341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3.244.— ). 3.245.А' = -3 7 7 5 ) = Я сА(Я с)т. 3.246. пв+е, где и = сИтА. 3.247. а(х). 3.248. (1, 1), (с, й), (с, 1). 3.249. Да. 3.251. В(х, у) = сс(х)0(у). 3.252. ВО = х'у'. 3.253. Матрипы тензаров А'~, С; остаютсн симметрическими, а тензора В' — необнзательно. 3.254. В = (60 — 1), С = (1 1 — 7). 3.255. ЦС'Ц = 2 7 18 6 8 16 0 8 22, ЩЦ = 6 14 19 . 3.256. Указание. Исполь- -1 6 7 3 7 5 зовать формулы А' = ЯтАЯ, А' = Я 'АЯ, А' = Я 'А(Я" ) '.
3 257. а) 1; б) 2. 3.258. гвпДА ( 1. 3.259. А'~с = -(А'„~ + А,'~ь), Вс(сз ) = -ВО~— (В, т В)с +В +В В а ), С(о~1 — (СОь+С,аз+Со,ь) + -1 3/2 2 + — (Сзы + Сь0 + Сь1,). 3.260.ЦБупсАОЦ = 3/2 1 5/2 1 6 2 5/2 -3 0 2 1/2 (!А1й ВцЦ = -2 0 -5/2 -1/2 5/2 0 3.261. Ответы и указания 1 0 0 3.262.ТЯ = ~(х). 3.263.Т(х, у, ~) = ~(А(х, у)). 3.264 0 0 — 2 3 0 0 / е 4е1 + ег — 2ез, 3 7 -бе — -ет + -ез, 3.266. -' 94. 3.267. -1. 3.266. -12.
1 1 е1+ -еэ — -ез. 2 2 168 Тэз1з1 6 3.265. 3.269. Т1'эз = Глава 4 4.1. М| х Мэ = (( — 1, а), ( — 1, Ь), ( — 1, с), (2, а), (2, 6), (2, с)). 4.2. М1 х Мэ х Мз = ((1, 5, а), (1, б, а), (1, 7, а), (3, 5, а), (3, б, а), (3, 7, а)). 4.3. Симметрично. 4.4.
Транзитивно, антисимметрично. 4.5. Антисимметрично. 4.6. Транзитивно, антисимметрично. 4.7. Рефлексивно, транзитивно, антисимметрично. 4.8. При 6 = 0 рефлексивно, транзитивно, симметрично, антисимметрично; при 1с 71 0 анти- симметрично. 4.9. Рефлексивно, транзитивно, симметрично. 4.10.
а) На главной диагонали матрицы отношения стоят 1; б) матрица отношения симметрическая; в) из двух элементов матрицы отношения, симметричных относительно главной диагонали, не более чем один равен 1. 4.11. У к а з а н и е. Для доказательства достаточно привести примеры, показывающие независимость друг от друга свойств бинарного отношения. Например, на множестве А = (а, 6, с) отношение пз = ((а, а), (6, 6) )— симметрично, транзитивно, иррефлексивно; аэ = ((а, а), (Ь, 6), (с, с), (с, 6)) — рефлексивно, транзитивно, асимметрично, пз = ((а, а), (Ь, 6), (с, с), (а, Ь), (Ь, а), (Ь, с), (с, Ь)у — рефлексивно, симметрично, интранзитивно. 4.12.
не (при 6 = 0), пт — отношения эквивалентности; иь, не (при 6 = 0) — отношения порядка. 4.13. а1 — отношение порядка. 4.14. оз — отношение эквивалентности. 4.15. из не является Ответы я указания 272 ни эквивалентностью, ни порядком. 4.16. а« не является ни эквивалентностью, ни порядком. 4.17. Е/и = (Ао, Ам..., А„-»), где А» = = Ь + пЖ, )с = О, 1, ..., п — 1; в качестве множества представителей можно взять (О, 1, ..., а — 1). 4.18. Пусть и — отношение эквивалентности на А.
Для каждого а 6 А пусть К(а) = (х(хаа). Так как а рефлексивно, то а б К(а) для каждого а 6 А. Докажем, что классы К(а) либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, если с б К(а) й К(Ь) и х 6 К(а), то хаа; кроме того, саа и саЬ; из симметричности и транзитивности отношения и следует, что хаЬ, т.е. х 6 К(Ь). Следовательно, К(а) С К(Ь). Аналогично показывается, что К(Ь) С К(а). Эти рассуждения показывают, что А является объединением непересекающихся классов: А = (К(а ))а 6 1). Наоборот, если А = (А,„~ а 6 7) — разбиение множества А на непересекаюшиеся подмножества, то отношение а = 0 (А х А„)а 6 «') есть отношение эквивалентности. 4.19. а) А х А; б) З; в) наибольшее отношение эквивалентности — А х А, наименьшее — с1 = ((а, а) ~а 6 А) (отношение равенства); отношение А х А имеет адин класс А, у отношения Ь все классы одноэлементны; г) да, с»; д) наибольшего (при (А( > 1) нет; е) да, линейные порядки.
4.20. Классы эквивалентности имеют вид а + Ж, а 6 К. 4.22. На множестве А = (а, Ь, с) отношение о = ((а, а), (Ь, Ь), (с, с), (а, Ь), (а, с)) определяет порядок, относительно которого Ь и с — максимальные элементы, ни один из которых не является наибольшим. 4.23. Есть только минимальные элементы — простые числа. 4.24. Граф отношения изображен на рис. 40. Максимальные элементы — 6, 7, 8, 9, 10; минимальный (он же наи- Рис. 40 Рис.
41 меньший) — 1; наибольшего нег. 4.25. Граф отношения изображен на рис. 41. 4.26. Указание. Пусть а — отношение порядка на А и элементы а, Ь несравнимы, т.е. (а, Ь) ~ а и (Ь, а) ~ а. Тогда т = а 0 ((а, х) ! (Ь, х) 6 а) 0 ((х, Ь) ) (х, а) 6 о ) — отношение порядка и т Э а. Утверждение справедливо и для бесконечного множества. 4.30. Граф отношения из задачи 4.27 см.
на рис. 42а; из задачи 4.28— парис.42б. 4.32.а)сгДЬ; б)а '=сг; в)о»Са; г)ойа 'Сс». 4.33. а) Да; б) не обязательно; в) да; г) не обязательно; д) в общем случае ответ «нет»; ответ «да«тогда и только тогда, когда ат = та; е) да. Ответы и указания 273 4.35. 2 Пусть (а, Ь) б (рп)т. Тогда (а, х) б рп, (х, Ь) б т для некоторого х Е А. Отсюда следует, что (а, у) б р, (у,х) б и для некоторого у б А. Следовательи«о, (у, Ь) б пт. Так как (а, у) б р и (у, Ь) б пт, то (а, Ь) б р(пт). Значит, (рп)т С р(пт).
Аналогично доказывается, (с, «) (с, и) (Ь, «) (Ь, и) (о, «) (о, и) (с, и) (о, «) Рвс. 42 что (рп)т г р(пт). (> 4.37. У к а ванне. Если р = А х А, и = (а) х А, т = (Ь) х А и а )4 Ь, то р(п й т) ф рп П рт. 4.39, хп'у, если х < у. 4.40.хпгу, если у делится пах. 4.41. Все, крамер. ° 1 = (). 4.42.Графы изображены на рис. 43. 4.43.
а) Петли (б(, с(), (е, е); б) дуги (е, с), (Ь, а), о 'о оо Рвс, 43 (И, е), (г(, Ь); в) дуги (с, г(), (е, е), (а, г(), (с, Ь), (е, Ь). 4.43. Классы отношения пйт — непарные пересечения классов и и т; классы отношения (пОт)' получаются следующим образом: надо взять класс А1 отношения и, затем объединение Ат всех классов т, пересекающихся с Аы затем объединение Аз всех классов и, пересекающихся с Аз и т.д.; классом СЮ иг отношения п )Ьт будет являться () по 4.49.
См. рис. 44. 4.50. а) 2"; г= 1 !.. л д г ж о б о г Рис. 44 б) 2" " в) 2и(и+ г)гз г) 2" 3"(" г)гз; д) нр е) 19' ж) 5. 4.51. а) и" б) ни(" + ')г~. 4.53. а, Ь, с, г( — левые нули; а, Ь, с, г( — правые единицы. ! ! ! ! Ответы и указания Таблицу Кали см. на рис. 45о. 4.54. 3 — двусторонняя единица; нулей нет. Таблицу Кали см.
на рис. 45б. 4.55. Операция коммутативна, если а Ь с А 1 2 3 4 + 0 1 2 3 . 0 1 2 3 а а а а Ь Ь Ь Ь с с с с с! а! 4 Ь 2 4 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 3 3 0 1 2 Рис. 45 2 4 5 10 2 4 5 10 2 3 4 5 2 3 4 5 2 4 — 10 4 5 1О 2 4 3 4 5 2 4 4 5 1О 2 4 5 3 5 4 5 10 Рис. 4б элементы вида (д1, дз, ..., д„), где д; — левый (правый) нуль в А! при 4 = 1, 2, ..., я. 4.78. Нет. 4.79. Нет. 4.80. См. рис. 46.
4.81. Да. таблица симметрична относительно главной диагонали. 4.57. а) Операция обратима слева, если в каждом столбце содержатся все элементы множества; б) сократима слева, если в каждой строке все элементы разх+р личны. 4.58. а) х*р =; б) умножение матриц; в) ха р = х; 2 г) х *р = р. 4.59. Операция неассоциативна, некоммутативна; 0— правая единица. 4.60.
Операция неассоциативна, некоммутативна; 1— левый нуль. 4.61. Операция ассоциативна, коммутативна; 1 — лвусторонний нуль. 4.62. Операпия ассопиативна, коммутативна; 1 — двусторонняя единица. 4.63. Операция ассоциативна, коммутативна; 0— двусторонняя единица. 4.64. Операция ассоциативна, некоммутативна; (1, О) — двусторонняя елиница. 4.65. Операция ассоциативна, некоммутативна; тождественное отображение е(х) = х является елиницей; отображения ~р,(х) = о — левые нули, правых нулей при 1Х~ ) 1 нет.
4.66. Операция ассоциативна, коммутативна; 0 в двусторонняя единица. 4.67. 0 — двусторонняя единица; нулей нег. Таблицу Кэли см. на рис. 45е. 4.68. 0 — двусторонний нуль; 1 — двусторонняя елиница; нулей нет. Таблицу Кэлисм. парис. 45г. 4.70. а) идемпотент 0; нильпотентных элементов нет; б) илемпотенты: О, 1; нильпотентные элементы: О, 2, 4, б. 4 71. Изоморфны множества из залач 4.54 и 4.67. 4.72. Да, отображение <р(х) = о + Ь вЂ” х — изоморфизм. 4.75. Нет.
4.76. а) Ер~и каждое (А;, ° ) коммутативно; б) если каждое (А;, ° ) ассоциативно. 4.77. а) Левые (правые) единицы — элементы вида (е!, ез, ..., е„), где е; — левая (правая) единица в А; при 1 = 1, 2, ..., я; б) левые (правые) нули— А,+ А,' В,+ В, ° Ответы и указание 275 l » -» 4.82. Да. 4.83. Нет.
4.84. Да. 4.85. Нет. 4.86. (2, 3, 6), (1, 3, б), (1, 2, 6), (1, 2, 3, 6). 4.87. Единица — й = ((х, х) ) х б Х) (лвусторонняя); нуль — И (двусторонннй). 4.88. Единица — тождественное отображение: е(х) = х для любого х; левые нули — такие отображенин у, что у(х) = а б Х для любого х, правых нулей нет. Т» можно считать подподгруппой В», если в Т» или в В» произведения элементов брать в обратном порядке.
4.89. 5. 4.91. Указание. Пусть Я вЂ” конечная полугруппа и а б Я. Тогда а»+ '" = а' при некоторых т, 1 > О, а значит, а'+ У = а! при у' р 1. Докажите, что (а""')з = а""' при достаточно большом Ф. 4.97. Указание. Обе части равенства абаЬ = е умножить слева на а и справа на Ь. 4.98. х = а гЬ, р = Ьа '. 4.99.
х = а 'сЬ '. 4.100. х = а 'Ь '. 4.101. х = Ьс 'а. 4.102. Указание. Пусть а б Я. Тогда существует и б Я такое, что аи = 1 -1 ! -ю ' -' » -» = а. Так как уравнение ра = Ь имеет решение, то Ьи = Ь при всех Ь б В. Следовательно,и — правая единипа. Пока- ! ! -1 -1 1 жите, что и является также левой еди- -1 -1 ! 1 -1 -»» ницей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
