341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 20
Текст из файла (страница 20)
+ Л,х, = О; в противном случае эта система называется линейно независимой. Пусть Я С С вЂ” произвольное множество векторов линейного пространства. Упорядоченная система векторов ц» = (еы..., е,) называется базисам в Я, если: а)евбЯ, 1=1,2,...,в; б) система Ж = (ем ..., е,) линейно независима; в) для любого х Е Я найдутся такие числа хы..., х„что х = ~» хаем Формула (1) называется разложением вектора х ио базису В. Коэффициенты хм ..., х, однозначно определяются вектором х н называются каардииатаами етого вектора в базисе З. Если множество Я С л. обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого раисам Ц (н обозначаемого 'галбО).
В частности, если все пространство С имеет базис, то оно называется коиечиомерным и обозначается л.„, где и = ба С вЂ” число векторов в любом базисе, называемое размвриаситью пространства. В противном случае пространство .С называется бескаиечиомериым. Пусть л'.„— произвольное я-мерное пространство, З = (ем ..., е„)— фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору х Е Е„взаимно $ 1. Линейные пространства однозначно соответствует столбец его иоординат а этом базисе: 11б х» х = х»е» +...
+ х„е„<Ф Х = х„ з=х+уе»Е=Х+Г, у =Лхсо У =ЛХ. Пусть З = (ем ..., е„) и Ж' = (е'„..., е'„) — два рааличных базиса в С„. Каждый из векторов базиса Ж' разложим по базису З: 1„ е» = 1»»е» +... + Ф„»е„сэ Е» =:, и = 1, 2, ..., и. Сп» Матрицеб перевода Ти +ж от базиса В в базису З' называется ма- трица Т Й-й столбец которой есть столбец Е' координат вевтора е» в базисе Ж. Если х — проиавольный вектор нз »".„,Х и Х' — столбцы его координат в базисах З и И' соответственно, то имеет место равенство Х'=(Т ) 'Х (2) (формула преобразования координат при преобразовании базиса). Пример 1. Найти коорлинаты геометрического вектора х = — 1+ + 2у + 1» в базисе И', состоящем из векторов е', = » + ь е~~ = 1+ 1», е~э = »+ 1».
° З Выпишем координаты векторов е~, еэ, еэ в исходном базисе Ж = = (1,,), 1»): Е,'= 1, Еэ= 1, Еэ — — О Отсюда матрица перехода Ти, в имеет вид При этом линейные операпии над векторами в координатной форме вы- глядят следующим образом: Гл. 3. Лкяейпая алгебра 116 Обращая матрицу Те е и используя формулу (2), находим Х'=(Те е) 'Х= — — 1 1 1 2 = 2 т.е. т = 2ег — еэ. ~> ! 3.13. Пусть Ч вЂ” произвольная система векторов из С.
Подсистема е1, ..., е, С 1~ называется иаксикальнай линейно независимой подсистпемой в Щ если е1, ..., е, — линейно независимая система и всякая расширенная система е1, ..., е„х, где х — произвольный вектор из ф линейно зависима. Доказать, что всякий базис в Я есть максимальная линейно независимая подсистема в ф и наоборот. 3.14. Если заданы произвольные й векторов х1, ..., хь, то из них можно построить не более Й линейно независимых комбинаций. Используя этот результат, доказать: если З и З' — два различных базиса в системе Я, то они состоят из одинакового числа векторов (т. е. имеет смысл понятие ранга системы (~).
3.15. В пространстве Уэ заданы векторы е, =1+3, еэ =1 — 3 еэ = — 1+21 — 1с. Доказать, что система З' = (е1, еэ, е!э) — базис в Уэ, и написать матрипу перехода Тл,эг, где З = (е1 = 1, еэ =,1, еэ = 1с). Найти координаты вектора х = 1 — 23+ 2)с в базисе З'. Пусть З = (1, 3, 1с) и З' = (Г, 3', 1с') — прямоугольные базисы в Уэ. В задачах 3.16-3.18 найти матрицу перехода Тщ,э! и выписать столбец координат вектора х = 1 — 21 + 1г в бааисе З'. 3.16. Базис З' получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов З.
3.17. Базис З' получен перестановкой 1! =3, 1! = 1с, 1с' =1. 3,18. Базис З' получен поворотом базиса З на угол !р вокруг орта 1. 3.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов х1 = — 1+ 23, хэ = 21 — 1+ 1с, хэ = — 41 + 53 — 1с, х4 = 31 3,)+1с. 3.20. В пространстве Кл заданы векторы е1 —— (1, 2, — 1, -2), еэ — — (2, 3, О, — 1), еэ — — (1, 2, 1, 4), е! —— (1, 3, — 1, 0). Доказать, что система З! = (е!„е!э, е!э, ел) — базис в 5г*, и написать матрицу перехода Тщ,ээ!, где З вЂ” канонический базис в К4 (см. э 3 гл.
2). Найти координаты вектора х = (7, 14, — 1, 2) в базисе З'. 3.21. Доказать, что система арифметических векторов х1 = (1, 2, О, 4), хэ = ( — 1, О, 5, 1), хэ = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида Л1х|+ Лэхэ + Лэхэ = О. Найти ранг и все базисы этой системы. 1. Линейные и ост алства 3.22, Доказать, что система матриц вида О ...
О О О ... О 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 О ... О О О ... О образует базис в пространстве М „всех матриц размера гп х х н,и, следовательно, г(1пьМ,„ „ = тяп. Чему равны координаты произвольной матрипы А =' (а; ) б М„„ „ в этом базисе? 3.23. Доказать, что система многочленов 1, 1, г", ..., 1а ~ образует базис в пространстве Р„ всех многочленов степени < и — 1 и, следовательно, йт Р„= н (этот базис называется конокпческпм). Найти координаты: а) многочлена — 31э+1 в каноническом базисе пространства Рэ., б) многочлена гэ — 21 в каноническом базисе пространства Рч.
3.24. Доказать, что система многочленов гэ+гэ+1+1, 1э+$+1, 1+ 1, 1 линейно независима. 3.25. Доказать, что система многочленов гэ+1, -г'+2г, гэ — 1 образует базис в пространстве Рэ. Выписать в этом базисе столбец координат многочлена — 21 + Ф вЂ” 1. г 3.26. Доказать, что при произвольном 1о система многочленов 1, 1 — го, (Ф вЂ” 1о)~, ..., ($ — 1о)" ' образует базис в Р„. 3.27. Найти матрицу перехода от канонического базиса 1, 1, гэ, ..., г" ~ к базису 1, 1 — 1о, (1 — Фо)э, ..., (1 — 1о)" ~ в 'Р„.
3.28. Найти координаты многочлена 1э — 1+ 2 в базисе 1, 1 — 1, 1)г 3.29. Доказать, что пространство Р всех многочленов бесконечномерно. Вывести отсюда, что пространство С~ ь) функций у($), непрерывных на отрезке (а, б], также бесконечномерно. В задачах 3.30-3.34 в произвольном пространстве Е„ векторы е~, е~э,..., е'„и х заданы своими координатами в некотором базисе З. Доказать, что система 03' = (е~, ..., е'„) — базис в х".„, и найти столбец Х' координат вектора х в этом базисе. 330 Е~~= 1 Еэ~= 1 Ез= 2 Х= Гл.
3. Линейная аагебра 118 3.31.Е1= 1, Е~= 2, Ез= -1, Х= 2 1 2 -1 Е2 — 2 2 3 О Ез = — 1 3.32. Е1 = 7 14 -1 1 3 Е4 О 2 З.ЗЗ.Е',= ., Ез —— ., Х= 3.34. Е1 = О, Е~з — — 1 ) Е~ — — 1 — 1, Х= 1 3.35. Докааать следуюшие утверждения: а) матрица перехода Тщ,щ всегда невырождена, и Ту,щ = = (тж~ж,)-1; у'гп . 11я'1 б) если Т = ~ ...
) — невырожденная матрица и 1п1 ° 1во И = (е1, ..., е„) — некоторый базис в пространстве С„, то система векторов / е, =111е1+...+1„;е„, 1= 1,2, ..., я также образует базис в .С„. 3.36. Докааать, что если З, З' и Зл — базисы в .С„, то справедливо матричное равенство тж„ж,=т „, тж В задачах 3.37, 3.38 в пооизвольном пространстве С„векторы е1, ез,..., е„и е1, е~,..., е„заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы Я3 = (е1, ..., е„) и В' = (е'„..., е'„) — базисы в .С„, и, используя результаты задач 3.35 н 3.36, написать матрицу перехода Тщ ,ж .
3.37.Е1= 2, Ез= 3, Ез= 7 З 1. Линейные пространства 119 Е1 = 1 Ег = 2 Ез = 1 1 2 3 3.38.Е1 = 1 , Ег = 1 , Ез = 2 , Е4 — 2 -3 Ег = ) -5 — 3 Е4 -4 Е! Ез = Пусть ь' и Е' — два действительных (или комплексных) линейных птоостранства. Отображение у: Ю -+ ь"' пространства ь" на пространство ь называется иэоморрзиэмом, если: а) р взаимно однозначно; б) у(лх) = лзо(х) н 1о(х + у) = 1о(х) + 1о(у) для любых х, у й ь' н для любого числа Л. Если существует изоморфизм ь" иа С, то пространства д, н С называются иэомор41ными С С'. В задачах 3.39-3.411) установить, является ли нзоморфизмом заданное отображение Уз на йз.
3.39. <р(х1+у3+ л)с) = (2х — у, д, х+ 9+ з). 3.40. у(х1+~ц+г)с) = (х+р — 1, 2л, Зу). 3.41. оо(х1+ 1ц + х)с) = (х + р, -9+ 2л, х + 2у — 2л). 3.42. Отображение йх д.я — ь И" произвольного пространства д.я на пространство Йя арифметических векторов имеет вид /а11 ... а1„'Л гг(хге1+... + х„е„) = (х1, ..., х„) ~ а„1 ...
аяя где Я) = (е1, ..., е„) — некоторый базис в пространстве д.я, а А = (а; ) — невырожденная матрица порядка гь. Доказать, что зто отображение — изоморфнзм и, следовательно, что д.я гх )йн. 3.43, Доказать, что множество всех комплексных чисел с обычным сложением и умножением на действительные числа образует линейное пространство, изоморфное пространству дч~. Написать ') Для обознзчеиия координат геометрических векторов в прямоугольном бвзисе (1, ЗЛ 1с) условимся в втой главе использовать строчные буквы л, р,' г, в отличие от прописных букв, используемых в гл.
1, тзк квк здесь прописными буквами мы будем обазнзчзть вектор-столбцы. Гл. 3. Линейная алгеб а 120 матрицу перехода от базиса З = (1, 1) к базису З' = (1+ т', — 1) в этом пространстве, и для числа — 2+ 31 написать разложение по базису З'. 2. Подпрострвнства и линейные многообразия..Подпросгярокством линейного пространства ь" называется такое подмножество С С С, которое обладает свойствами: в) х, у Е Е' ~ х + у Е С; б) х Е С ~ Лх Е С' для всякого числа Л. Если С вЂ” некоторое подпространство в с., то множество векторов С + хо — — (х Е С~х = х' + хо, х' Е С' для некоторого хо Е Г) называется лвнебнььв многообразием, полученным сдвигом подпространства Е' на вектор хо.
3.44. Докааать, что всякое подпространство .С' линейного пространства ь". также является линейным пространством (при этом Йпп ь".' ( Йт ь".). В задачах 3.45-3.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространством в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность. 3.45. Множество всех геометрических векторов из Уз. а) компланарных фиксированной плоскости; б) удовлетворяющих условию (х, а) = О, где а — фиксированный вектор; в) удовлетворяющих условию 1х~ = 1. 3.46. Множество всех векторов из И" вида: а) х = (О, хт, О, х4, хы ..., х„); б) х = (1, хт, 1, х4, ха, ° °, хв). 3.47*.
Множество всех векторов произвольного пространства ь.„, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям: а) х1=х„; б) х1+хт+...+х„=О; в) х1 — хг=1; г) аых1+... + аг„х„= О, а,„1х1+... + а „х„= 0> или, в матричной форме, АХ = О, где А — заданная матрица размера щ х и. 3.48. Множество всех матрип А порядка и, удовлетворяющих условиям: а) А~ = А (симметричные матрипы); б) бес А = О. 3.49. Множество всех функций у(1) Е С( ь) (см.
задачу 3.4), удовлетворяющих условиям: а) У'(8о) = О для некоторого Фо Е (а, 61; б) Д1о) = 1 для некоторого 1о Е (ц Я~; 3 1. Линейные пространства 121 в) 1'(1) = а„ 11" ' + ... + а11 + ао, т.е. У(г) — многочлен степени не выше и — 1. Пусть Ч' — произвольная система векторов из линейного цространства С. Линейкой оболочкой системы Ч называется множество векторов С(Ч) = (х~х = Л1х1+ ... + Л,х„х1, ..., х, Е Я). 3.50.
Доказать, что а) С(Я) — подпространство в .С; б) Й1ш С(Я) = гзпб Я, причем в качестве базиса в С(Я) можно взять любой базис системы Я. 3.51. Найти размерность линейной оболочки С(х1, хз) арифметических векторов х1 = (1, О, 2, -1), хз = (О, -1, 2, 0). Показать, что х = (1, -1, 4, — 1) Е С(х1, хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
