341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 33
Текст из файла (страница 33)
..., я) последовательно отображаются друг в друга, т.е. а1 -> аэ -+ -+ ... -+ аь -Ф ам а остальные символы при этом остаются на своих местах, называется цкклом (длины Й) и коротко ааписывается следующим образом: (а1сгэ...аь) (запись никла можно начинать с любого оз (1 = = 1, 2, ..., л)). Всякая подстановка о может быть аапнсана в виде произведения непересекающихся циклов, т.е. о = (ам ..., аь)(Д, ..., )Л)... ...(им..., ыч), где множества (ам ..., аь), (рм...,4),..., (ым..., ыч) попарно не пересекаются. Цикл длины 2 называется траксяоэицией.
Всякую подстановку можно представить в виде произведения транспозиций. Если подстановка записана в виде проиаведения непересекающихся циклов, то для представления ее в виде произведения транспознций каждый из циклов нужно разложить в проиаведение траиспозиций (например, (а~аз..юв) — (а~ах)(аьоь 1)(аь эаь э)...(аэаэ)(аэа,)). Такое разложение не единственно. Пример 7.
Представить подстановку (1 2 3 4 5 6 7 8~ (,6 5 8 1 2 4 7 3,) в виде произведения непересекающихся циклов и в виде произведения транспозиций. а Подстановка о действует на элементы множества 11, 2, ..., 8) следующимобразом: 1+6-~4-+1, 2 — «5-+2, 3-+8-+3, 7-+7, поэтому в виде произведения пиклов подстановка представляется следующим образом: т = (164)(25)(38), а в виде произведения транспозиций: т = (14)(46)(25)(38). >. Пример 8.
Пусть а = (163)(25)(48), ф = (142)(85). Вычислить аб. а Рассмотрим, как действует подстановка аб = (163)(25)(48) (142)(85) на элементы (1, 2, ..., 8). Для этого, взяв элемент а 6 (1, 2, ..., 8), найдем его образ а под действием о, а далее для а найдем его образ а д ад а„д под действием Д (а — + а„— ~ а,„д), т.е. а — + ачд. Начнем с1: 1+6 — +6, 6 — +3 — +3, 3 — +1 — э4, 4 — +8 — >5, 5 — + 2 — + 1. Получили, что подстановка а)1 содержит дикл (1634 5). а Ф Далее получаем, что подстановка аД содержит дикл (28), так как 2 + — + 5 — э 8, 8 — + 4 — э 2. И,наконец 7 — + 7 †> 7.
Следовательно, а д а л а д аф = (163)(25)(48) (142)(85) = (16345)(28). ~> 6 2. ГРуппы 185 Пример 9. Решить уравнение: (135)(26) х (23675) = (12). а Подстановки а = (135)(26), т, Д = (23675) и у = (12) являются элементами группы Я„(и ) 7). Решение уравнения ахи = 7 в группе (см. задачу 4.99) находится по формуле х = а 'ф '. Следовательно, т = = ((135)(26)) .(12).(23675) 1 = (153) (26) (12) (57632) = (176)(235).
г Пример 10. Найти порядок каждого из элементов группы Яэ. з Псе 120 элементов группы Яэ имеют один из следующих видов: е (тождественная подстановка), (аЬ) (цикл длины 2), (аЬс) (цикл длины 3), (оЬсс~) (цикл длины 4), (аЬо(г") (цнкл длины 5), а также (аЬ)(сд) н (аЬс)(сз), где а, Ь, с, 4, / 6 (1, 2, 3, 4, 5). Порядок элемента группы подстановок, представленного в виде произведения непересекающихся циклов, равен наименьшему общему кратному длин этих циклов (докажите самостоятельно!).
Следовательно, порядки элементов группы Яэ равны: 1, 2, 3, 4, 5, 2, 6. с 4.157. Найти обратные подстановки к заданным: 5 4 1 2 3 б ' ) 2 4 3 5 6 1 4.158. Пусть 3 5 1 4 2 ' ~ 1 5 4 2 3 Найти: а) АЗ; б) Дсг; в) а~За; г) сг 113; д) сгэ; е) а т11з; ж) 13 'та. 4.159. Представить следующие подстановки в виде произведения непересекающихся циклов: /1 2 3 4 5 6 71 /1 2 3 4 5 6 71 15 4 1 7 3 6 2,~' ) \3 1 б 7 5 2 4)' /'1 2 3 4 5 б 7( '14 3 6 7 1 5 2/' 4.160. Записать в каноническом виде следующие подстановки, заданные как произведение циклов: а) (135)(2467); б) (147)(2356); в) (123)(46).
4.161. Найти произведение подстановок, записанных в виде произведения пиклов: а) (135)(2467) (147)(2356); б) (13)(57)(246) (135)(24)(67). 4.162. Найти порядок каждой из следующих подстановок, представив ее в виде произведения непересекающихся циклов: /1 2 3 4 5 6'1 /1 2 3 4 5 6 7 81 12 1 3 5 4 бу' ) ~8 6 1 3 2 5 7 4/' /1 2 3 4 5 6 7~1 ~3 2 1 5 4 6 7( ' 186 Гл. 4. Элементы общей алгебры 4.163.
Представить следующие подстановки в виде произведения транспозипий: 1'1 2 3 4 5 б 71 (1 2 3 4 5 б 7 81 ) 15 б 1 4 3 7 2) ' ) (~8 б 5 4 3 1 2 7) ' 4.164. Выписать все элементы группы Яз, выразив их через элементы — 231 Ь= 213 Найти порядок каждого из элементов Яз. Составить таблицу Кали умножения элементов этой группы. 4.165. Выяснить, какие порядки могут быть у элементов группы Я4, и сколько в Я4 имеется элементов заданного порядка.
4.166. Найти порядок указанного элемента в группе Яи: /1 2 3 4 5~ (1 2 3 4 5~ а) ~ 4)'и 5' б) 15 2 1 3 4)'п /1 2 3 4 5 61 ~2 3 4 5 1 6) ' 4.167. Как меняется четкость (определение см. зл. 2, 8 1, и. 2) подстановки при умножении ее на транспозицию? 4.166. Доказать, что четные подстановки образуют подгруппу А„группы' Я„. Чему равен порядок этой группы? Выписать все элементы группы А4. Гомоморфизм, отображающий группу на ее образ взаимно однозначно, называется изоморфным вложением. 4.169'.
Доказать, что каждая конечная группа изоморфно вкладывается в группу подстановок. В задачах 4.171 — 4.173 изамарфно вложить данную группу в указанную группу подстановок. 4,170. (Жз, +) в Яз. 4.171. (Кт х Жт, +) в Я4. 4.172. Группу кватернионов в Яэ. 4.173'. Доказать, что группа подстановок Я„ изоморфно вкладывается в группу невырожденных п х п-матриц. Вывести отсюда, что всякая группа порядка и вкладывается в группу невырожденных и х п-матриц. Движением плоскости называется отображение ~р: К~ -~ й~, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками, т.е. М'Ю' = МЖ для любых М, Ж б В~, где М' = р(М), Ж' = ~р(М).
Если из: (х, у) + -в (х', р'), то движение может быть записано в виде З 2. У)купцы 187 /а Ь| где А = ~ ). Матрица А ортогональная(т.е. Ат = А '). Движение 1с Ы) р называется движением 1-го рода, если йеСА = 1, и движением 2-го рода, если оеС А = — 1 (других значений оет А принимать не может). Примерами движений 1-го рода служат параллельный перенос: с х' = х+р, у =у+Я и поворота вокруг начала координат на угол ас х' = хсоза — уз)па, у' = хз1па+ усова.
Поворот на угол а вокруг точки (хо, уо) задается формулами с х' = (х — хо)сова — (у — уо)э~па+хо, у' = (х — хо) э~па+ (у — ув) сова+ уо. К движениям 1-го рода относится, в частности, симметрия относительно прямой. Для движений плоскости имеют место утверждения: 1) всякое движение 1-го рода является произведением параллельного переноса и поворота вокруг наперед заданной точки; 2) всякое движение 1-го рода является либо параллельным переносом, либо поворотом вокруг некоторой точки (глеорема Шала); 3) всякое движение 1-го рода является произведением двух симметрий (относительно прямых), а движение 2-го рода — произведением трех симметрий; 4) всякое движение 2-го рода может быть представлено в виде произведения симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой; 5) для любых точек А, В, А', В' Е П~ таких, что АВ = А'В', существуют ровно два движения плоскости, переводящие А в А', а В в В', одно из них 1-го, а другое 2-го рода.
Аналогичным образом определяются движения трехмерного (ул П~ -~ -+ П ) и я-мерного (у: П" -в В.") пространства. Пусть Ф вЂ” фигура на плоскости или в пространстве. Группой движений (или группой самосовмещений) С(Ф) фигуры Ф называется множество всех движений у, под действием которых фигура Ф взаимно однозначно отображается на себя, т.е.
~а(Ф) = Ф. В задачах 4.175 — 4.178 описать группу движений С(Ф) фигуры Ф, представить группу С(Ф) подстановками. 4.174". Ф вЂ” правильный треугольник. 4.175. Ф вЂ” квадрат. 4.176. Ф вЂ” ромб, не являющийся квадратом. 188 Гл. 4. Элементы общей алгебры 4.177. Ф вЂ” правильный и-угольник (группа С(Ф) в атом случае называется группой диэдра и обозначается 11н). В задачах 4.179 и 4.180 найти порядок группы движений фигуры.
4.178. Фигура — куб. 4.179. Фигура — правильный тетраэдр. 4.180. Доказать, что множество всех самосовмешений куба, оставляющих неподвижной некоторую фиксированную вершину куба, есть группа. Описать зту группу. 4.181". Пусть С вЂ” группа движений плоскости. Какие элементы группы С имеют конечный порядок? 4. Фактор-группа. Пусть С вЂ” группа, Н вЂ” ее подгруппа. Для а Е С определяются На = (Аа) А Е Н) — правый смежный класс и аН = = (аЬ~ Й Е Н) — левый смежный класс группы С по подгруппе Н. Если С представлена в виде объединения попарно непересекающихся своих правых классов по Н: С=09 Н, иеУ то такое разбиение называется правым разложением группы С пв подгруппе Н.
Множество (д ~ а Е У) называется мнвжесгпввм предсгаавигпелей смежных классов по Н. Аналогично определяется левое разложение группы С пв подгруппе Н. Число смежных классов в каждом на разложений С по Н называется индексом подгруппы Н в группе С. Пример 11. Построить разложение группы Яг по подгруппе Н = = (е, (12)). З Яг = (е,а, аг, Р, а~3,аз~3), где а = (123), д = (12). Нетрудно проверить, что оа = аг4.
Построим правое и левое разложения группы Яг по подгруппе Н. Правые смежные классы группы С: Не = Н, На = (е, ~3) а = = (а, Ра) = (а, аеЯ, Наг = (е, Я аг = (аг, аР); правое разложение: С = НеОНа О Наг. Левые смежные классы: еН = Н, аН =а (е, Я = (а, ай?), агН = = аз [е, 17) = (аг, агЯ. Левое разложение: С = еНОаНОазН. Нетрудно заметить, что На ф аН, поэтому правое и левое разложения не совпадают. ~> 4.182". Доказать, что любые два смежных класса (правых или левых) группы С по подгруппе Н либо не пересекаются, либо совпадают. 4.183" (Теорема А'агранжа).
Доказать, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы. 4.184. Доказать, что если С вЂ” конечная группа, то ~С~ делится на о(а) для каждого 'а Е С. з 2. Группы 189 В задачах 4.185-4.187 найти все подгруппы указанных групп. 4185 Ж1о 4186. ,'Ет х Жт. 4.187. Х„. В задачах 4.188-4.190 определить число подгрупп указанной группы. 4.188. Жт х Ж4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
