341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Наличие обратного элемента еле- ' ' -э " ! 1 дует из разрешимости уравнений ха = /с -» ' -' -! ! -1 1 = и, ау = и и совпадения их решений, 4.108. Указание. Отображение с+х х -+ р!и — (р»4 О) осуществляет Рве. 47 с — х изоморфизм этой группы и группыК. 4.109. Нет. 4.110. См. рис. 47. 4.113.Указание.1а(а) = р(ае) =!а(а)1а(е), откуда~р(е) = е'.
4.114.06- щий вид гомоморфизма: <р(х) = Ьх, Ь 6 Е. 4.115. Отображение йн х ~-э ~-1 ха является изоморфвзмом. 4.116. Указание. Если Х=(х!,...,х„) и А С Х, то отображение у(А) = (е1,...,е„) е; = 1»:~ х; б А является изоморфизмом (Р(х), !1) с Еэ х ... х Ез. 4.117. а) Указание. Отобра- п раэ жение х -1 е* есть изоморфкзм (К, +) и (И+, ); б) У к а з а н и е.
Если бы Я, +) была изоморфна Я», ), то в (14+, ) бььчо бы разрешимо любое уравнение вила х" = а, что неверно. 4.119. Указание. Пусть Н— подгруппа группы Е и н — наименьшее положительное число, принадлежащее Н. Докажите включении Н С нЕ и иЕ С Н. 4.121. Нет. 4.122. Указание. Отображение з -+ (!х), е!"'э') — изоморфизм С на Ах В. 4.123. а) Н = (3) = (0,3,6,9); б) Н = (4,9) = Ень 4.124.1, 3, 7, 9. 4.125.
1, 5, 7, 11. 4.126. 1, 3, 5, 9, 11, 13. 4.127. 1, 5, 7, 11, /2нй'! 13, 17. 4.128. ыь = ехР ~ — у!. 4.131. ы!, мэ, ыт, ым. 4.132. ПРи НОД(ти, и) = 1. 4.136. Указание. Уравнения х" = 1, и б Р! в этой группе могут иметь только два решения: 1 и — 1. Поэтому о(а) = оо для всех а, кроме а = 1 и а = — 1. Очевидно, о(1) = 1 и о( — 1) = Ответы и указания = 2. 4.1ЗТ. Указание. Если аЬ = Ьа, то о(аЬ) = НОК(о(а), о(Ь)); в нашем случае о(аЬ) = о(а)о(Ь). 4.138.
Так как аЬ = Ьа, то о(аЬ) = 1+1 -1+ г = НОК(4, 10) = 20. 4.139. 6, 18,30, 42. 4.140. х1 — — —, хг —— — 1 — г 1 — 1 /хг' \ /Зтг 1 хг — и х4 — — †. 4.141. хг = ехр ( — ), хг = ехр ) — ), хг / Тпг ~ /9вб ~ = ехр ~ — ) и г4 = ехр ~ — ). 4.142. Указание. Ясно, что в группе ~, 5 ) ~, 5 ) ' Е„ порядок элемента а равен н в том и только том случае, если а— образующий элемент, а образующими являются такие а, для которых НОД(а, и) = 1. 4.143. 12.
Указание. Используйте мультипликативность функции Эйлера, т.е. у(тн) = у(т)у(а), если НОД(т, а) = 1. 4.144. 16. 4.145. 40. 4.146. 1, 10, 5, 10, 5, 2, 5, 10, 5, 10. 4.14Т. 1, 2, 2, 2. 4.148. о(1) = 1, о(-1) = 2, о(а) = 4 для остальных элементов. 4.149. . 4.150. 6. 4.151. 12. 4.152. 1 при а = = О, р — р ' при 0 < а < Д и 0 при а ) Д. 4.153. х(т), если т)п, 0 в остальных случаях. 4.154.
Указание. Рассмотреть отображение: Е „~ Е„, х Е„, т.е. х -+ (х шод п1, х шоб а). Второй способ: доказать, что элемент (1, 1) группы Е,„х Е„имеет порндок та. 4.156. Указание. Воспользоваться тем, что та+ ио = 1 при некото- /1 2 3 4 5 61 /1 2 3 4 5 61 рых и, о 6 Е. 4.157. а) ~ ~;б)~ 4 5 2 1 6,~ 1,6 1 3 2 4 /1 2 3 4 51 ж) ~ ) . 4.159. а) (153)(247); б) (1362)(47); в) (1472365). ~1 2 3 4 5) /1 2 3 4 5 61 в) ~ 4.161.
а) (1542736); б) (15647). 4.162. а) 2. 12 3 1 6 5 4~ Указание. Является произведением независимых циклов длины 2; б) 12; в) 2. 4Л63.а) (13)(35)(27)(67); б) (16)(62)(27)(78)(35). 4Л64. ог = = (е = аг = Ьг, а, аг, Ь, аЬ, агЬ); о(а) = о(а ) = 3, о(е) = 1, о(Ь) = = о(аЬ) = о(агЬ) = 2. Таблицу Кали группы оэ см. на рис. 48. 4.165. Один Ответы и указания 277 е а иа Ь аЬ и«Ь е а и« Ь аЬ а'Ь элемент порядка 1, певять цорядва 2, восемь порядка 3 и шесть порядка 4. 4.166. а) б; б) 4; в) 5. 4.167.
Меняется на противоположную. н1 4.168. !А„/ = — (и > 2). Аа = (е,(123),(132),(134),(143),(124),(142), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)). 4.169. Указ ание. Пусть С = (дм ..., д„). Каждому д б С поставим в соответствие е а а2 Ь иЬ а«Ь а а«е иЬаиЬ Ь г 9« 9г 9 подстановку и(д) = а«е а а«Ь Ь аЬ 1,99 дэд - д.ду Ь а«Ь аЬ е и~ и Отображение д -+ и(д) является вложением а и аЬ Ь аэЬ а е аи С в В„.
4.170. 0 -+ е, 1 -+ (123), 2 н -+ (132). 4.171. (О, 0) н е, (О, 1) -+ (12), (1, 0) -+ (34), (1, 1) -+ (12)(34). 4.172.1 -+ -+ (1324)(5768), у -+ (1526)(3847). 4.173. Указание. Каждой подста- (1 2 ... я~ новие и = поставим в соответствие матрицу и х я, «1 «2 ° ° ° «и у которой (Ь, Ьь)-е элементы равны 1, а остальные элементы равны О. 4.1Т4. Очевидно, существуют ровно три движения 1-го рода, переводящие правильный треугольник АВС в себя: это е — тождественное отображение, о — поворот на угол в 120' вокруг центра треугольника, оэ — поворот на угол в 240'. Кроме того, имеются три движения 2-го рода — это симметрии относительно высот треугольника. Если одну из этих симметрий обозначить через Ь, то другие будут равняться аЬ и аэЬ.
Таким образом, С(Ф) = (е, о, а, Ь, оЬ, о Ь). Ясно, что С(Ф) ~ Вэ, и изоморФизм определяется соответствиями а н (123), Ь + (12). 4.175. С(Ф) = = (е, а, оэ, оз, Ь, аЬ, отЬ, аэЬ), где а — поворот квадрата на 90' во. круг его центра, Ь вЂ” симметрия относительно одной из диагоналей. Представление подстановками: о н (1234), Ь н (24). 4.176. С(Ф) = = (е, о, Ь, оЬ), где аз = Ьэ = е, оЬ = Ьо. С(Ф) й ЖэхЖз. Представление подстановками: о н (12), Ь н (34). 4.1ТТ.С(Ф) = (е, о, аз, ..., а" ', Ь, аЬ, ..., о" 'Ь), о" = Ьэ = е, Ьа = а 'Ь. Представление подстановками: он (123...п), Ь«-+ (2н-'1)(3н-2)...(Ьн — Ь), где й = 1 — ~.
4.178. (С( = 12 = 48, С = (а, Ь,,г), причем аа = 54 «гз = е, Ьоз = озбэ, Ьэа = = аэбэ, оЬо = ЬаЬ, сга = ази иЬ = Ьи. 4.1Т9. С вЂ” Ва. 4.180. С и Вз. 4.181. 0 Пусть а — движение плоскости и о(о) = и. Если а — движение 2-го рода, то а = Ьс, где Ь вЂ” симметрия относительно некоторой прямой 1, а с — параллельный перенос вдоль этой прямой. Так иак о" = е, то с = = е, а значит, а — симметрия относительно прямой.
Если а — движение 1-го рода, то либо а — параллельный перенос, либо а — поворот вокруг некоторой точки. Параллельный перенос о при о ф е не может быть элементом конечного порядка. Следовательно, о — поворот. Пусть угол 278 Ответы и указания поворота равен га. Так как о(а) = и, то у = 2гг —, где ги, и б Е. Таким образом, элементами конечного порядка в группе движений плоскости являются: а) симметрии относительно прямых (в этом случае о(а) = 2); б) повороты вокруг точек на углы у = 2я †, где т, и б Е (здесь о(а) = и = п, если (т, п) = 1).> 4.182.
З Очевидно, доказательство достаточно провести лишь для левых смежных классов. Пусть аН П ЬН ф И. Тогда существует элемент с б аН П ЬН. Имеем: с = айг = 66з при некоторых Аы Аз е Н. Если х — любой элемент из аН, то х = айз, где Аз б Н. Поэтому х = айз = сйг 'Аэ = БЬтА, 'Из б 6Н. Ввиду произвольности элемента х е аН мы получаем: аН С 6Н.
Аналогично доказывается, что БН С аН. Следорательно, аН = БН.г> 4.183. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 4.185. О, 2Его, 4(го, 5Ею, Ею. 4.188. (е», (е, а», (е, 6», (е, с», (е, а, Ь, с», если Еэ х Ез = (е, а, Ь, с». 4.187.г(Е„, где г(~и..4.188. 8. 4.189. Одна — порядка 1, одна — порядка рз; р + 1 — порядка р. 4.190. По одной подгруппе порядка р (гп < п), (2" — 1)(2" ' — 1) 4.191.
. 4.193. <~ Пусть а — любой элемент из С, отличный от е. Порядок элемента а является делителем простого числа р, поэтому о(а) = р (равенство о(а) = 1 невозможно, так как а ~ 1). Отсюда следует, что элементы е, а, а~, ..., аг ' различны. Поэтому С = = (е, а, аз, ..., а" ") ~ Ер.~ 4.197. а Так как группа Е коммутативна, то правое и левое разложения совпадают. В группе Е операпией является сложение, поэтому смежные классы имеют вид а + Н. Смежные классы О + пЕ, 1 + иЕ, ..., (и — 1) + пЕ различны, так как числа О, 1, ..., п — 1 попарно не сравнимы по модулю п. Оказывается, что других смежных классов нет. Лействительно, пусть а + пŠ— смежный класс.
Разделим а на п с остатком: а = ии + г, где 0 < г < п — 1. Отсюда получаем: а + пЕ = ии + г + пЕ = т + иЕ. Тогда разложение группы Е по подгруппе иЕ имеет вид Е = (О + иЕ) 0 (1 + иЕ) Г.Г... ...'г.Г ((и — 1) + иЕ).г> 4.198. а) 27 + 4ОЕ; б) хг. 4.199. Разложения по подгруппе Н: левое: Яз = (е, (12)) 0 ((123),(23)) Г.1 ((132), (13)); правое: Яз = (е, (12)) 1.Г ((123), (13)) Г.1 ((132), (23)). Разложение по подгруппе Н' (левое, правое) Яз = (е,(123), (132)) 0 ((12), (23), (13)).
4.200. У к а за н и е. Рассмотреть отображение А х Н вЂ” > АВ, (а, 6) ~-г аЬ. 4.202. По подгруппе О: Ею = (0)11(1»Г.1...Г.1(9»; по подгруппе 2Ею. Его = = 2Ею 0 (1+ 2Ею»; по подгруппе 5Его. 'Ею — — (О, 5) г.г (1, б» г.1 (2, 7» 0 0 (3, 8» 'сг (4, 9); разложение по подгруппе Его содержит один класс Ею. 4.203. А4 — — (е, (123), (132))0((134), (234), (12)(34)) О((124), (13)(24), (243))и((142), (143), (14)(23)).
4.204.Указание. Рассуждать также, как в задаче 4.182. 4.206. а) (234) Н, где Н = (е, (14)); б) не является; в) не является; г) является подгруппой Н = еН = Не; д) не явля- Ответы я указания 279 ется. Указание. Использовать результат задачи 4.195. 4.209. (е), (е, (123), (132)), Яэ. 4.210. (е), (е, (12)(34), (1ЗК24), (14)(23)), Аэ, Я». 4.211. Все подгруппы. 4.212. (е), (е, а, аэ«аэ), (е, а, Ь, а Ь), (е, аэаЬ, аэЬ), С, если С = (а, 6), где а» = е = Ьэ, Ьа = аэЬ. 4.213. У к а з а н и е. Воспользоваться результатами задачи 4.208. 4.214.
Неочевидным является лишь утверждение о том, что параллельные переносы образуют нормальную подгруппу. Докажем это для и-мерного пространства. Пусть а: х «-» х + а — параллельный перенос, а /У: х «-+ Ах + 6 — произвольное движение (здесь А — невырожденная и х и матрица). Тогда /3 'а/1: х «-» А '(А(х — Ь+ а) + 6), т.е. /1»а«8: х «-+ х — Ь+ а+ А '6 — параллельный перенос. 4.215. Указаа ние. С = (е, а, аэ, аэ, 6, аЬ, аэЬ, аэЬ) — группа движений квадрата, А = (е, аэ), В = (е, а, Ь, а Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
