341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 41
Текст из файла (страница 41)
4.485. К[х]/(х» — 1)К[х]. 4.486. К[х]/(х4 + 1)К[х]. 4.487. Еэ[х]/(хт + 4)Еь[х]. Если  — кольцо и 1 — его идеал, то будем писать а ьт Ь (що41) в случае, если а — Ь 6 1 (здесь а, 6 е В). Китайская теорема об остатках. Пуепть  — ассоциатпивно-коммутлатпивное кольцо с единицей Ат,..., А„— его идеалы тпакие, чтпо А; + А = В при т ~ у'. Тоеда ттлл любых хт, ..., х„б В сущеетпвуетп тпакое х й В, чтпо х аа хт (тподАт), ..., х ав х„(апет(А„). Идеалы А, В с условием А+ В = В называют взаимно простыми.
Из теоремы непосредственно следует, что система сравнений Е х ги хт (пюдпт), х»» хь (шодпа) имеет решение в кольце целых чисел, если числа пт, ..., пь попарно взаимно просты. ~ х = 3 (шод 5), Пример 28. Решить систему сравнений х = 1 (щод 8). 0 Имеем: х = 3+ 5ш = 1 + 8п, где т, и 6 Е. Отсюда 5тп — 8п = -2. Частное решение этого уравнения: шо = — 2, по = -1. Общее решение: тп = -2 + 8т, и = — 1 + бт, где т б Е. Таким образом, х = 3+ 5тп = 3+ 5(-2+ 8т) = -7+ 40т. Окончательно получаем: х = 33 (шод40).
~> П р и м е р 29. Существует ли многочлен /(х) б К[х] такой, что /(х) — х делится на (х — 1)з, а /(х) + 3 делится на хз? а Многочлены (х — 1)з и хз взаимно просты, поэтому существование многочлена 1(х) следует из Китайской теоремы об остатках. Найдем все такие многочлены. Имеем: /(х) — х = и(х)(х — 1)з, /(х) + 3 = и(х)хт. 3. Кольца и лазя 223 Отсюда х + 3 = и(х)х' — и(х)(х — 1)э. (*) Применим алгоритм Евклида к многочленам (х — 1)э и хэ. Находим: (х — 1) =х 1+(-2х+1) илн х =( — 2х+1) ~ — -х — -) + —. э э э 1 11 1 2 4) 4 Следовательно, 1 = хэ 4 + (2х + 1)( — 2х — 1) = хэ .
4 + (2х + 1)((х — 1)э — хэ) = = (2х+ 1)(х — 1) + (-2х+ 3)хэ. Отсюда х + 3 = (х + 3)( — 2х+ 3)хэ — (х + 3)( — 2х — 1)(х — 1)з. Значит, оо(х) = (х+ 3)(-2х+ 3), ио(х) = (х+ 3)(-2х — 1). Общее решение уравнения (*) имеет вид и(х) = (х + 3)( — 2х — 1) + г(х)хэ, где 1(х) — произвольный многочлен. Таким образом, У(х) = х+ ((х+ 3)(-2х — 1) + г(х)хэ)(х — 1)э = = — 2х4 Зхэ + 9хэ — 3+ 1(х)хэ(х — 1)э = 7хз + 11хэ — 3+ г1(х)хэ(х — 1)э.
Это общий вид всех многочленов у(х), удовлетворяющих условиям задачи. 1> 4.488. Доказать, что в кольце Ж равенство пьЖ + пУ,= У,имеет место тогда и только тогда, когда числа т и п взаимно просты. 4.489. Решить системы сравнений: член наименьшей степени, который при делении на 2х+1 дает в остатке 3, а при делении на хз дает в остатке х — 3.
б. Раегпиреиия полей. Пусть à — поле, р(х) — неприводимый над полем Г многсчлен. Кольцо А = г (х)/р(х)Р(х) является полем. Элементы этого кольца имеют внд а = ао + а1х +... + а„1х" ' + 1, /х эа 3 (пюй12), ~х гз 4 (шо45); 4.490. Найти много х ве 2 (пюс15), б) х ы 1 (пюйб), х ав 5 (пюй7).
224 Гл. 4. Элементы общей алгебры где ао, ам ..., а„э ч Г и р(х)Г[х] = 1. Положим В = х+ 1. Тогда о = ао+аэд+...+а„эд" '. Будем отождествлять элемент а+1 поля А с эчементом а поля Г. Теперь мы вправе считать, что А — расширение поля Г, т.е. Г С А. Элементы 1, В, Вэ, ..., В" г образуют базис поля А, рассматриваемого как линейное пространство над полем Г.
Так как Вэ = (х+ 1)э = хэ + 1, Вз = хэ + 1 и вообще, д(В) = д(х) + 1 для любого многочлена д(х) с коэффициентами из Г, то р(В) = р(х) + 1 = О + 1 = О в кольце А. Итак, В является корнем многочлена р(х). Каковы бы ни были поле Г и многочлен 1(х) с коэффициентами из Г, существует поле Гэ Э Г такое, что 1(х) имеет корень в поле Гэ. Для неприводимого многочлена 1(х) построенное выше поле Г~— наименьшее поле, содержащее поле Г и корень многочлена 1(х). Поэтому говорят, что воле Вэ получено присоединением к волю Г корня многочлено 1, и пишут Гэ = Г[В] (или Гэ = Г(В)) ).
Если à — некоторое поле и 1(х) — многочлен над Г (необязательно неприводимый), то существует расширение Г' поля Г, в котором многочлен 1(х) разлагается на линейные множители: 1(х) = = А(х — аэ)...(х — а„), а, й Г', 6 = 1, 2,..., в. Наименьшее поле, в котором 1(х) разлагается на линейные множители, называется нолем розложенил мнозочлена 1(х). Это поле можно получить, взяв в Г' пересечение всех подполей, содержащих поле Г и элементы аэ, ..., а„. Поле, полученное присоединением к полю Г элементов аэ, ..., а„, обозначим Г[ам ..., а„] (или Г(аэ, ..., а„)). Пусть à — поле и К вЂ” его подполе. Нетрудно проверить, что Г является линейным пространством над К.
Размерность этого пространства йпп„Г называется степенью расширения К С Г. П р имер 30. Доказать, что К[э] и С. з Если Г = К вЂ” поле действительных чисел и у(х) = хэ + 1. Ввиду неприводимости этого многочлена, кольцо Е~ = К[х]/(х + 1)К[х] является полем. Его элементы имеют вид с = ох+ 6+ 1, где 1 = (хе + 1)К[х]. Полагая х+ 1 = В, получим с = од+ 6, где  — корень многочлена х + 1 (в Гэ). Итак, с = ад+ Ь; причем Вэ = -1.
Отсюда следует, что воле Гэ изомордУно волю С комплексных чисел. Таким образом, К[э] ~ С. [> Пример 31. Доказать, что (У[х] 1(хэ — г) 0[х] = о[Я] = (о+ ЬВ+ сдэ [о, Ь, с ~ 0, В' = 2]. а Пусть Г = Я вЂ” поле рациональных чисел и 1'(х) = хэ — 2. Так как 1 — многочлен 3-й степени, не имеющий корней в Я, то 1(х) неприводим над Я. Поле Гэ — — Я[х]/(хэ — 2)Ц[х] является расширением поля Я, в нем многочлен хэ — 2 имеет корень В. Таким образом, Гэ = Я[В] = ЩФ2] = (о + 6В + од~ [ о, Ь, с й ®. э) Обычно через В[а] обозначают колько, порожденное кольцом Я н элементом а, а через Г(а) — попе, порожденное полем Г н элементом а.
Однако если а— корень многочлека с коэффициентами иэ Г, то Г[а] = Г(а), 3. Кольна и поля 225 Можно считать, что поле р1 состоит из всех действительных чисел вида а + бь/2 + от/4, где а, 5, с 6 ф ~> 4.491. Доказать, что если К, Ь, М вЂ” поля, причем К С Ь С С М, то оПгпн М = 1ппь М ° с11тн Ь.
В задачах 4.492 — 4.496 найти степень расшинрени. 4.492. Я(Я) над Я. 4.493. К(Я) над К. 4.494. ф~/1) над Я1о). 4.495, Еб(ь/2) над Еб. 4.496. Я(Я) над Я. В задачах 4.497 — 4.499 выяснить, справедливы ли указанные равенства. 4.497. ь/2 Е Я(ь/3). 4.498. ~/2 Е Еб(~/3). 4499. ЩЯ) = Я(Я) Пример 32. Построить поле из 4 элементов. < Возьмем поле Ет и неприводимый над ним многачлен 2-й степени. Он один: хэ + х+ 1. Тогда А = Ет[х)/(хо + х+ 1)Еэ[х] — поле из четырех элементов. Оно состоит из элементов вида ад + 5, где а, 5 б Еэ и д~ + д + 1 = О, т.е.
9т = д + 1. Имеем: А=(0, 1,6,8+Ц =(0,1,д,дт). Равенства дэ = д+ 1 и 1+ 1 = 0 позволяют составить таблицы сложения и умножения этого поля. Таблица сложения Таблица умножения 'о) Здесь Я ознлчает талое В, что д ~ 1 н З~ = 1. Гл. 4. Элементы общей алгебры 220 Пример 33. Построить полеиз9 элементов, присоединивк полюЕг корень 0 неприводимого многочлена хг+х+ 2. Вычислить (О+ Ц(20+ Ц, (0 + 2) ", (0 + Ц 'эээ. а Искомое поле состоит нз элементов вида а + 60, где а, 6 е Ег и Вг + + О+ 2 = О. Отсюда Вг = — 0 — 2 = 20+ 1.
Используя это соотношение, получим: (В+ Ц(20+ Ц 2Вг + 2В+ 0+ 1 2(20+ Ц + О+ 1 В Далее, (В + 2) ' = х+ уВ, где х, у б Ег. По определению обратного элемента (В+ 2) (х+ уВ) = 1, т. е. удг + 2уВ+ хВ+ 2х = 1, или у(2В+ Ц+ +(2у + х)0+ 2х = 1,'или (у + х)В+ (у+ 2х+ 2) = О. Так как 0 ф Ег, то элементы 1 и 0 линейно независимы над полем Ег, следовательно, мы имеем систему уравнений у+ х = О, у+ 2х+ 2 = О. Решив эту систему, получим: х = 1, у = 2.
Таким образом, (В + 2) ' = 1+ 20. Пусть г = Ег[0] — данное поле. Тогда г" = г '!(0) — группа из 8 элементов. Следовательно, аа = 1 для всех а б г". Поэтому (В+ ца = 1. Разделим 1999 на 8 с остатком: 1999 = 8 249+ 7. Следовательно, (0+ цгэээ (В+ цвг4э (0+ цт (0+ цт Далее имеем: (О+Цг Вг+20+1=(20+ Ц+20+1=0+2, (В+ Ц4 (В + 2)г Вг + 40+ 4 Вг + О+ 1 = (20+ Ц + 0+ 1 = 2 (0+ Цг (0+ Ц4(0+ Цг(0+ Ц 2(0+ 2)(0 ! Ц 2(Вг + 2) 20г + 1 2(20 + Ц + 1 0 [>. В задачах 4.500-4.503 построить поле из р" элементов и найти образующий элемент мультипликативнай группы этого поля.
4.500. р = 2, гг = 4. 4,501,,р = 3, и = 2. 4.502. р = 5, и = 2. 4.503. р = 3, и = 3. 4.504. Построить поле г' из 49 элементов, присоединив к полю Ег корень 0 многочлена хз + х + 3. В задачах 4.505-4.507 произвести указанные вычисления в поле г' = Еа(0), где Вз + 2В + 1 = О. 4.505. (ЗВг+ 1)(Вг+4В+2). 4.506. (От+ 30+ Ц 4 507 (02 + 1)гоо! В задачах 4.498 — 4.500 решить уравнения в указанных полях. 4.508. хг = 2 в поле Ег(В), где Вг + В+ 2 = О. 4.509. хг = 3 в поле Еа(0), где Вг = 2.
4.510. х4 + х + 1 = 0 в поле Ег(0), где 04 + Вз + 1 = О. Э 3. Кольца и поля 227 В задачах 4.511 — 4.513 найти размерность поля разложения мно- гочлена. 4.511. х4 + 1 над Жз. 4.512. хз — хт — Зх+ 2 над И. 4.513. хз + х + 1 над (3. 4.514. Выяснить, какие подполя имеет поле из и элементов, если: а) тг =. 8; б) и = 16. П р и м е р 34.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 1 э(4+ ~к2+2 з 1-о способ. Рассмотрим поле Я(сУ2) = Я[0], где 0з = 2. Задача состоит в нахождении (От +0+ 2) '. Запишем: (0з + 0 -ь 2)-' = х0з -~ у0 з- г, где х, р, г б © Отсюда (О +0+2)(х0~+ 00+3) = 1, хд + (х + р)дз + (2х + д + г)0 + (20 + з)0+ 2х = 1, 2х0 + 2(х + у) + (2х + р + г)0~ + (20 + г)0+ 2г = 1.
Используя линейную независимость элементов 1, О, 0з над Я, получим систему: 2х+у+г =О, 2х + 2р + г = О, 2х + 20+ 2з = 1. Решив ее, получим: х = --, р = О, з = 1. Следовательно, (ч4+ ~Ф2 + 1, 2' + 2) ' = — -К4+1. 2 2-о способ. Рассмотрим многочлены хз + х + 2 и хз — 2. Применим к ним алгоритм Евклида: х — 2 = (х + х + 2)(х — 1) — х, х~ + х + 2 = х(х + 1) + 2.
Следовательно, г 1 1 = -(х +х+ 2) — -х(х+1) = 2 2 1 1 = — (ха + х + 2) — — ((ха + х + 2) (х — 1) — (ха — 2) ) (х + 1) = 2 2 = -(х — 2)(х+1)+ (х + х+ 2) ~- — -х + -) . з 3 2 12 2 2) 2 ) Подставив х = О, получим: 1 = О+ (0з + О+ 2) 1 — -0з ) . Значит, 2 / (0з + 0+ 2) ' = 1 — -0т = 1 — — ~Г4. с 2 2 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
