341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поле г' называется полем частных кольца В. Пример 16. Выяснить, что из себя представляет поле частных кольца Е[х]. З Всякий многочлен у(х) б Я[х] после приведения его ковффипиен- 1 тов к общему знаменателю может быть представлен в виде — и(х), где т б Е и и б Е[х]. Следовательно, множество дробей вида —, где й) д(х) и(х) у, д Е Я[х], совпадает с множеством дробей †, где и, о Е Е[х].
Слеп(х) довательно, поле частных кольца Е[х] совпадает с полем рациональных функций Я(х). ~> В задачах 4.405 †.407 определить, что представляет собой поле частных кольца Н. 4.405. В = г — поле. 4,406. Й = 2Š— кольцо четных чисел. 4.407. В = [а+ 1п' [а, Ь Е Е, (г = — 1) — кольцо целых гауссовых чисел. В задачах 4.408-4.410 определить, имеют ли поле частных указанные кольца. 4.408.
Кольцо С[а, б] всех функций, непрерывных на отрезке [а, б]. 4.409. Кольцо )П 6 )й. 4.410. Кольцо Р[х, у] всех многочленов от двух переменных над полем г'. Дробь вила, где р(х) — неприводимый над полем Г многочлен и(х) р"(х)' и Йеб и(х) < Йебр(х), называется простейшей. Дробь — — правильу (х) д(х) ная, если Йебу(х) < Йебд(х), и неправильная в противном случае. Л') Теорема.
Всякую правильную дробь — можно разложить д(х) у(х) ис(х) на простейшие, т. е. представить ее в виде — = 2 -'~ —, где д(х) су р,Ф ' р (х) — неприводимые многочлены над полем г' и беби; (х) < Йебр (х). Пример 17. Разложить на простейшие дроби над полем В следующую дробь: 2х+3 хь — 4хг + 8хз — 1бх + 16' Гл, 4.
Элементы общей алгебры 214 а Разложим знаменатель на неприводимые над И множители. Заметим, что х = 2 — его корень. Следовательно, по теореме Безу данный многочлен делится на х — 2. Разделив, получим: х — 4х +8х — 1бх+16 = (х — 2)(х — 2х + 4х — 8). Многочлен во второй скобке также имеет корень х = 2. Разделив еше раз, получим: х — 4х +бх — 16х+16 = (х — 2)(х — 2)(х +4) = (х — 2)~(х +4).
Следовательно, разложение дроби на простейшие (пока с неопределен- ными коэффициентами) имеет вид А В Сх+Р + + хе — 4х +8хэ — 1бх+16 х — 2 (х — 2)э ха+4 После приведения к обшему знаменателю суммы дробей и отбрасывания знаменателя получим товщество: 2*+ 3 = А(х — 2)(хэ + 4) + В(х~ + 4) + (Сх + Р)(х — 2)~. Равенство многочленов означает совпадение коэффициентов при каждой степени х. Следовательно, мы имеем систему уравнений: О=А+С (коэффициент при хэ), О = -2А+  — 4С+ Р (коэффициент при хэ), 2 = 4А+ 4С вЂ” 4Р (коэффипиент при х'), 3 = — 8А+ 4В+ 4Р (коэффициент при хо).
3 7 3 1 Решив эту систему, получим: А = — —, В = —, С = —, Р = --. 16' 8' 16' 2 Таким образом, 2х+ 3 3/16 7/8 (3/16)х — 1/2 + + с хч — 4хэ+8хэ — 16х+16 х — 2 (х — 2)э хе+4 В задачах 4.411 и 4.412 вьщелить целую часть дроби над заданным полем, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. х4+ х+ 3 4 4.411. (над К). 4.412. э (над Жэ). хэ+ 2х — 1 Зхэ+ х+ 4 В задачах 4.413-4.416 представить рациональную дробь в виде суммы простейших над полем С. 1 х 4.413. 4.414. —. х4 х4 + 1' хэ х 4.416. 4.416. (х — 1)(х+ 2)(х+ 3)' ' (х4 — Цт 3 3.
Кольца и поля 215 В задачах 4.417 — 4.420 представнть рациональную дробь в виде суммы простейших над полем К. 1 х 4.417. —. 4.418. —. 3 х4 4.419. (х4 1)2' 4.420. (х2+ 1)2(х+ 1) В задачах 4.421 — 4.424 представить рациональную дробь в виде суммы простейших над указанным полем. 1 4.421. з 2 (иад К2). .( з+ 2+ +Ц из+ х2+1 ' х2(х2+х+1Нх+1) ад 4 3 2 4.423. + + + +1 ( У,) хз+х4+1 х2+ 2х+ 2 4.424. 2 2 ) (над я.з) х(х2 + 2) (х2 + 1) В задачах 4,425-4.428 разложить на простейшие дроби над укааанным полем. 1 х 4.425. (над Жр). 4.426., (над У,,).
1 х 4.427. (а) над С; б) над К). 4.428. (над С). хн 1 х" + 1 В задачах 4.429-4.431 выразить через 7»(х) указанные суммы, где ~р(х) = (х — хг)(х — х2)...(х — х„). н 1 в 4.429. 2; —. 4.430. 2 —. 4.431. ~ ьх — х;; 1х — х;;,(х — х)2 4.432. Указать какое-либо бесконечное поле характеристики 2. Производная многочлена у(х) = а„х" +... + а1х + ао над полем Г определяегсяследующимобразом:1'(х) = яа„х" '+(п — 1)а„1х" ~+...
... + 2аэх+ а|. Пример 18. Найти производную многочлева г'(х) = х4+хэ+хэ + + х + 1 над полем Жг[х). 0 ~'(х) = 4хэ + Зхэ + 2х + 1 = хэ + 1. С» Теорема. Пусть г' — поле и у(х) — многочлен с коэффициентами иэ Р. Многочлен /(х) не имеет кратньп корней ни в каком расширении полл Р в том и только том случае, если 1(х) и 1'(х) вэаимно яростьь Гл.
4. Элементы обшей алгебры 216 Пример 19. Найти какой-нибудь многочлен у'(х) над полем К, не имеюший кратных корней в К, для которого (у(х), ~'(х)) ~ 1. э Таковым является, например, многочлен у(х) = (хэ + 1)э. Так как ~'(х) = 2(хэ + 1) ° 2х, то (у(х), у'(х)) = хэ + 1 ф 1. Противоречия с предыдущей теоремой здесь нет, так как многочлен у (х), хотя и не имеет корней в К, но имеет кратные корни в поле С, являющемся расширением поля К: (хэ + 1)э = (х + 1)э(х ' — 1)э.
> Дифференцирование можно перенести с кольца многочленов г'[х] на поле рациональных функций г'(х), положив Дж)Л' У'(х)д(х) — у(х)д'(х) д(х) / дэ(х) 1 Пример 20. Найтипроизводнуюфункции<р(х) = из Еэ(х). хэ+2х 1' (х + 2х) — 1- (х + 2х)' -Зх — 2 (хэ + 2х)э хе + 4х4 + 4хэ 1 ~> хе + х4+ хе Пример 21. Найти кратные корни многочлена у(х) = х4+ 2хэ— — бхт — бх + 9 из К[х). 0 Найдем производную: у'(х) = 4х + бхэ — 10х — 6 = 2(2х + Зхэ — бх — 3). Затем найдем И(х) = (у(х), ~'(х)). Для этого применим алгоритм Евклида к многочленам у(х) и у'(х). В результате получим: о(х) = хт + х — 3, а у(х) = (хэ + х — 3)э. Значит, у(х) имеет двукратные -1х 4ГЗ корни хи э = 2 .
[> 4.433. Доказать свойства производной многочлена над произвольным полем г: 1) (У(х) + д(х)) = у'(х) + д'(х); 2) (ЛДх)) = ЛУ'(х) (Л Е Р); 3) (~(х)д(х)) = У'(х)д(х) + у (х)д'(х); 4) (у(д(х))) = у'(д)д'(х). 4.434. Доказать, что для любого поля г и рациональной функ- / 1 1' р'(х) ции у(х) 6 г'(х) верно равенство ~— '1~р(х) ) <рт(х) 3. Кольца и пава 217 В задачах 4.435 и 4.436 определить кратность корня хо много- члена 1'(х) из К[х]. 4.435. 1(х) =хз-бхл+7хз-2хг+4х-8, хо=2.
4436 1(х) = Зхз+4х4+хз — 10х — 8, хо = -1. В задачах 4.437 и 4.438 найти кратные действительные корни многочленов из К[х]. 4.437. хз — 10хз — 20хг — 15х — 4. 4.436. хе — 2хз — х4 — 2хз+ 5 э+ 4х+ 4. .г хп 4.439'. Доказать, что в поле К многочлен 1+ — + — +... +— 1! 2! и! не имеет кратных корней. 4.440. Найти кратность корня а многочлена 1(х) -~'(а) (х-а)— — -1 "(а)(х — а)г, где 1'(х) — многочлен из К[х] степени 3. 4.441. При каких соотношениях между а и Ь многочлен хз + + ахз + Ь имеет в поле К двукратный корень, отличный от О? 4.442.
Найти все а, при которых многочлен 1(х) из К[х] имеет кратный корень: а) 1(х) ж хз — Зх + а; б) 1(х) = х4 — 4х + а. 4.443, При каком а многочлен х — ахг — ах + 1 из К[х] имеет число -1 корнем кратности, не меньшей 2? 4. Фактор-кольце. Непустое подмножество А кольца В называется подкольиом этого кольца, если выполнены условия: (Пк1) э'а, Ь Е А а+Ь 6 А; (Пк2) Ча Е А — а б А; (ПкЗ) э'а, Ь Е А аЬ Е А. Первые два из этих условий означакя, что подкольцо является подгруппой адднтивной группы (В, +) (но не наоборот). Непустое подмножество 1 кольца В называется идеалом кольца В (обозначается: 1 з В), если выполнены условия: (И1)Ча,ЬЕ1 а+ЬЕ1; (И2) Ча Е! -а Е 1; (ИЗ) Ч а Е 1 Чг Е В га Е 1, аг Е 1.
Левый идеал — непустое подмножество 1, для которого 1+ 1, -1, В1 С В; правый идеал: 1+ 1, — 1, 1В С Я. Во всяком кольце В естыпривиальиые идеалы: это 0 — наименьший идеал н  — наибольший идеал. Кольцо В называется проспэььи, если оно не имеет нетривиальных идеалов. Суммой двух подмножеств А и В кольца В называется множество А+В = (а+Ь ! а Е А, Ь Е В), произведением подмножеств — множество А В = () а;Ь; ]а; е А, Ь; Е В). Ф Пример 22. Найти общий вид идеалов кольца В = Вз Ю... Ю В„, где В; — кольца с единицей.
218 Гл. 4. Элементы общей алгебры сс Докажем, что идеалы кольца  — это в точности множества вида 1с Е... Е 1„, где 1с ~ Вс (с = 1, 2, ..., и). Ясно, что 1с бс... Е 1„а В, если 1с з Вс для всех с (докажите!). Осталось показать, что всякий идеал имеет такой вид. Пусть 1 о В. Обозначим через кс гомоморфизм В -с Вп определенный правилом к(хс, хэ, ..., х„) = хс (проекция В на Вс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
