341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 34
Текст из файла (страница 34)
4.189. Ег х Ер (р — простое). 4.190. Ж„(р — простое). 4.191. Сволько подгрупп из четырех элементов имеет группа Ет х ... х Ет? и раз 4.192. Доказать, что всякая группа порядка 6 изоморфна либо ,'Ее, либо Яз. 4.193". Доказать, что если С вЂ” группа и (С( = р — простое число, то С вЂ” циклическая группа (т.е. С Й Жр). 4.194'. Доказать, что если С вЂ” группа и (С( = ре (р — простое), то С М Хрв или С = .'Ер х Жр 4.195.
Доказать, что подмножество К группы С является смежным классом (правым или левым) по некоторой подгруппе в том и только том случае, если для любых а, Ь, с Е К аЬ 'с Е К. 4.196. Доказать, что пересечение двух левых смежных классов по подгруппам Н1 и Нт, если оно непусто, является смежным классом по подгруппе Нг П Нг. 4.197"'. Разложить группу Е по подгруппе гьЕ. 4.198.
Найти пересечение смежных классов в группе Е: а) (2+ 5,'Е) П (3+ 8Х); б) (5+ 6Е) П (7+ 9,'Е). 4.199. Пусть С = Яз, Н = 1е, (12)), Н' = 1е, (123), (132)). Построить разложения группы С (правое и левое) по подгруппам Н и Н'. 4.200'. Пусть А,  — конечные подгруппы группы С, АВ = = (аЬ ( а Е А, Ь Е В) (А — не обязательно подгруппа). Доказать, что )АВ! = (А( (В) (А г1 В~ 4.201. Доказать, что если Н вЂ” подгруппа группы С и д е С, то д 'Нд — тоже подгруппа.
4.202. Построить разложения группы,'Е1о в смежные классы по каждой из ее подгрупп. 4.203. Построить левое разложение группы А4 по подгруппе 1е, (123), (132)). Пусть Н и К вЂ” подгруппы группы С и д 6 С. Двойным смежным жлассом НдК называется множество (Ьдй ( Ь Е Н, 9 6 К). Гл. 4. Элементы общей злгеб ы 190 4.204'. Доказать, что группа С является непересекающимся объединением двойных смежных классов по подгруппам Н и К э). 4.205. В условиях предыдущей задачи доказать, что количество элементов двойного смежного класса может быть вычислено по формуле ~НдК~ = !Н! !К! д- НдГК' 4.200'. В группе Нз выяснить, какие из следующих множеств являются смежными классами и по каким подгруппам: а) ((234), (1234)); б) ((12), (123), (1234)); в) ((12), (152), (34)1; г) (е, (1234), (13)(24), (1432)1; д) ((12), (13), (14), (15)).
Подгруппа Н группы С называется нормальной (обозначается: Н з С), если аН = На для любого а б С. Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы С, то множество всех смежных классов аЙ с операцией аН ЬЙ = аЬН является группой. Она называется фактор-зруппоб группы С по подгруппе Н и обозначаетсяС/Н. Пусть ул С -э С' — гомоморфизм групп. Тогда 1сег у = (д б С ~ д(д) = е) — ядро гомоморфизма у, а 1т у = ч»(С) — образ этого гомоморфизма. Теорема о б и з о м о р ф н з м е. Если ум С -+ С' — гам ам орфизм групп, то 1сегу — нормальное подеруипа группы С и имеет место изоморфизм С/ йег ф 1т ф.
Пример 12. Доказать, что Е/иŠ— Е„. э Покажем, что Е/иЕ ж Е„, двумя способами. 1-6 способ (непосредственная проверка). Элементы фактор-группы Е/иŠ— смежные классы вида а + пЕ. Следовательно, Е/иЕ = (О + + пЕ, 1+ пЕ, ..., (п — 1) + пЕ). Если а+ пЕ и Ь+ пŠ— два смежных класса, то (а+ пЕ) + (Ь+ иЕ) = (а + 6) + пЕ, причем при а + Ь > п выражение а+ Ь можно заменить на а+ 6 — и.
Таким образом, при сложении смежных классов а + пЕ и 6+ пЕ их представители а и Ь складываются по модулю п. Следовательно, отображение Ь -> /с+ пЕ является нзоморфнзмом групп Е и Е/пЕ. 2-4 способ (примененне теоремы об изоморфизме). Рассмотрим отображение ун Š— » Е„, которое каждому Ь б Е ставит в соответствие его остаток от деления на п (~р(к) = 6 тоби). Нетрудно проверить, что это отображение является гомоморфизмом. Ядром этого гомоморфвзма является подгруппа пЕ. Из теоремы об изоморфизме следует, что Е/пЕж Е„. ~» Пример 13. Пусть С вЂ” группа невырожденных и х п-матриц с действительными элементами, а Н вЂ” множество всех матриц с опре- ") В отличке от обычных сменных классов (враэых в левых) двойные смежные классы во одной паре подгрупп могут содержать раалнчное количество элементов.
2. Г ппы 191 делителем, равным 1. Доказать, что Н вЂ” нормальная подгруппа, и выяснить, что иэ себя представляет фактор-группа С/Н. э Рассмотрим отображение д: С -+ К~(0) такое, что у(А) = бегА (определитель матрицы А). Так как бес(АВ) = бегА бесВ, то у— гомоморфяэм. Ядром этого гомоморфизма как раз служит подгруппа Н. Значит, по теореме об изоморфизме Н < С и С/Н = К'. ~> 4.207. Доказать, что произведение Н1 Нэ двух нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
4.208. Доказать, что подгруппа Н группы С является нормальной тогда и только тогда, когда Чх Е С х ~Нх С Н. В задачах 4.209-4.212 выяснить, какие подгруппы являются нормальными в указанных группах. 4.209. Вз. 4.210. В4. 4.211. Группа кватернионов. 4.212. Группа движений квадрата. 4.213'. Доказать, что пересечение любой совокупности нормальных подгрупп является нормальной подгруппой. 4.214~.
Доказать, что в группе движений плоскости параллельные переносы, а также вращения вокруг фиксированной точки составляют подгруппы, первая из которых нормальна, а вторая нет. 4.215'. На примере группы движений квадрата (см. задачу 4.212), показать, что из соотношений А з В, В з С не следует А э С. 4.216'. Доказать, что если А и  — подгруппы группы С и А а С, то произведение АВ является подгруппой, причем в случае А, В а С имеет место также АВ а С.
4.217. В группе кватернионов найти: а) все нормальные подгруппы; б) фактор-группы по всем ее нормальным подгруппам. 4,218. Пусть С вЂ” группа движений плоскости, С1 — подгруппа параллельных переносов. Описать фактор-группу С/С1. 4.219. Пусть я — натуральное число, д — его делитель. Описать фактор-группу Еп/НК„. 4.220'. Пусть Т обозначает группу комплексных чисел, по модулю равных 1.
Доказать, что К/.'Е М Т (И и Ж рассматриваются как группы по сложению). 4.221'. Пусть А,  — подгруппы группы С и А з С. Доказать, что АПВ а В и АВ/А = В/(АПВ). 4.222*. Пусть А; 0 С, (1 = 1, 2, ..., п). Доказать, что А1 х... ... х А„а С1 х ... х Сп и (С1 х ... х С )/(А1 х ... х А ) М = (С,/А1) х ... х (Сп/Ап). Пусть С вЂ” группа, а и Ь вЂ” ее элементы. Назовем а и Ь сопряженными, если Ь = д 'ад для некоторого д Е С. Подгруппы Н и Н' назовем сопряженными, если Н = д 'Нд для некоторого д Е С. 192 Гл.
4. Элементы общей алгебры 4.223. Доказать, что отношение сопряженности для элементов группы является отношением эквивалентности. 4.224. Доказать, что отношение сопряженности подгрупп данной группы является также отношением эквивалентности (на множестве всех подгрупп этой группы). 4.225*. Какие элементы в группе Я„сопряжены друг с другом? 5. Абелевы группы. Группа А называется абелевой (или коммутпативной), если а6 = 6а для всех а, Ь б А.
Для абелевых групп чаще используется аддитивнал запись, т. е. операция обозначается символом «+«. Элемент а абелевой группы А называется периодическим, если па = а +... + а = у для некоторого п б (). и рее Множество А ® В = ((а, Ь) (а и А, Ь и В) с операцией (а, Ь) + + (а', Ь') = (а+а', Ь+Ь') называется (внещией) прямой суммой абелевых групп А и В. Аналогично Аг ет...
Ю А„= ((аы ..., а„) ~ аг б АО ..., а„б А„) ). Говорят, что подгруппы Вм ..., В„абелевой группы А образуют прямую сумму, если каждый элемент х, й Вг + ... + В„однозначно представляется в виде х = Ьг +... + Ь„, где Ьт е Вг, ..., 6„б В„. Это внутренняя прямая сумма. Так же, как и внешняя, внутренняя прямая сумма обозначается Вт (г(... ет В„. Если р — простое число, то примарной компонентой А(р) абелевой группы А называется множество всех элементов, порядок которых является степенью числа р: А(р) = (х е А ) р х = 0 при некотором тп). Теорема 1.
Всякая конечнал абелева группа является прямой суммой своих примарных компонента, т.е. А = А(рг) бт... б«А(рь), где (А( = р,' ... р~" . Примарнал циклическая подгруппа — это циклическая группа порядка р", где р — простое число, т.е. о(а) = р". Теорема 2. Пустяь А — конечная абелева группа, число р— простое, являющееся делителем ~А~. Тогда А(р) = Аг ч(... Ю А„где А.
— примаркые циклические, т. г. А ~ Е ьт. Теорема 3. Всякая конечиал абелева группаА (~А)= р,' ... р„") являетлся прямой суммой своих примарных циклических подгрупп: А=А„Е...ЕА,ЕА,Е ..Е (,Е...ЕА,«.. «А„„, (("(((( где А;. м Е е(, причем зто разложение единственно с точностью до изоморфизма и перестлановки слагаемых. Пример 14. Описать все (с точностью до изоморфизма) абелевы группы порядка 20. а Так как 20 = 2з 5, то в соответствии с теоремами 1-3 всякая абелева группа порядка 20 изоморфна либо ЕА Ю Еь, либо Ез й« Ез Ю Еь.
Эти «) Прямое произьепение абепевых групп изоморфно их прямой сумме. 2. уппы Г93 группы между собой некзоморфны, так как во второй из них для любого а выполняется условие 10а = О, а в первой это не так. Заметим, что Егэ — Ег Ю Еэ. с Пример 15. Найти все гомоморфнзмы группы Егг в Егэ. ° э Пусть у: Егг -~ Егэ Если а б Е)г~ то Ь = гг(а) ч Ем. Так как 12а = О, то 12Ь = О.
Кроме того, поскольку Ь Е Егэ, то 255 = О. Имеем < 12Ь = О, 25Ь = О. Но НОД(12, 25) = 1, поэтому 12х + 25р = 1 для некоторых з, у Е Е. Отсюда получаем Ь = (12х + 25у)Ь = 12Ьх + 25Ьр = О + 0 = О. Итак, есть только один гомоморфкам — нулевой. г> 4.226. Пусть А — абелева группа, Вы Вг — ее подгруппы.
Доказать, что сумма Вг + Вг прямая тогда и только тогда, когда В,ПВг=О. 4.227. Пусть А — абелева группа, Вм ..., „— ее подгруппы. Доказать, что для того, чтобы сумма Вг +... + В„была прямая, необходимо и достаточно, чтобы для любого г' = 1, 2, ..., гг выпол- нялось условие В, П (Вг +... + В; г + Вг ы +... + В„) = О. 4.228. Доказать, что А(р) ф 0 тогда и только тогда, когда <А< делится на р (р — простое). 4.228. Найти все примарные компоненты группы А: а)** А = Ег4', б) А = Езо' в) А = Егог. 4.230. Определить количество элементов: а)** порядка 10 в группе Еэ йг Еэ Э Еэ, б) порядка 18 в группе Ег чг Е4Ю Ег ЭЕэ. 4.231. Выписать все элементы порядка 6 группы Ег Ю Е4 чг Еэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
