341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4.216. З Пусть х, д б АВ. Тогда х = а6, д = а'Ь', где а, а' б А, Ь, Ь' е В. Отсюда хд = аЬа'Ь' = = а Ьа'Ь ' ЬЬ' 6 АВ, так как Ьа'Ь ' е А. Кроме того, х ' = (аЬ) = Ь 'а ' = Ь 'а 'Ь Ь' б АВ. Значит, А — подгруппа. Пусть теперь А, В < С и д б С. Тогда дАВ = АдВ = АВд, поэтому АВ < С.[> 4.217. а) Если Н вЂ” группа кватернионов, Н« — — (1, -1, », — »), Нэ —— (1, 1«я, — я)«НЗ = (1«1«/»«Ц«Н» = (1), Нэ = Н, Нс = (1, — 1) (все подгруппы нормальны); б) Н/(1) = Н, Н/Н; и Ет х Еэ (» = 1, 2, 3); Н/Н и (Ц, Н/(1, — 1) — Е».
4.218. Указание. С/С« изоморфна группе движений, оставляюших фиксированную точку неподвижной. 4.219. Е„/»(Е„и — Е». 4.220. Изоморфизм «р: В/Е -+ Т определяется формулой ч«(х + Е) = ет"*. 4.221. Указание. Рассмотреть отображение а6А -+ 6(АПВ). 4.222. Указание. Изоморфизмом групп С» х... хС„/А» х... х А„и (С»/А») х... х (С„/А„) является отображение д(А» х... х А„) ~+ (дАы ..., дАи), где д = (дм ..., д„) б С«х ... х С„. Взаимная однозначность и сохранение операции здесь проверяются непосредственно. 4.225. Э Пусть а б Я„ и Ь (а) — количество циклов длины у в разложении а в проиаведение независимых циклов. Подстановки «г и т сопряжены тогда и только тогда, когда Йу(а) = 61(т) для всех 1.~> 4.229.
а) а 24 = 2 .3, поэтому в группе Еэ» будут две примарные компоненты: одна для р = 2, другая для р = 3. А(2) — множество элементов порядка 2", т.е. А(2) = (О, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21). А(3)— множество элементов порядка 3", т. е. А(3) = (О, 8, 16). Еэ» = А(2) й« а А(3); б) А(2) = (О, 15); А(З) = (О, 10, 20); А(5) = (О, 6, 12, 18, 24); в) А(101) = Е»о».г 4.230. а) з д = (а, Ь, с) — обший вид элемента этой группы. Тогда Ь, с — любые, не равные нулю одновременно, порядка 5 в Еэ «»«Еэ, а = 4 — единственный элемент порядка 2 в Ез. Поэтому число элементов порядка 10 в Еа а Еэ а Еэ равно 2 ° (25 — 1) = 48. 6) (2з 1)(Зэ 3») 42 > 4231 (О 2 Ц (О 2 2) (1 О Ц (1, О, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2). 4.232.
а) ~р(х) = 0 для всех х; б) гома- Ответы и указания 280 морфизм ви Е„, -! Е„имеет вид 5о(х) = Ьх, где йт ив ь 0 (пзоь(я). 4.233. а) Указание. Таи иаи 36 = 2з Зз, то имеется ровно 4 неизоморфные абелевы группы порядка 36. Это Еь Ю Еэ, Ег Ю Ег Ю Еэ, Е4 Ю Ез Ю Ез~ Ез Ю Ез Ю Ез Ю Ез! б) А1 — Ез Ю Езь! '12 — Ез Ю Еь Ю Еь~ Аз = ЕзЮЕьЮЕзь, А4 = ЕзЮЕьЮЕьЮЕь, Аь = ЕзЮЕзЮЕз ЮЕзь Аь =ЕзЮЕзЮЕзЮЕьЮЕь' в) А =ЕззЮЕз, Аз = ЕгьЮЕзЮЕз, Аз = ЕзЮЕьЮЕз, А4 = ЕзЮЕьЮЕьЮЕз, Аь = ЕзЮЕзЮЕьЮЕьЮЕз, Аь =ЕгЮЕзЮЕгЮЕзЮЕ4ЮЕз, Аь =ЕзЮЕзЮЕгЮЕзЮЕгЮЕз. 4.236.
а) Нот(Езю Езо) — Ез. Все гомоморфизмы из Езь в Езо имеют вид х -+ Ьх, где 7с = О или 9; б) Нопз(Е, Е) м Е. Здесь ~р(х) = = Ьх, 7с — любое целое; в) Нопз(Е„„Е„) ~ Ез, тле 4 = НОД(т, и); г) Нолт(Е, А) и А; 5о(я) = яа. 4.238. 6) Таблицы Кали групп Ез и Е,"е см. на рис. 49; в) Е;о ~ Е4, Ез = Ез х Ез.
4.239. а) р' — р' '; Х' 1 3 7 9 Хз1 3 5 7 юь 1 1 3 7 9 3 3 7 7 7 1 9 3 9 9 9 1 7 3 Рис. 49 б) рз — р; в) рз — рз. 4.243. Не является. 4.244. Является. 4.245. Является. 4.246. Не является. Указание. Произведение ь!пйх. э!и!х = 1 = -(сов(Ь вЂ” !)х — сов (7с + !)х) не является суммой синусов.
4 247. Явля- 2 ется. 4.248. Не является, Указание. Проверить выполнение аксиомы (КЗ). 4.249. При я ) 1 не является. 4.250. Является. 4.251. Является. 4.252. Не является. У к а за н ие. Проверить выполнение аксиомы дистрибутивности. 4.253.
а) Является; в) е = 3. 4.254. О. 4.255. 18. 4.256. 27. 4.257. 7. 4.258. 8. 4.259. Рз — р + 1. 4.262. Указание. 1-з /р -1~ В кольце Ер элементы 1 э, 2 з, ..., ~ — ! совпадают (с точностью до перестановки) с элементами 1, 2, ..., ~ — ! . 4.263. У к азание. Воспользоваться равенством (с + (р — 7с) = в кольце Ерз. Далее, используя результат задачи 4.262, доказать, что 1 = 0 в кольце Ер. 4.264. Указание. Воспользоваться ра- 11 1 1 венством ~ —,) = ~ —, + 2~ —,, в кольце Ер и результатами за- 3 3 !су 37 дач 4.260 и 4.263.
4.265. 1, 3, 5, 9, 11, 13. 4.266. 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17. 4.267. Функции, не обраптающиеся в 0 на (а, Ь). 4.268. рз — р'. Ответы и указания 281 1 1 1 1 1 О О 1 1 О 1 О 1 1 О 1 3 4 1 у = 8. 4.315. х = 9, у = 5. 4.316. а) ; б) 1 4 б 2 б 3 4.269. Решений нет. 4.2ТО. 11. 4.2Т1. 2, 6, 4.272. 3, 4. 4.2ТЗ. Решений нет. 4.274. 9, 15, 19, 25. 4.275. Например, кольцо 2Е всех четных чисел. 4.276.
Э Этот пример можно строить многими способами. Например, так. Рассмотрим двумерное линейное пространство Ъ над К. Пусть а, Ь вЂ” базис Б над И. Элементы из Б имеют вид аа + ДЬ, где а, )1 б К. На множестве Б уже есть операция сложения, введем операцию умножения. Положим для базисных элементов, например, аэ = Ь, аЬ = Ьа = О, Ьэ = а.
Зная пронэведение базисных элементов, из аксиомы дистрибутивности получим произведение любых элементов из Ел (аа + )ТЬ)(ча + бЬ) = а уаэ + )Тра + абаЬ + + )УбЪэ = агЬ + Дба. Это кольцо неассоциативно, так как (аа)Ь = = аэЬ = Ьэ = а и а(аЪ) = а ° О = О.> 4.277. Указание. Пусть х + х = 1 и у + у = 1. Умножьте первое равенство справа на у, а второе слева на х. 4.278. Для кольца, состоящего из одного элемента О.
4.282. Да. 4.283. у(п) = О для всех п б Е. 4.284. у1 (и) = и, уэ(п) = = О для всех п б 2Е. 4.286. Указание. Проверить, что отображение Й ~+ (Йшодгп, Йшобп) является изоморфизмом колец Е,„„-+ Е,„ЭЕ„. 4.28Т. э Если мы докажем изоморфизм (Р(Х), Ь, П) и Еэ Ю... Ю Еэ, праэ . то проверка аксиом кольца для Р(Х) не потребуется. Построим отображение следующим образом. Будем считать, что Х = (1, 2, ...,и) (это предположение не ограничивает общности). Для А С Х положим у(А) = (ем еэ, ..., е„), где е; = 1 при э б А и е; = О при 1 Т А. То есть каждому подмножеству мы ставим в соответствие строчку из О и 1; в частности, ~р(И) = (О, О, ..., 0), ~р(Х) = (1, 1, ..., 1), д((1, 3)) = = (1, О, 1, О, ..., О).
Ясно, что у — взаимно однозначное отображение. Проверим, что у — изоморфизм. Пусть А, В б Р(Х) и ф(А) = = (еы еэ, ..., е„), у(В) = (пы пэ, ..., и„), у(АУЗВ) = (~~, (э, ..., ~„). Если 1 б А и 1 б В, то 1 ф АЬВ, и мы имеем: е; = ба = 1, ~; = О.
В этом случае ~, = е, + гя, так как 1 + 1 = 0 в Еэ. Аналогично рассматриваются другие случаи: 1 б А и 1 б В и т.д., и в этих случаях мы также получаем ~; = е; + и,. Следовательно, у(Аб1В) = (~ы ..., ~„) = = (е1 ея) + (ч1, чр) = ~р(А) + р(В). Аналогично доказывается, что у(А П В) = ф(А) д(В). 4.298. Нет. 4.299. Да. 4.300. Нет, 4.301.
Да. 4.302. Поле получится, если и не является квадратом в Ер. 4.303. 1. 4.304. 5. 4.305. 10. 4.306. О. 4.307. 9. 4.308. 13. 4.309. 1; 4. 4.310. Решений нет. 4.311. 4. 4.312, 4. 4.313. 2, 8, 9, 15. 4.314. х = 7, 282 Ответы и указания 4.317. а) 3; б) 2. 4.318. з Так как Ер — — (1, 2,..., р — Ц вЂ” группа по умножению и ~Щ = р — 1, то аэ " = 1 для всех а б Е„*. Значит, аг = а при а б Ер, а р О. Кроме того, Ог = О. Поэтому аг = а р+1 для всех а б Ер.г 4.319. —. Указание.
Воспользуйтесь тем, что 2 э р+ хт = ( — х)э. 4.320.. Указание. Воспользуйтесь результатом 2 предыдущей задачи. 4.321. У к а ванне. Воспользуйтесь результатом задачи 4.133 а). 4.322. Нет. 4.323. а Пусть Г и Г1 — поля и г1 = Г ЮГ'. Положим а = (1, 0), Ь = (О, 1). Нетрудно видеть, что а ф О, Ь ~ О.
Вместе с тем, аЬ = О. Следовательно, г1 — не полеЛ> 4.325. З ра = = а + ... + а = а ° 1 + ... + 1 = а 0 = 0.> 4.327. 0 Пусть 1 — едиР Раз Р Рь3 ница поля Гы Тогда элемент 1 является также единицей поля Гэ. Если п 1 = 0 в Гы то и 1 = 0 в Гэ и наоборот. Поэтому характеристики полей Г1 и Гэ равнььг> 4.329. з По формуле бинома Ньютона (а+ Ь)" = аг + + С„'а" 'Ь + Сэаг тбэ + ... + Ьэ. Рассмотрим коэффициент С', где р(р-1)" (р- +1) 1 ( 1 < р — 1. Так как р — простое, то С* = Р целое. Так как НОД(г!, р) = 1, то (р — 1)...(р — г' + 1) делится на 1), следовательно, С' делится на р. Так как спагГ = р, то С' = 0 в поле Г, а значит, (а + 6)" = аг + Ьг.
Далее применим индукциюпои: (а+ 6)" = ((а+6)" ) = (аг +Ьг ) = аг + + ЬР" с, 4 330 аэо + 1э64 + а461э + Ьэо 4.331 Н 4 332 Щ ~ /а 01 сЪагГ = 5, Го = ~ (об Еэ . 4.333. 9(х) = х + 4х — 4; 0 а т(х) = — 10х + 19. 4.334. д(х) = хэ; г(х) = хэ — 1. 4.335. д(х) = = 4х + 1; г(х) = хэ + 4. 4.338. 0(х) = хэ; г(х) = хэ + х + 1. 10 1 4.337. г(х) = — х — —. Указание. у(х) = д(х)(х — 1)(х + 2) + 3 3 + т(х), где т(х) = ах + Ь. 4.338. д(х) = хэ — хэ + Зх — 3; г(х) = = 5.
4.339. д(х) = 2хз — бхз + 13хэ — 39х + 109; т(х) = — 327. 4.340. д(х) = Зх4 + 7хэ + 14хэ + 9х + 5; г(х) = О. 4.341. а Из последней строки алгоритма Евклида следует, что гь(х)!ть 1(х). Поднимаясь на одну строку вверх, получим: гь(х)(гь э(х) = ть 1(х)дь(х) + + ть(х). Рассуждая аналогично и поднимаясь вверх, будем получать: ть(х)~гь э(х), ть ,(х), ..., т1(х), д(х), у(х). Таким образом, гь(х)— общий делитель многочленов у(х) и д(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
