341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Группы 1. Полугруппы. Непустое множество Я с заданной на нем ассоциативной операцией называется аолузруппоб. Непустое подмножество Н С Я называется яодяолузруппоб, если для любых элементов а, Ь Е Н их произведение аЬ б Н. Пример 1. Выяснить, являются ли полугруппами указанные множества Я с заданными на иих операциями: а) Я = Е, операция — вычитание; б) Я вЂ” множество матриц А = йа;,() (1, 1' = 1, 2,..., а), где ан — неотрицательные целые числа, с операцией матричного умножех+у ния; в) Я = (а, Ь) — отрезок числовой прямой, операция: х * у = —. 0 а) В общем случае (а — Ь) — с ,-1 а — (Ь вЂ” с) (приведите пример), так что операция вычитания неассоциативна, значит,(Е, -) — не полугруппа.
б) Непосредственно проверяется, что произведение матриц с неотрицательными элементами также является матрицей с неотрицательными элементами. Кроме того, известно, что произведение матриц ассоциативно. Поэтому данное множество является полугруппой. в) Имеем: /1 (х * у) * х = ~-(х + у)) * г = — -х + -у + г = -х + -у + -з 1,2 ) 21,2 2 ) 4 4 2 1 1/ 1 '1 1 1 1 х * (у * х) = - (х + (у ч з)) = — ( х + -(у + а)) = -х + -у + — ж 2 2(, 2 ) 2 4 4 Таким образом, (х* у) *з ф х*(у *а).
Поэтому (Я, *) — не падут группа. ~> Пример 2. Пусть Яо = ЯО(0) = (О, 1, 2, 3, ...). Выяснить, являются ли указанные множества подполугруппами полугруппы (Ио, +): а) А = (О, Ц; б) В = (О, 2, 4, 6, ...); в) С = Яо ~(0, 1, 2, 5). а а) Так как 1 6 А, но 1+ 1 т А, то А не является подполугруппой. 6) Элементы иа В имеют вид 2п, где н 6 1Че. Так как 2нт + 2н = = 2(т + н) 6 В при т, н Е Ио, то Н вЂ” подполугруппа. в) Очевидно, С = (3, 4) 0 (н ) и ) 6). Докажем, что а + Ь е С при а,ЬЕС. Имеем: 3+3=6ЕС, 3+4=7ЕС, 4+4=86 С,а если хотя бы одно из чисел а, Ь больше или равно 6, то также а+ Ь 6 С.
Следовательно, С вЂ” подполугруппа. г 177 2. уппы Пример 3. Доказать, что множество Я = (а, Ь] (а, Ь с П) с операцией х Л у = лип (х, у) является полугруцпой, и найти все ее подполу- группы. <~ Проверим ассоциативность операции. Пусть х, у, г е Я. Тогда (х Л у) Л х = ппп ((х Л у), х) = пнп (ппп (х, у), г) = пип (х, у, х) х Л(у Лх) = пйп (х, (уЛ х)) = ппп(х,пйп(у, х)) = ппп(х, у, г).
Таким образом, (х Л у) Л г = х Л (у Л х). Следовательно, (Я, Л)— полугруппа. Докажем теперь, что любое непустое подмножество Т С 5 является подполугруппой. Действительно, пусть х, у Е Т. Если х ( у, тох Л у = = х с Т, а если х > у, то х Лу = у Е Т. Поэтому х Лу б Т для любых х, у с Т. Значит, Т вЂ” подполугруппа. ~ь В задачах 4.81 — 4.83 выяснить, является ли полугруппой указанное множество. 4.81. Множество 1Ч с операцией а ь Ь = НОД(а, Ь).
4.82. Множество В = [а, Ь) с операцией х Ч у = шах(х, у). /а Ь\ 4.83. Множество всех матриц вида ~ „~, где а, Ь, с, Ы Е Н и ~с а, П > О. В задачах 4.84 и 4.85 выяснить, являются ли подполугруппами полугруппы (Ж, +) указанные множества. 4.84. Множество (5, 8, 10) 0 (и ! и > 12). 4.85. Множество (11, 14) 0 (22, 24, 26, ...).
4.88. В полугруппе В = (1, 2, 3, 6) с операцией а*Ь = НОК(а, Ь) найти все подполугруппы, содержащие более двух элементов. 4.87. Пусть Х вЂ” произвольное множество, Вх — множество всех бинарных отношений на Х с операцией умножения отношений. Доказать, что „— полугруппа. Найти (левые и правые) единицы и нули полугруппы В». 4.88. Пусть Тх — множество всех отображений Х вЂ” + Х с операцией последовательного выполнения. Доказать, что ҄— полу- группа, найти ее единицы и нули.
Является ли Т„подполугруппой полугруппы Вх? 4.89. Сколько всего существует неизоморфных полугрупп из двух элементов (определение изоморфизма множеств с операциями см. в 31)? 4.90. Доказать, что пересечение любого множества подполу- групп, если оно непусто, является подполугруппой. 4.91*. Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемиогаентя (т.е. такой элемент е, что ез = е). Гл.
4. Элементы общей алгебры 2. Группы. Множество С с операцией называется грунпоб, если выполняются условия: (Г1) (а6)с = а(6с) для всех а, 6, с с С; (Г2) существует нейтральный (еднничный) элемент е Е С такой, что ае = еа = а для всех а б С; (ГЗ) для любого а Е С существует 6 б С такое, что аЬ = Ьа = е. Элемент 6 называется обратным к а и обозначается а '. Пусть а — элемент группы С. Полагаем ас = е и а "= (а") ' при н Е 1М. Число элементов группы называется ее иорлдком и обозначается )С). Если С вЂ” бесконечная группа, то пишем (С( = со. Если операция группы является коммутатквкой, то группа называется номмутативной или вбелевой В задачах 4.92-4.95 проверить, что следующие множества с заданной на них операцией, являются группами.
4.92. Множество И (.'Е, Щ С) с операцией сложения. Оно называется аддитивноб группой действительных (целых, рациональных, комплексных) чисел. 4.93. Множество Б„с операцией сложения по модулю и (группа вычетов). 4.94. Множество комплексных чисел У„, являющихся корнями н-й степени из единицы, с обычной операцией умножения комплексных чисел (группа всех корней н-й степени иэ единицы). 4.99. Множество всех движений плоскости, переводящих правильный н-угольник в себя, относительно операции композиции.
Эту группу обозначают Р„(группа диэдра). 4.99. Доказать, что в любой группе С: а) единичный элемент единственный; б) для любого а Е С обратный элемент а ' единственный; в) для любых элементов а, 6 Е С справедливо равенство (аЬ) 1 = Ь ~а ~; г) для любого а б С и любого и Е Р( выполняется равенство (а-~)н (ан)-~ 4.97'. Доказать, что если С вЂ” группа и аэ = е для любого а е С, то С коммутативна. 4.98. Доказать, что во всякой группе каждое из уравнений ах = = Ь, уа = Ь имеет единственное решение.
Написать выражения х и у через а и Ь. В задачах 4.99-4.101 а, 6, с — известные элементы группы, х — неизвестный элемент. Решить уравнения: 4.99. ах6 = с. 4.100. х 'а ~ = Ь. 4.101. ах 'Ь = с. В задачах 4.102 и 4.103 доказать, что полугруппа Б является группой в каждом из следующих случаев. 4.102". Уравнения ах = 6, уа = 6 имеют решения для любых а, Ь Е Я. $2. Г)зуппы 179 4.103.
Уравнение ахб = с имеет решение для любых а, Ь, с Е л. 4.104. Пусть С вЂ” группа. Введем на С новую операцию, полагая а *Ь = Ьа. Доказать, что (С, «) — группа. 4.105. Проверить, что множество пар (а, 6), где а, Ь Е К и а ф ~ О, является группой, если операция задана следующим образом: а) (а, 6) * (а', Ь') = (аа', аЬ'+ Ь); б) (а, Ь) «(а', Ь') = (аа', аЬ'+ Ьа); в) (а, 6) «(а', 6') = (аа', Ь + Ь'). 4.100.
Пусть С вЂ” множество всех троек (а, Ь, с), где а, Ь, с Е К, а Ф О, с ф О. Доказать, что операция (а, Ь, с) «(а', Ь', с') = (аа', а6'+ Ьс, сс') превращает С в группу. 4.107. Пусть Х вЂ” произвольное множество, Р(Х) — множество всех его подмножеств. Доказать, что (Р(Х), Л) — группа, где АЬВ = (А~В) 0 (В~А).
4.108*. Пусть С = (-с, с) — интервал числовой прямой. Доа+Ь казать, что (С, «) — группа, если а «Ь = '). а+ аЬ/с~ 4.109. Показать, что множество всех дробно-линейных функах+6 пий у(к) = —, где а, Ь, с, 4 б Ж и аИ-Ьс ~ О, образует группу от+ А' относительно операции суперпозипии. Является ли эта группа коммутативной? 4.110. На множестве Н = (1, -1, е, -е, у, -у, й, -й) (элементы которого следует рассматривать как формальные символы) вводится операция, при которой элементы 1 и -1 действуют на остальные обычным образом и, кроме того, е'" = уг = йг = -1, еу = й, уе = — й, йе = у, дй = -~, уй = е, йу' = — 1.
Доказать, что Н вЂ” группа (она называется группой кватгрнионов). Построить таблицу Кали умножения этой группы. Прямым (илн декартовым) произведением групп Ан..., А„называется множество А1 х ... х А„= ((аы ..., а„) ~ а1 й Аы..., а„й А„) с операцией (аы ..., а„)(6ы ..., 6„) = (а~Ьы..., а„6„). Если операция в каждой нз групп А; (1 = 1, 2, ..., я) — сложение, то говорят о прямой сумме групп н пишут А1 т... т А„. 4.111. Доказать, что если Ам Аэ, ..., А„— группы, то А1 х х Аг х...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
