341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е, равен двум, а в качестве базиса Т„может быть выбран любой из базисов системы столбцов матрицы А, например, Е1 = 1 , Ез = О Аналогично х е Л„ в том и только том случае, когда Ах = О,илн, в координатной записи, АХ= 1 Π— 1 хз = О (3) 3 2. Линейные операторы 133 Отсюда следует, что ядра М„ совпадает с подпространством решений однородной системы (3), т.е. дефект оператора А равен и„ = и — г„ = = 3 — 2 = 1, а в качестве базиса в М„ может быть выбрана фундамен- 1 тальная система решений системы (3), например, Е = — 1 1 3.126.
Ах = (2х» — хз — хз, х» — 2хз + хз, х» + хз — 2хз). 3127. Ах = (х1+ хз+хз х»+хз+хз, х»+ ха+ хз). 3.128. Доказать, чта оператор А невыражденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства. 2. Собственные числа и собственные векторы лниейнога оператора. Пусть число Ли вектор хи с,', х ф О, такова», что (4) Ах = Лх.
Х~О Л» =1: х»"'> = х»+у», х»"»> ~ О, Л, = 0: х~"»1 = вас, х<" ~ ~ О. Тогда число Л называется собстеениьи» числом линейного оператора А, а вектор х — собственным вектором етого оператора, соответствующим собственному числу Л. В конечномерном пространстве С„ векторное равенство (4) эквивалентно матричному равенству (А ЛЕ)Х=О, . ' (5) Отсюда следует, чта число Л есть собственное число оператора А в том и только том случае, когда бес(А — ЛЕ) = О, т.е. Л есть корень многочлена р(Л) = »)ег (А — ЛЕ), называемого характеристическим многочлеком оператора А.
Столбец координат Х любого собственного вектора, соответствующего собственному числу Л, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (5). Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы оператора Р»зии проектирования на плоскость Оху в пространстве К 0 1. Геометрическое решение. Равенство Рс»,их = Лх, х ф О, означает, что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху коллинеарна самому вектору х.
Но это возможно лишь в двух случаях. а) Вектор х ~ О компланарен плоскости Оху. Для всех таких векторов Р»з,их = х, т. е. все они являются собственнымн векторами оператора Р»з,и, соответствующими собственному числу Л» —— 1.
б) Вектор х ф 0 ортогонален плоскости Оху. Для всех таких векторов Рс»,их = О = 0 ° х, т.е. все они являются собственными векторами оператора Рс»,и, соответствующими собственному числу Лт = О. В результате получаем, что оператор Рс»,и имеет два собственных числа: Л» — — 1и Лз — — О. Соответствующие им собственные векторы: Гл.3. Линейная алгебра 134 2. Аналитическое решение.
Матрипа оператора Ро,„в прямоугольном базисе З = (1, ), к) имеет вид Р= О 1 О Характеристическое уравнение: 1 — Л О бес(Р— ЛЕ) = О 1 — Л О О О о =-л(1 — л) =о, — Л откуда Лг = 1 и Лг —— Π— собственные числа оператора. Найдем собственные веаторы, соответствующие собственному числу Л1 = 1. При Л = 1 система (5) принимает внп (Р— Е)Х= О О О р = О Фундаментальная система решений: Ег = О , Ег = 1 а общее решение: х хЕ1+уЕг= р О Отсюца заключаем, что собственные векторы, соответствующие собствен- ному числу Л1 —— 1, имеют вид х~ О=х1+ру, где х и р — произвольные числа, не равные одновременно нулю. Аналогично рассматривается случай Лг — — О. Прн этом получим х(лг) = х1с, где г — произвольное число, отличное от нуля. ~> В задачах 3.129-3.133 найти собственные числа и собственные векторы операторов в Уз.
Решить эти задачи геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной с выбором какого-либо базиса в Уз (см. пример 2, геометрическое решение). После этого в задачах 3.129-3.131 провести аналитическое решение. 3.129. Ах = ах, а — фиксированное число. 3.130. Ах = (х, 1)1 — оператор проектирования на ось Ох. 3 2. Линейные операторы 135 3.131. Ах = [1, х). 3.132. А = Ще, ~р) — оператор поворота на угол ~р вокруг оси, заданной вектором е.
ЗАЗЗ. Ах = х — 2(х, е)е — оператор зеркального отраженна в плоскости с нормальньгм вектором е. В задачах 3.134-3.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами. 0 1 0 3.135. А = -4 4 0 — 2 1 2 1 -3 3 3.137. А = -2 -6 13 -1 -4 8 7 — 12 6 3.139. А = 10 -19 10 12 -24 13 2 6 -15 3.141. А = 1 1 -5 1 2 — 6 0 -1 0 3.143.
А = 1 1 -2 -1 — 1 0 3.134. А = 3.136. А = 3.138. А = 3.140. А = 3.142. А = 3.144. В пространстве Уз геометрических векторов на плоскости задан оператор поворота Щр) на угол 0 < у < 2х вокруг начала координат. Проверить (геометрически и аналитически), что при у ф О, и зтот оператор не имеет собственных чисел~ Этот пример показывает, что линейный оператор в действительном пространстве может не иметь собственных чисел (и собственных векторов). 3.145. В комплексном пространстве Ез оператор А = А(у) задан матрнцей с сов ~р — вш ~р 0 < ~р < 2х. зш ~р соз у Найти его собственные числа и собственные векторы.
Сравнить р полученные результаты с результатами задачи 3.144. 3.146*. Пусть оператор А, действующий в комплексном пространстве .С„, задан в некотором базисе матрицей с действитель- Гл. 3. Линейная алгебра 136 ными элементами. Доказать, что: а) если Л вЂ” собственное число, то Л вЂ” также собственное число; б) если Х вЂ” столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу Л, то Х вЂ” столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу Л. 3.147*. В комплексном пространстве,Сз найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного вещественной матрицей А= 1 — 4 9 3.148.
Показать, что если х — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному числу Л, то он является собственным вектором оператора р(А) = о„|А" ~+... + агА+ааЕ, соответствующим собственному числу р(Л). 3.149. Доказать, что: а) оператор А имеет обратный в том и толька в том случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел; б) если оператор А имеет обратный, то А и А 1 имеют адни и те же собственные векторы. Как связаны между собой собственные числа этих операторов? 3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произвсдевием. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (х, у).
Линейный оператор А' называется сопрлжсннын я оператпору А, если для любых векторов х, у выполняется равенство (Ах, у) = (х, А"у). Для всякого оператора А сопряженный оператор А' существует н единствен. Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу А = = (оа), то сопряженный оператор А' в том же базисе имеет матрицу А" = (о,',), где о,': = оу, (матрица А' называется сопряженной к матрице А). В частном случае евклидова пространства А' = Ат. Пример З.ЛннейныйоператорА: Ез -+ бз вбазнсеИ' = (е'„ет,ез) имеет матрицу 1 1 3 [А)„,= 0 5 -1 2 7 — 3 Известно, что ег~ = е1 + 2ет + ез, ез = е1 + ет + 2ез| ез = е1 + ег н базис З = (еы ет, ез) ортонормирован.
Найти матрицу сопряженного оператора А* в базисе И'. 32. Линейные операта ы 137 а Так как базис В' не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы воспользоваться утверждением о связи матриц операторов А к А', необходимо найти матрипу [А]е. Имеем 1 1 1 — 2 2 0 те„,в.= г 1 1, т„,„е=т-1.е,=- 1 2 0 3 -1 -1 следовательно, 2 — 3 7 2 б 6 [А]е =Те) и [А)в Те и = б -4 6 ,[А"]е = — 3 — 4 — 5 б -5 5 7 6 5 Отсюда окончательна получаем: — 36 — 37 — 15 [А']и = Т,' р, [А*]и Те,е — — 30 30 14 . [> 26 27 9 3.150.
Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному А* обладает следующими свойствами: а) (А')" = А. З Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов х и у, (Ах, у) = (х, А*у) = (А"у, х) = (у, (А*) "х) = = ((А")'х, у) = ((А*)'х, у), т.е. (Ах, у) = ((А*) "х, у). Отсюда, в силу произвольности векторов х, у, получаем А = (А*)' (показать подробнее!). ~> 6) (А + В)' = А'+ В'; в) (АВ)' = В*А*; г) (аА)* = аА', д) (А ')* = (А*) ', если А невыражден. Линейный оператор А в базисе З' = (е~, ..., е'„) имеет матрицу А. Найти матрицу сопряженнага оператора А* в том же базисе т)', если векторы е], ..., е'„заданы столбцами своих координат в некотором ортанормированном базисе В = (е|, ..., е„): 1-1'[О'з1 3.152,А= 0 5 — 1, Е, '= 2, Е~т — — 1, Ез — — 1 Гл. 3.
Линейная алгебра 3.153.А= 1 е е~, с=его'/з Е'= 1 Е'= 1 "=Э В пространстве многочленов Рз задано скалярное произведение (6) (~, д) = аоЬо + а~Ь| + азбт, где у(~) = ао + а11 + атсх, д(Ь) = 6о + 614 + Ьт1~. Найти матрицы д оператора дифференцирования 1Э = — и сопряженного оператора й П' в базисе З: 3.154. З = ( — $ — — 1, 1 — 1, — 1 + -1) . 1г 12 2' '2 2) 3.155.
В = 1 3, '2 2) 3.159. Найти сопряженный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол ех вокруг начала координат против часовой стрелки. 3.157. Пусть Оху — декартова прямоугольная система координат на плоскости и А — оператор проектирования на ось Ох параллельно прямой П ах+ Ьу = 0 (а ф 0). Найти матрицу сопряженного оператора А'. 3.158. Пусть Оху — декартова прямоугольная система координат на плоскости и А — оператор отражения точек плоскости относительно прямой (: ах+ 6у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
