341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4.232. Найти все гомоморфизмы: а) .группы Я в группу Е; б) группы Е„, в группу Е„. 4.233. Описать все (с точностью до изоморфизма) абелевы группы указанных порядков: а)* 36; б) 200; в) 96. 4.234. Доказать, что Е бг Е„и Е „, если НОД(гп, и) = 1. 4.235'. Доказать, что множество всех гомоморфизмов ~р: А-+ В (А,  — абелевы группы) является абелевой группой относительно операпии (~р + гр) (а) = ~р(а) + гр(а). Группу всех гомоморфизмов А -+ В с указанной операдней (см. за- дачу 4.235) обозначают Ною (А, В).
4.236. Что собой представляют группы: а) Нопг (Егэ, Его)~ б) Нот (Е, Е); в) Нопг (Е, А), где А — абелева группа; г) Нога(Ею, Е„)? 194 Гл. 4. Элементы общей алгебры 4.237. Доказать, что группа Нот(Е х Е, Е х Е) изоморфна группе матрип размера 2 х 2 над Е. 4.238. Пусть Е* — множество всех чисел из (1, 2, ...,и — 1), взаимно простых с п, относительно операпии умножения по мо- дулю и.
а) Докааать, что Е„' — группа. б) Построить таблицы Кали групп Е1о, Еа. в) Чему изоморфны группы Е1о и Езу 4.239. Определить количество элементов указанного порядка в заданной группе: а) порядка р в группе Е .; ь б) порядка р в группе Ерэ Ю Ер, в) поРЯдка Рэ в гРУппе Ерэ Ю Ер.
33. Нопъпа и поля 1. Кольца. Пусть  — множество, на котором заданы две бинарные операции + н, условно называемые сложением н умножением. Множество В называется кольцом, если выполнены следующие условия (аксиомы кольца): (К1) э'а, Ь, с б В (а+Ь)+с = а+(Ь+с) — ассоциативность сложения; (К2) ЭО е В Уа б В а+0 = а — существование нулевого элемента; (КЗ) Ча б В 36 б В а+ Ь = 0 — существование противоположного элемента; элемент Ь называется противонолозкным к а и обозначается — а; (К4) э'а, Ь б В а+ 6 = Ь+а — коммутативность сложения; (Кб) э'а, Ь, с б В (а + Ь)с = ас+ Ьс, с(а + 6) = со + сЬ вЂ” дистрнбутивность (левоя н правая).
Группа (В, +) называется аддитивной группой кольца В. Кольцо В называется: — коммутативным, если а6 = Ьа для всех а, Ь е В; — ассоциативнььи, если (аЬ)с = а(Ьс) для всех а, Ь, с б В; — кольцом с единицей, если в В есть единичный элемент, т.е. такой элемент 1, что для всех а б В а 1 = 1 а = а. Прямым (или декартовын) произведением В1х Вэ х ... хВ„ колец Вм Вэ,..., В„называется множество строчек (аы аэ, ..., а„) с иокомнвнентным сложением н умножением: (а1, а21 . ° ° 1 ап) + (а11 аэ1 ° ° ° а~) = (а1+ а1 аг+ аз ° ° ° аи + а~) (ам аэ, ..., аи) (аы аз~ ..., аи) — (а1а1 аэа2, ..., аиав).
Иногда вольно В~ х Вэ х... х В„называют прямой суммой колец Вм Вэ,..., В„и обозначают В1 Е Вэ ®... Е В„. э В задачах 4.240-4.242 проверить, что указанные множества являются кольцами. 4.240. Множество пелых чисел Е с обычными операциями сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом целых чисел. 53. Кольца л поля 4.241. Произвольная абелева группа А с умножением а 6 = О для всех а, 6 Е А. Это кольна называется кольцом с нулевым умяожекцем. 4.242. Доказать, что множество Ж„с операциями сложения и умножения по модулю и является кольцом. Это кольцо называется кольцом вычетов.
В задачах 4.243 — 4.252 выяснить, являются ли кольцами следующие множества. 4.243. Множество 1Ч натуральных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 4.244. Множество чисел вида — „, где т Е л,, и б г1, с обычными операциями сложения и умножения. 4.245. Множество Т„верхних треугольных матриц, т.е. матриц вида и а1з ... а|„ О азз ... аз„ О О ... а„„ где а,~ Е Й, с операциями матричного сложения и умножения. 4.248*.
Множество всех тригонометрических многочленов вида аз+ а1 з1пх+ аз зш2х+... + а„зших, где и Е М, а, Е К (1 = О, 1, ..., и) с операциями сложения и умножения функпий. 4.241. Множество всех тригонометрических многочленов вида Ьо+ Ь1 созх+ 6|соз2х+...
+ Ь„сових, где и Е 1Ч, 6; Е К (1 = О, 1, ..., и), с операциями сложения и умножения функпий. 4.248'. Множество Р(Х) всех подмножеств множества Х, если сложением считать объединение О, а умножением — пересечение П. 4.249. Множество всех симметрических и х и-матрип с действительными или комплексными козффициентами (т.е. таких матриц А, что А1 = А) относительно обычных матричных операций.
4.250. Множество Р(Х) всех подмножеств множества Х, если умножением считать пересечение й, а сложением — симметрическую разность Ь (напомним, что аЬВ = (А1В) 0 (В~А)). 4.251. Множество С[а, Ь] всех действительных функций, непрерывных на отрезке (а, 6] (с обычными операциями сложения и умножения функций). 190 Гл. 4. Элементы общей алгебры 4.252». Множество С(а, Ь] непрерывных функций с обычной операпией сложения, если в качестве умножения взять суперпозипию функций: (У *д)(х) = у(д(х)). 4.253.
Введем на группе (Еа, +) умножение по формуле а * 5 = = 2аЬ (произведение берется по модулю 5). а) Является ли (Еа, +, *) кольцом? б) Какой элемент является в этом множестве единицей по умножению? Пример 1. Вычислить значение выражения (3+ 5+ 9)'эээ в кольпе Ето. а Так как 3+ 5+ 9 = 7 (шот110), то 3+ 5+ 9 = 7 в Ето, поэтому (3+ 5+ 9)'эээ = 7'эээ. Рассмотрим степени числа 7 в кольке Ею (т.е.
по модулю 10): 7т = 7, 7э = 9, 7э = 3, 7~ = 1, 7э = 7. Так как 74 = 1, то 7тэээ 7» 4ээ+з 7э 3 С, В задачах 4.254-4.259 вычислить аначение данного выражения в указанном кольце. 4.254. 1 2 3 4 ... 17 в кольце Еж. 4.255. 1 + 2 + 3 + ... + 9 в кольце Жэ1.
4.256. 3~~~' в кольце Ета. 4.257. 3 в кольце Еэо. 4.258. 2 ~сот в кольце Ета. 4.259. (1+р) т в кольце Е„э (р — простое). В задачах 4.260-4.269 проверить, что при р > 5, где р — простое число, в указанном кольце справедливы приведенные равенства. 4.260. 1~ + 2э +... + (р — 1)~ = 0 в Ег. т'р — 1 т 4.261. 1~ + 2э +... + ~ — ) = 0 в Ер. 2 ) ;-г 4.262 . 1 т + 2 ~ +... + — ) = 0 в Еэ.
р 4.263'. 1 т + 2 т +... + (р — 1) ' = 0 в Ерт. 1 4.264*. ~ —,, = 0 в Ер. о<т<у<э тэ Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей. Элемент а 6 Л, для которого существует обратикые элемента а ', называется обратикмым элемектиом.
П р и м е р 2. Найти обратимые (по умножению) элементы в кольце Ее. а Если а — обратимый элемент кольца Ее, то уравнение ах = 1 разрешимо в Ее, а значит, уравнение ах = 1+ бд разрешимо в Е. Имеем: ах — бу = 1. 3. Кольца и поля 197 Если а делится на 2 или на 3, то левая часть этого уравнения делится на 2 или на 3, а так как правая часть не делится, то уравнение не имеет решений. Если а не делится ни на 2, ни на 3, то а взаимно просто с б, поэтому уравнение ах — бу = 1 разрешимо. Итак, обратимыми являются элементы из Жв, взаимно простые с б, т. е.
1 и 5. ~> В задачах 4.265 — 4.267 найти обратимые по умножению элементы в указанном вольпе. 4.265. В кольце Ем. 4.266. В кольце Его. 4.267. В кольце С1а, Ь]. 4.268. Сколько обратимых элементов в кольце Жрэ (р — простое)7 Пример 3. Решить уравнения в указанном кольце: а) 2х+4=0вЕв, б) бх+5=0вйэ, в) х +х+6=0вйю. а а) Составим таблицу: Отсюда х = 1 или х = 4. Этот пример показывает, что в кольце линейное уравнение ах + Ь = 0 может иметь более одного решения. б) Если бх + 5 = 0 в кольпе Еэ, то бх + 5 = 8Ь в кольце Е.
Отсюда бх — 8Й = 5. Но это равенство невозможно, так как в левой его части стоит четное число, а в правой нечетное. Таким образом, уравнение бх + 5 = 0 не имеет решений в кольце Еэ, хотя б ф О. Значит, в кольде уравнение ах+ Ь = О ири а ф 0 может не иметь ни одного решения. в) Составим таблицу: Отсюда получаем: х~ — — 2, хэ = 5, хэ = б, хл = 9. Таким образом, в нольде квадратное уравнение может иметь более двух решений.
В задачах 4.269 — 4.274 решить следующие уравнения в указанном кольпе. 4,269. Зх + 7 = 0 в кольце Ж~з. 4.270. Зх + 7 = 0 в кольпе Жэо. 4.271. бх + 4 = 0 в кольце Жз. 4.272. хз + х + 4 = 0 в кольце Еа. 4.273. Зх~ + бх + 9 = 0 в кольпе Язв. 4.274. х = -1 в кольце л'з4. 4.275. Привести пример кольца без единицы. 4.276'*, Привести пример неассоциативного кольца. Гл. 4. Элементы общей алгебры 198 4.277*. Доказать, что если  — кольцо с единицей и уравнение х + х = 1 имеет решение, то зто решение единственно. 4.278. Для иаких колец с единипей совпадают нулевой и единичный элементы? Пусть В и В' — кольна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
