341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Доказать, что квадратичная форма у(х) = ачзх'хз является тензором типа (2, 0). 3.242. Доказать, что билинейная форма В(х, у) = б;зт'уз является тензором типа (2, 0). 3.243. Пусть Т: ь". х С х ь". — з К вЂ” триликебиал узорзза, т.е. функция Т(х, у, х) трех векторов, линейная по каждому аргументу (например, линейность по первому аргументу означает, что Т(п+ч, у, х) = Т(и, у, х)+Т(ч, у, х) и Т(Лх, у, х) = ЛТ(х, у, х) при всех х, у, х, и, ч Е ь". и Л Е й). Доказать, что Т вЂ” тензор. Какого типа этот тензор? 3.244.
В таблице приведены координаты тензора Н' в базисе еы ез (индекс?с обозначает номер 2 х2-матрицы, з — номер строки, у — номер столбца). Найти координаты этого тензора в базисе е~ —— ез + 2ез, е~т — — Зез — 2ез. 3.245. Пусть А'з — тензор типа (О, 2). Используя матрицу перехода Я от базиса к базису, выразить матрицу А' этого тензора в новом базисе через матрицу А в старом базисе. 3.246. Сколько координат имеет тензор типа (р, о)? 2. Операции над тензорами. Для фиксированного линейного пространства С размерности и рассматриваются всевозможные тензоры. Сложение тензоров н умножение на скаляр.
Если А и  — тензоры одного типа, то их сумма С = А + В определяется формулой СЗЗ -Зч 4Зч" Зч + ВЗ! -Зч т.е. в каждом базисе складываются соответствующие координаты этих тензоров. Тензор С имеет тот же тип, что А и В. Если Л е П вЂ” скаляр, то можно построить тензор Р = ЛА того же типа, что А, по формуле Р"."" = ЛАз'"'з'. чт...чр чч ..чр' Тензоры одного типа (р, о) обраауют линейное пространство размерности яр+'. Тензорное произведение. Пусть А и  — тензоры типов (р, о) и (а, 1) соответственно. Тензорным произведением С = А 8 В называется тензор типа (р+ л, о+ 1), координаты которого в каждом базисе определяются формулами СЗ'- З~ЗМ - З~р' АЗ' Зч, ВЗЗЧ'-Зчр' чч.,.чрчррч...чрч. чт...чр ч/рч...ч Гл.
3. Линейнал алгебра 158 Пример 4. Пусть х — вектор (т.е. тензор типа (О, 1)), а сев ковектор (лннейная форма). Тогда А = п ® х — тензор типа (1, 1), т.е. линейный оператор. Выяснить, как действует оператор А на произвольный вектор у й с'.. ° З Пусть ()а' 'б — матрица оператора А. Тогда а' = а х', а значит, Ау = аоуде; = а х'уде; = азйд х'е; = а(у)х. Таким образом, (ст З х)у = а(у)х. с Свертка тензора. Пусть Т,",";~' — тензор типа (р, $1). Вьщелим какой-либо верхний и какой-либо нижний индексы, например, 11 и 1г.
Тогда можно построить тензор типа (р — 1, д — 1), полагая в каждом базисе Сг32'"2$ — Ть " ь $2- $$ Й$$-л$ (в правой части — суммирование по к). Этот тензор называется свер$лкоб тензора Т ио индексам г$, у1. Если Т = Т, ', то сверткой тензора Т по индексам у и га является Оь тензор У,'ь = Ти. ~ (суммирование по индексу у). Тензор типа (О, 0) — это инвариантл, т.е. число, принимающее одно и то же значение в каждом базисе пространства С.
Пусть а* — линейный оператор. Произведем сворачивание этого тензора по индексам 1 и у', т.е. положим 6 = а;'(= а1+ а~~ +... + а„"). Тогда 6 будет являться тензором типа (О, 0), т.е. инвариантом. Число 6 — это сумма диагональных элементов, т.е. след матрицы 'ба'(!. Отсюда вывод: след сг А матрицы А = ба$.'и' линейного оператора не зависит от базиса пространства С. Пусть ) 1, если 1= у, У '(О, еслиз~у. (Этот объект называется символом делыиа Кронекера).
Докажем, что б' — тензор типа (1, 1). Для этого надо доказать равенство б', = ~~ з',б'. Преобразуем правую часть этого равенства. Так как б' = 0 при 1 ф у, то мы можем считать, что 1 =,1. Тогда з зУ~,б1 = з з',б' = з з' = (Я ~Я)' =Е' = б' $ у у $3' $ $ у у у у (здесь Е обоаначает единичную матрицу).
Нетрудно видеть, что матрица тензора б' в любом базисе является единичной матрицей Е. Если дельту Кронекера интерпретировать как линейный оператор Ь, то это будет тождественный оператор, т.е. $ьх = х для всех векторов х. Э 4. Элементы тензорной алгебры 159 3.247. Пусть х — вектор, а гх — ковектор (линейная форма). Что собой представляет свертка тензора сс 3 х? 3.248, По каким парам индексов можно осуществить свертку тензора А'„? 3.249. Доказать, что если матрица тензора Ту в каком-либо базисе невырождена, то матрица этого тензора невырождена в любом базисе.
Верно ли данное утверждение для тензоров Т', ТО? 3.250. Пусть А — тензор типа (О, 2) такой, что в каком-либо базисе (а значит, и во всех базисах) матрица 5А'Ц невырождена, и пусть В; — элементы обратной матрицы. Доказать, что В,"— тензор типа (2, 0). 3.251. Пусть сс, ~3 — ковекторы.
Тогда В = а Э,З вЂ” билинейная форма. Выразить В(х, у) через х, у с помощью е,,8. 3.252. Назовем биаектором ВО тензорное произведение двух векторов х и у. Выразить координаты тензора ВВ через координаты векторов х и у. 3.253. Пусть АΠ— тензор типа (О, 2), и его матрица 3АВЙ в каком-либо базисе является симметрической. Останется ли матрица этого тензора симметрической при изменении базиса? Ответить на этот вопрос для тензоров В', С, типов (1, 1), (2, 0) соответственно. 3.254. Тензор А'~ задан своими координатами в базисе еы еэ, еэ (см.
таблицу). Найти координаты тензоров В' = А'.~ и СУ = = А'у в базисе еы еэ, еэ. 3.255. Координаты тензоров АО и ВО в базисе еы еэ, ез определены матрицами А и В соответственйо, где А= -1 3 4, В= — 1 3 1 Найти координаты тензоров С' = АсеВь,, Р' = А'"В ь в базисе еы еэ, ез. Вычислить свертки Я = АОВО, Т = АОВуь Гл. 3. Линейнал алгебра 160 3. Симметрирование и альтернвуование. Выделим у тензора Т,"~'",.~' какие-либо я нижних индексов, например, «м»ю ..., »ь.
Ск»«»«ео«рировакпе по индексам «и ..., »ь — это построение нового тензора Т = — Т 1 [«1 .л»)«»+«.. ф [„.[ х «ае..а»«»«»...«»> (5) а«,...,а» где суммирование производится по всем перестановкам ом ..., оь индексов»ы ..., ц,. Координаты тензора Т",."';.~ь» в любом базисе симметричны по индексам»м ..., «», т.е. не зависят от перестановки втих индексов. Альтернироаакие по индексам «и ..., «ь состоит в построении тензора Т(' "(« — '«1 [«[ТУ'" У« .
1 б [Н. л»[«»+к.лр ь[ ~ ( ) а1...й»»»«к.ар~ () ак...,а» где суммирование производится по всем перестановкам о = ( ' «,о«с«ь/ индексов «и ..., «ь. Очевидно, слагаемое в (6) будет взято со знаком «плюс», если подстановка и четная, и «минус», если она нечетная. Аналогично определяются тензоры Т["'";~"'~~ +""~' и Т["";.~ [~"+'"о'. к, .«» »«. ° лр Выразим координаты тензоров Аь[',»[, В[~„[ через А„'»[, Вь» соответственно. По определению имеем: Аь[",~ = -(А1»[+ А'„',), 2 в =-(в~, — в~~,+в, „— в,„+в „,— в», ). Если Т вЂ” тензор типа (р, 0) илн (О, д), то Бут Т или А[«Т — это тензор, полученный из Т симметрированием или альтернированием по всем индексам.
3.256. Ранг матрицы тензора называется рангом- «цензора. Пусть А — тензор типа (2, 0), (1, 1) или (О, 2). Доказать, что матрица тензора А в каждом базисе имеет один и тот же ранг. 3.257. Найти ранг тензора: а) ег З ег — ез З ег + е[ З ез — ез З ее[ б) е[ З е[ + ез З ег + ет З ет. 3.258. Пусть А — тензор типа (р, «1), где р+ о = 2. Найти условие, которому должна удовлетворять матрица тензора А, чтобы тензор А можно было представить в виде произведения РЗ Я тензорав Р, ц' другого типа. 4. Элементы тензорной алгебры 161 3.259.
Выразить координаты тензоров А(„ , В~ , С(; ь) через (Иь) координаты А'~, Вн, С; ь соответственно. 3.260. Найти матрицы тензоров ЯуптА", АИВ; в базисе еы еэ, еэ, если заданы координаты тензоров А'~, В; в этом базисе: — 1 3 2 1 3 2 ))А'~))= О 1 4, ))В, !)= -1 4 О 2 1 — 3 1 5 4 3.261. Тензор А, ь задан координатами в базисе еы еэ, ез (см.
таблицу). Найти координаты тензоров В; ь = А;(уь), С; ь = Абуь), Р, ь = А(; ь) в базисе еэ, еэ, еэ. 4. Сопряженное пространство. Теизор кан полилинейная функция. П сть ь", — линейное пространство над полем действительных чисел. Г опрлженнмм просгярансглеом л,' называется пространство всех линейных форм сс х. -~ и. Коли ем ..., е„— базис пространства ь"., то в пространстве .С* можно построить соярлженный базис е', ..., е", в котором ковекторы е' определяются равенствами е'(еу) = б' при всех г, у. Тензор Т типа (р, д) можно рассматривать как полиликсбную функцию Т: Е х ... х Е х л," х ...
х Е* -+ ж от р векторов н д ковекторов Р ч (полилннейность означает линейность по каждому нз р+ 9 аргументов). Координаты Т~,'";~' тензора в базисе ем ..., е„пространства ь", определяется формулами Т~ ";~' = Т(е;„..., е;„ен,..., аз~). Пример 5. Представить линейный оператор в виде билинейной функции от вектора и ковектора. э Пусть А; Е -+ Š— линейный оператор, Йа'.)! — его матрица в базисе ем ..., е„. Возьмем произвольные вектор х Е Е и ковектор 5 Е Е*. Разложим х по базису ем ..., е„, а 5 — по сопряженному базису е', ..., е": х = хзе, б = б;е'.
Положим у = Ах. Линейный оператор, как тензор типа (1, 1), является функцией Т(х, 5) от одного вектора и одного ковектора. Поэтому а' = Т(е,, е'). Имеем: Т(х, б) = Т(х'е, б;е') = х'~;Т(ез, е') = хзб,а' = = б;(а,'.х') = б;у' = б(Ах). ~> Гл. 3. Линейная алгебра 162 3.262. Представить вектор х Е Е в виде функции ТЯ ковектора ( Е Е*. 3.263. Пусть А: С х С вЂ” ~ С вЂ” билинейное отображение, рассматриваемое как тензор типа (2, 1). Представить А в виде функции от векторов и ковекторов. 3.264. Написать матрицу линейного оператора е1 З е1 — 2ег З З аз + Зез З е' в базисе еы ег, ез Пример 6.
Вывести формулу, выражаюгцую закон изменения векторов сопряженного базиса е', ..., е" при изменении базиса ем ..., е„пространства ь", З Для всякого ковектора О Е .С' имеет место равенство сг = а;е', где пи = сг(е,). Полагая сг = е' (здесь е' — вектор нового сопряженного базиса), получим: е' = е' (е;)е' = е' я ер)е' = яг е' (е )е' = аг д',е' = з, е'. Таким образом, (7) ПУсть еы ег, ег — базис пРостРанства Е, а е~, ег, ез — сопРЯженный базис. Выясним, как изменится сопряженный базис, если в пространстве Е перейти к базису у1 — — е1+ 2ег — Зег 1г = е1 + еж уз = 2е1 — ез. ПУсть г1', г1~, г1~ — базис, сопРЯженный с базисом Уг, Уг, Уг.
Так как 1 1 2 (11 Уг Уг) = (е1 ег ег) 2 1 Π— 3 Π— 1 то матрица перехода от базиса е к базису г" равна По формулам (7) получаем гуг Д-1 ег 2 5 4 Таким образом, г1' = -(-ег + ег — 2ег) 1 7 г1г = -(2е1 + 5ег + 4ег) 1 7 1 гуг = -(Зе~ — Зег — ег) 7 3 4. Элементы тенаорной алгебры 163 3.265. Написать выражения векторов нового базиса е1, е~г, е~з пространства Е через векторы е1, ег, ез старого базиса, если сопряженный базис изменился следу1ошим образом: (е')' = 2е1-ег+3е' (а~)г а1 + 2ез (е')з = -е1+4ег 3.266. Найти значение Т(х, 4) тензора Т = е1З ег+ 2ег З З (ег-Зез)+езЗ(2е1-ег), где х = е1+4ег-ез, ~ = е1-2ег+Зез. 3.267.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
