 3. Доказать, что А — линейный оператор в Р4, найти его матрицу в базисе 1, 1, с~, $~ для случая, когда К(1, т) =1+ . 3.112, В пространстве Р4 задано отображение Аьр(1) = р(1+ Й), где й — некоторое фиксированное число. Доказать, что Аь— линейный оператор, и найти его матрицу в базисе 1, $, сг, 8з. 3.113.
В пространстве функций, дифференцируемых на всей (~ оси, заданы оператор дифференцирования Р = — и оператор А = Й = ем умножения на функцию е~с. Проверить равенство ОА— А11 = ЛА. В задачах 3.114-3.119 требуется установить, какие из задан- ных линейных операторов в 1гз являются невырожденными, и найти для них явный вид обратных операторов (е — фиксиро- ванный вектор единичной длины, а х = х1 + у1 + в1с). 3.114. Ах = Лх, Л вЂ” фиксированное число.
3.113. а) Ах = (х, е)е; б) Ах = (е, х]. 3.116. а) Ах = х — (х, е)е; б)" Ах = х — 2(х, е)е. 3.117. Ах = (у + з)1+ (2х + з)1 + (Зх — у + в)1с. 3.118. Ах = 2х1+ (х — з)1+ (2х+ Зл)1с. 3,119. А = Ще,~р) — оператор поворота на угол ~р вокруг оси, заданной вектором е. Установить, какие нз заданных линейных операторов в 1сз являются невырожденнымн, н найти явный внд обратных опе- раторов: 3.120. Ах = (х1 - хг + хз хз хг) 3.121.
Ах = (хг + 2хз -хг, 2хг — хз). 3122. Ах = (х1 + 2хг + 2хз~ 2х1 + *г — 2хз1 2хз — 2хг + хз). Множество Т„всех векторов Ах, х е Е, называется образом опе- ратора А. Множество Жь всех векторов х Е С, для которых Ах = О, называется ядром оператора А. Образ н ядро линейного оператора явля- ются подпространствамн в Е. Прн этом размерность образа т„= 41ю Т„ Гл.
3. Линейная алгеб а 132 называется раисом, а размерность ядра и„= йт ̄— дефектом оператора А. Справедливо равенство г„+ и„= и, где и размерность пространства ь'. 3.123. Описать образ и ядро следующих линейных операторов, действующих в пространстве Уз: а) Ах = (х, е)е, ~е) = 1; б) Ах = [х, а), а ф О. 3.124.
Описать образ и ядро оператора дифференцирования В, действующего в пространстве Рн. В задачах 3.125-3.127 для указанных линейных операторов, действующих в пространстве Кз, определить ранг и дефект, а также найти базисы образа и ядра. 3.125. Ах = (хг + 2хг+ хз, х1 — хз, хг+ хз). З Для представления арифметических векторов и заданного линейного оператора воспользуемся каноническим базисом в Кз. В атом базисе матрица оператора имеет вид А= 1 О -1 По определению у б Т„в там и только том случае, когда найдется вектор х б Кз такой, что у = Ах или, в координатной записи, У = АХ = 1 О -1 хз = хз 1 + хз О + хз -1 . (2) Равенство (2) означает, что образ Т„ совпадает с линейной оболочкой системы столбпов матрипы А. Следовательно, ранг оператора А совпадает с рангом его матрицы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
