341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найти матрицу оператора А'. 3.159*'. Доказать теорему Фредгольма. Понятие сопряженного оператора может быть использовано при исследовании совместности неоднородной системы линейных уравнений. Пусть АХ =  — матричная запись такой системы, причем т = и.
Тогда Х и  — столбцы координат соответствующих арифметических векторов в каноническом базисе евклидова пространства К", а квадратной матрице А в етом же базисе соответствует некоторый линейный оператор А: К" -+ К". Система А"Х = О, где А' — матрица сопряженного оператора А* в каноническом базисе, называется сопряженной однородной системой. Верна следующая теорема Фредгольма: длл того чтобы система АХ = В была совместно, необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбец В был ортогонолен ио есем реиленилм сопряженной однородной системы.
2. Линейные опе ато ы 139 Используя теорему Фредгольма,исследовать совместность следующих систем линейных уравнений: 3.160. Зх1 + 2хз + хз = -1, 3.161. хг + хз + хз = О, 7х1+бхз+5хз = 5, х1 + хе+ хз = 1, 5хг+4хз+Зхз = 2. х~ + хз + хз = -1. 3.162. 2хг+ хз — 2хз — — 1, 3.163. хг + хз+ хз = 1, х1 — 2хз+ хз = 1, х1+ хг+хз = 1, — 2хз+ хз+ хз = 1 хг+хг+хз =1. 3.164*. Доказать альтернативу Фредгольма: либо система АХ = В совместна при любой правой части В, либо сопряженная однородная система А'Х = 0 имеет ненулевые решения. 3.165. Какие из систем линейных уравнений, указанных в задачах 3.160 — 3.163, совместны при любой правой части? Линейный оператор Н в пространстве со скалярным произведением называется самосоярлженным, если Н = Н'.
Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрмитоеым (симметричным). Для того чтобы оператор А был зрмитовым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (аи) удовлетворяла соотношению ая = а; (ан = а,). Такие матрицы называются эрмитовыми (симметричными). Линейный оператор У в унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если 1П1' =11'11 =Е, т.е. 1Г = У '.
Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормярованяом базисе его матрица А = (аб) удовлетворяла соотношению А 1 = А' (А ' = Ат). Такие матрицы называются унитарными (ортогональными). 3.166. Доказать следующие свойства самосопряженного оператора: а) собственные числа действительны; б) собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. 3.167. Доказать следующие свойства унитарного оператора: а) собственные числа цо модулю равны единице; б) для того чтобы линейный оператор был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис снова в ортонормированный базис; в) унитарный оператор сохранаяет скалярное произведение; г) унитарный оператор сохраняет длины векторов.
Гл. 3. Линейная алгеб а 140 3.168. Показать, что в пространстве Уз следующие операторы являются симметричными: а) Ах = Лх, Л вЂ” фиксированное число; б) Ах=(х,е)е, ~е(=1; в) Ах = х — (х, е)е, ~е~ = 1. 3.169. Показать, что в пространстве многачленов Рз со скалярным произведением (6) следующие операторы являются симметричными: /1~ а) у(1) -+ у( — 1); б) у(1) = Ру' ~-). 3.170. Показать, что в пространстве Ут оператор Ще, ~р) поворота на угол д вокруг осн, заданной единичным вектором е (см. задачу 3.88), является ортогональным.
3.171. Показать,что операторы задачи 3.168 являются ортогональными. 4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Если оператор А, действующий в пространстве С„, имеет п линейно независимых собственных векторов ем ею ..., е„, соответствующих собственным числам Лм Лэ, ..., Л„, то в базисе иэ этих векторов матрица оператора А имеет диагональный вид л 0 Лэ (7) О Л„ а Характеристическое уравнение 1 — Л 2 О 2 — Л -2 — 2 О о =(л — 2)(1 — л ) =о — 1 — Л бес (А — ЛЕ) = имеет корни Л1 — — 2, Лэ = 1, Лэ = — 1. Следовательно, матрица мо- жет быть приведена к диагональному виду.
Находим соответствующие собственные векторы. При Л = 2 система (5) принимает вид (А — 2Е)Х = 0 О 0 хэ = 0 Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если 2. Линейные опе аторы 141 нли — х1+ 2хз — — О, -2х1 — 2хз — Зхз = О. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Е1 = (2, 1, -2)~. Аналогично, при Л = 1 система (5) принимает вид (А — Е)Х= О 1 О хз = О, или Из атой системы находим второй собственный вектор Ез — — (1, О, -1)г. Наконец, при Л = -1 нз системы (А+Е)Х= О 3 О хз = О, или находим третий собственный вектор Ез — — (О, О, 1) ". Найденные векторы Ем Ез, Ез образуют искомый базис, в котором матрица А линейного преобразования имеет следующий диагональный вид: О 1 О .с> В задачах 3.172-3.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису.
Найти зтат базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы. 1 1 2 3 О 1 О О 4 О О 1 — 2 ' ' О О О 1 О О О 2 -6 1 7 -1 3.174. 1 1 1, 3.175. 5 — 3 3 1у2 О 1/2 — 1 3 -1 3.176. О 1 О . 3.177. — 3 5 — 1 1/2 О 1у'2 ' -3 3 1 Гл. 3. Линейная алгебра 142 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 3.179. 3.178. Вычислить: у17 — 6~ а 4 3 -3 3.181. ~ 35 12) .
3.182. 2 3 -2 4 4 -3 Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде А=УЖУ ', где У вЂ” матрида унитарного оператора, осуществляюпгего переход от исходного бааиса к базису из собственных векторов оператора А, а Р— диагональная матрипа вида (7). Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матриду в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно): Для данной матрицы А найти диагональную матрицу Р и унитарную (ортогональную) матрицу У такие, что А = УРУ ~: 3.187.
А = 2 2. 1 . 3.188. А = а 3.180*, Вычислить А"', если: )А= О 2,б) 11 2 — 8 3.183. А = 2 2 10 -8 10 5 3 -1 0 3.185. А= 1 3 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 17 — 8 4 3.184. А = — 8 17 -4 4 — 4 11 1 1 2 3.188. А= 1 1 2 2 2 4 5 3, Билинейные н квадратичные формы 143 1 44 О 3 2 О 3.189, А = — 44 1 О . 3.190. А = -2 4 — 2 О О 1 Π— 2 5 2 2 — 2 3.191, А= 2 5 -4 — 2 — 4 5 33.
Билинейные и квадратичные формы 1. Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве С задана ликейвая форма, если каждому вектору х Е С поставлено в соответствие число у(х), причем выполнены условия У(х+у) = У(х)+у(у), х,уЕС, 1(Лх) = Лу(х), х Е С, Л Е К. Доказать, что в пространстве С функция у (х), х Е С, является линейной формой: ь 3.192. Дх) = /'х(Ь) яь, С = С(п,ьр х = х(с). а 3.193. у(х) = х(Ьо) С = Сйьь! х = х(Ь), ьо Е (а, Ь). 3.194. у (х) = (х, а), С = Уз, а Е Уз — фиксированный вектоР. 3.195.
у(х) = аЬх, С = Уз, а, Ь Е Уз — фиксированные векторы. 3.196. ~(х) = х'(Ьо), С Е С(, р х = х(Ь), Ьо Е (а, Ь). 3.197. Пусть в пространстве С фиксирован базис З = (еы..., е„). Пусть, далее, у(еь) = а,, 1 = 1, 2, ..., п, где у(х) — линейная форма в С. а) Доказать, что у(х) = а1х1+... + а„х„, где хы ..., х„— координаты вектора х в базисе З.
б) Обозначим С' множество линейных форм у(х), в котором введены операции сложения и умножения на число следующим образом: д = ~ь+ ~з, если Чх Е С(д(х) = Ях) +12(х)); Л = Лу, если Чх Е .С(Ь(х) = Лу'(х)). Доказать, что .С" — линейное пространство. в) Доказать, что сПщ С* = и (пространство С* называется сопряхсеяныльк пространству С). 3.198. Доказать, что: а) если х Е Й", х = (хы ..., х„), то формула у(х) = х1 определяет линейную форму; 144 Гл.
3. Линейнал алгебра б) всякую не равную тождественно нулю линейную форму 1(х), х Е К", надлежащим выбором базиса можно привести к виду Дх) = хы где х1 — первая координата вектора х в этом базисе. 2. Билинейные формы. Числовая функция А(х, у): ь" х Е -+ К, заданная на действительном линейном пространстве Е,называется билинейное формов, если при фиксированном у она является линейной формой по х, а при фиксированном х — линейной формой по у. Б~1пинейная форма называется симметрическое, если А(х, у) = А(у, х), х, у Е ь".
Если в пространстве Е„фиксирован некоторый базис З = (ем ..., е„), то матрица А = (ое), аб = А(ео е.), называется матлриней бвлиневной формы А(х, у) в базисе З. Доказать, что в пространстве С функция А(х, у) является билинейной формой: 3.199. А(х, у) = 11(х)Яу), где 11, 6 — линейные формы в.С. Ь 6 3.200. А(х, у) = / / К(а, Х)х(а)у(1) даос, где Г. = С(„ьр х = О О = х(з) Е С( а), у = у(1) Е С( рр К(а, 1) — некоторая непрерывная функция двух переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
