341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ее собственные числа: Л1 — — 8 и Лт = — 2; собственные векторы: е1 = /1 11 /1 1г = ~=, =(, ет = ~=, — =). Выполння преобразование х = — (х'+ у'), у = — (х' — у'), ~/2 ~/2 3. Билинейные и квадратичные формы 151 ~г 16, 12 8х' — 2у' — х'+ уг 13 = 0 Л ~/2 получаем Так как Л1 и Лз отличны от нуля, то по каждой из новых переменных х' и у' можно выделить полный квадрат: 16, (, ~/2 1 8х' — — х' = 8 х' — — — 4, 12, /, 3~' — 2у + — у =-2~у — — ) +9. ~/2 Л, ~/2) Заменой переменных ~/2 х" = х —— 2 3 У =У ~/2 соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим 8х — 2у — 8=0, или х — -у =1. „г лг 1 пг 4 Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы.
Резуль- тируюгпее преобразование координат имеет вип х = — (х" + у") + 2, ~/2 у = — (х" — у") — 1, а каноническая система координат — (О', еы ег), где 1. 1. 1, 1, О'(2, -1), е1 = — 1+ — 1, ег = — 1 — — 1. [> ч/2 Л ~/2 Л В задачах 3.226-3.231 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
3 226 9хг 4ху + буг + 16х Зу 2 0 3.22Т. хг — 2ху+ уг — 10х — 69+ 25 = О. 3.228. 5хг + 12ху — 22х — 12у — 19 = О. 3.229. 4хг 4ху+ уг 6х+ Зу 4 0 3.230. 2хг+ 4ху+ 5уг бх — 8у — 1 = О. Гл. 3. Линейнал азгеб а 152 3.231. хг — 4хр+ 4рг — 4х — Зр — 7 = О. 3.232. Кривая второго порядка определяется уравнением: а) хг — 29+ Л(дг — 2х) = О; б) хг+ 2Лху+уз — 1 = О. Определить ее тип при изменении параметра Л от -оо до +оо. Множество точек евклидова пространства зз~, удовлетворяющих уравнению (3), называется яоверхкосязью вязорого порядка. Каноническое уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих видов (в переменных х, д, »): 1) Лзх'+ Лгу~+ Лз»'+ с = 0 (ЛдЛ»Лз Ф 0), 2) Лзхг+ Лги»+ 5» = 0 (Л,Л, ~0)', 3) Лзх +Лгут+с=О (ЛЛ -О), 4)Лх +Ьр=О (Лз Ф 0), 5) Лзхг+с = 0 (Л зз О).
Поверхности типов З)-5) являкзтся цилиндрами (эллиптическим, гиперболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении плоскостью» = 0). Пример 4. Написать каноничесвое уравнение поверхности второго порядка 4хг + 4рг — 8»г — 10хр + 49» + 4»х — 16х — 169 — 8» + 72 = О, определить ее тип и найти каноническую систему координат. < Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна И '-~) Ее собственные числа: Л1 = 9, Лг = -9, Лз = О, а собственные векторы: Выполнив преобразование — Зх'+ р'+ 2Л~'), 3~/2 — (-Зх'+ у'+ 2ч'2»'), ЗЛ ЗьУ2 — ( — 4у' + ~/2»'), получаем 9х' — 9у' — 72»'+ 72 = О. 3. Бвликейлые и ква атичкые о мы 153 Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной»'.
— 72»' + 72 = — 72(»' — 1) = — 72»". Второе преобразование координат имеет вид И ! х =х, л / У =У~ я Результирующее преобразование координат таково: — ( Зх 1 ЗЯ вЂ” (-Зх 1 З,Гг 1 зЛ + у" +2ч'2»") + —, 2 + у" + 2~Г2»") + — , 2 - 4у" + ~(2»л) + -, а каноническая система координат — (О', еы ег, ез), где В задачах 3.233-3.240 написать каноническое уравнение поверхности второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
3.233. 7хг + буг + 5»г — 4ху — 4у» — бх — 24у + 18» + 30 = О. 3 234 2хг — 7уг-4»г+4ху+20у» — 16»»+60»-12у+12» — 90 = О. 3,235. 2хг + 2уг — 5»г+ 2ху — 2х — 4у — 4»+ 2 = О. 3.236. 2хг + 2уг + 3»г + 4»у + 2у» + 2»х — 4х + бу — 2» + 3 = О. 3 237 4хг+уг+4»г — 4ху+4у» — 8»х — 28х+2у+16»+45 = О. 3.238.
2хг+5уг+2»г — 2ху-4х»+2у»+2х — 10у — 2» — 1 = О. 3.239. хг + 5у +»г + 2ху + 2у» + 6»х — 2х + бу + 2» = О. 3 240 хг — 2уг +»г + 4ху+ 4у» — 10»х + 2х + 4у — 10» — 1 = О. откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида х" у" Н вЂ” — — — » 8 8 Гл. 3. Линейная алгебра В 4. Элементы тензорной алгебры 1. Понятие тензора. Будем рассматривать выражения вида а;, Ь', свв и т.д., где индексы 1, у, Ь принимают значения 1, 2,, и. Всюду в этом параграфе, если в выражении какой-либо индекс стоит вверху и внизу, то будем предполагать, что производится суммирование по этому индексу.
Например, й. = й1 + йт +... + йи и Ьвсе = 2 Ь,ая, аОЬв =,С а,",.Ьа, с1~в — — 2, саля а=1 а а,д н т.д. (сонра1аенныс обозначения суммирования). Через Е„(илн просто Е) будем обозначать линейное пространство размерности и над полем действительных чисел П нли над полем комплексных чисел С. Изложение в этом параграфе проводится для поля П. Все рассуждения для поля С также справедливы и устанавливаются аналогично. Матрицу будем обозначать (а1 ) нли ))а,Д. Пусть. й» = (е1, ..., еи) и З' = (е'„..., е'„) — два различных базиса в я".„. Через Я = Яж +ж обозначим матрицу перехода от базиса З к базису Ж', т.е.
матрицу 1 1 У'В1 ... В„~ Бж ж'= ~ "" . ~ =К!! и и 1 '' и и где е'; = в1е1 +... + в,"еи = ~ ввез, 1 = 1, 2, ..., и. 1=1 Элементы обратной к Я матрицы Я ' обозначим в', т.е. Я 1 = Ц(!. Вектор. Пусть х Е я, — произвольный вектор. Координаты вектОра Х В баЗИСЕ З = (Е1, ..., Еи) ОбаэиаЧИМ Х1, ХЭ, ..., Хи (ЗДЕСЬ МЫ пишем индексы вверху, а не внизу для удобства, чтобы можно было применять сокращенные обозначения суммирования). Разложение вектора по базису З записывается в виде х = х1е; (суммирование по 1).
В другом базисе З' = (е1, ..., еи) имеем; х = х1 ев (здесь на самом деле следовало бы писать е';„но второй штрих не пишут для упрощения записи). Формулы преобразования координат при переходе от базиса З к базису З' в сокращенных обозначениях имеют следующий внд: х1 =в;х1 З 4. Элементы тензорной алгебры 1бб (здесь предполагается суммирование по 1, а х' обозначает Г-ю координату вектора х в базисе е'„ ..., е'„).
Приведенные выше рассуждения показывают, что вектор можно рассматривать как совокупность наборов чисел (х|, хэ, ..., х"), заданных в каждом базисе и изменяющихся при переходе от базиса к базису по закону (1). Линейная форма. Напомним, что линейной формой называется отображение еа С -ь П, линейное в обычном смысле, т. е. удовлетворяющее равенствам о(к+у) = а(х) +а(у) и а(Лх) = Ла(х) при всех х б С, Л й К.
Если эь = (еы ..., е„) — базис пространства с,, то положим си = а(е,). Ввиду линейности а имеем: сь(х) = а(х е1+...+х"е„) = х~а(ег)+...+х"а(е„) = агх +...+сь„х". В сокращенных обозначениях суммирования получаем: а(х) = еих'. Итак, линейная форма в каждом базисе аадается строчкой (аы аз,..., сь„). Пусть З' = (е'„..., е'„) — другой базис пространства .С. Тогда, по определению матрйцы перехода, (2) 1 ер = в;,е;. Отсюда ое — — сь(ее) = а(в,',е;) = в;',сь(е;) = в),а;, т.е.
Ф ае — — в,,си. Таким образом, линейную форму можно рассматривать как совокупность строчек (сьы пз, ..., сь„), заданных в каждом базисе и изменяющихся при изменении базиса по закону (3). Определение. Пусть в каждом базисе З линейного пространства 1:„для некоторых неотрицательных чисел р, д задан упорядоченный набор Т из пР ьв элементов Т,"",~' б К (или С), где индексы изменяются от 1 до и. Тогда Т = (Т~,'"',.м) называется р раз ковариантным и д раз контравариантным тензором (или тензором типа (р, д)), если при переходе от базиса В к базису З' числа Т,",";.~' изменяются по закону (4) 1р й ''' уя сь зр (Напомним, что правая часть этого равенства представляет собой сумму по индексам гы ..., гр, уы ..., уя.) Числа Т,,'"; ' называются компонентами (или координатами) тензора Т.
Замечание 1. Формулы (4) можно интерпретировать как независимость тензора от выбора базиса в линейном пространстве. Замечание 2. Формула (1) получается нз общей формулы (4) при р = О, у = 1, поэтому вектор можно рассматривать как тензор типа (О, 1)'. Гл. 3.
Линейная алгебра 156 Замечание 3. Формула (3) получается из общей формулы (4) при р = 1, о = О, поэтому линейную форму можно рассматривать как тенвор типа (1, 0). Такие тензоры называют ковекторами. Пр,имер 1. Выписать все слагаемые, описывающие изменение координат тензора А'„г в двумерном пространстве Ег. 0 Из фоРмУл (4) полУчаем: А~,,г — — в,' вг ввв, А~в. Так как н = 2, то А',г = Г'зг вг Ап + Ф'Ф вг Ап+ зсзг'зг Агг+ зсзг'вг Ап+ + з вг з1 Агг +згзг'зг Агг+ з зг вг 1гг+ з'зг'зг Азг вгггьгггьгггвг.
П р и м е р 2. Доказать, что линейный оператор можно рассматривать как тензор типа (1, 1). ° з Пусть А: Е -+ Š— линейный оператор и баЯ вЂ” его матрица в базисе еп ..., е„. Требуется доказать, что таблипа ба'() при переходе к другому базису меняется по закону (1). Воспользуемся тем, что А' = Я гАЯ, где Я вЂ” матрица перехода, а А и А' — матрицы оператора в старом и новом базисах. Тогда что и требовалось доказать. 1> Пример 3. Пусть А: Ехс, -+ С вЂ” линейное по каждому аргументу отображение, т.е. отображение, удовлетворяющее условиям А(х+ у, и) = А(х, з) + А(у, г), А(х, у+ в) = А(х, у) + А(х, и), А(Лх, у) = ЛА(х, у), А(х, Лу) = ЛА(х, у) при всех х, у, в Е С, Л Е В.
Доказать, что А — тензор. Какого типа этот тензор? з Пусть еп ..., е„ вЂ” базис пространства Е. Разложим вектор А(е;, еу) по этому базису: А(еп еу) = а~ ею Докажем, что (а,"") — тензор типа (2, 1). Действительно, в новом базисе А(ев, ер) = а,",,ев, а значит, Так как ев = ввв'ем, то а,,'рем = в*,,з~,авбзвв'ем. ВвидУ линейной нее' зависимости векторов е'„..., е'„получаем: азр = в,*,вг,ввв аь, что и требовалось доказать. с> З 4. Элементы тензоркой алгебры 3.241.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
