341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (987777), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть с(1(х) — какой-либо общий делитель многочленов у(х) и д(х). Так как бг(х)) у(х), д(х), то 41(х)(г1(х) = у(х) — д(х)91(х). Двигаясь вниз по строкам алгоритма Евклида, будем получать: 41(х)(гэ(х), А(х))тэ(х), ..., А(х)(ть(х). Ответы и указания 283 Итак, гь(х) делится на любой общий делитель многочленов у(х) и д(х), значит, гь(х) = (у(х), д(х)).С 4.342. а) а Докажем вначале данное утверждение для двух многачленов. Пусть Ы(х), 81(х) — многачлены, каждый нз которых удовлетворяет определению наибольшего общего делителя многачленов у(х) и д(х), а гь(х) — наибольший общий делитель этих многочленов, полученный с помощью алгоритма Евклида. Тогда 61(х) ( гь(х) (см. задачу 4341). Так ван гь и 41 одной степени, то 4 (х) = = ргь(х) при некотором р 6 Г, р ф О.
Аналогично И(х) = егь(х), где е б Р, и ф. О. Отсюда следует, что д(х) = (ер ')Ы1(х). Для я многочленов доказательство проводится индунцией по и. Пусть даны и многочленов у1(х), ..., у„(х) и Н, 4 — их наибольшие общие делители. Тогда 4(х) = (и(х), ~„(х)), 41(х) = (и1(х), ~„(х)), где и(х), и1(х) — наибольшие общие делители многочленов Л (х), ..., 1„1(х). По предположению инцукции и = Дим где Д 6 Р, 11 1~ О. Значит, д(х) и 81(х) — наибольший общий делитель многочленов и(х) и у„(х). Отсюда Н(х) = Л4(х) при некотором Л 6 г', Л ~ О. 6) Указание.
Доказать сначала, что д(х) = у(х)и(х) + д(х)о(х), где П(х) = фх), д(х)), двигаясь по строчкам алгоритма Евклида снизу вверх; затем рассуждать по индукции.[> 4.343. а) ю Пусть (у(х), д(х)) = 4(х). Тогда у(х) = у1(х)й(х), д(х) = = д1(х)Ы(х), где (11(х), дд(х)) = 1. Положим М(х) = у1(х)д1(х)4(х). Ясно, что М(х) — общее кратное многачленов У(х) и д(х). Докажем, что и(х) ~ М(х) для любого и(х) общего кратного многочленов у(х) и д(х). Таи иак и(х) ~ у (х), тон(х) ~ и(х), следовательно, и(х) = и1(х)д(х). Тан нак и(х)) у(х), то и~(х)) ~~(х), поэтому и1(х) = ~~(х)е(х). Так нан и1(х)~ уэ(х), то у1(х)а(х)~ уэ(х); учитывая, что (11(х), ут(х)), получаем: и(х)~ уэ(х). Значит, е(х) = ю(х)уэ(х).
Таким образом, М(х)~и(х) = = и1(х)4(х) = у1(х)а(х)4(х) = у1(х)ш(х)уэ(х)й(х), т.е. М(х) — наименьшееобшее кратноемногочленову(х) и д(х). 6) Указание. Сохраняя обозначения пункта а), получим: М(х)д(х) = 71(х)д1(х)4х)4х) = = у1(х)и(х)д1(х)с((х) = у(х)д(х). Длн другого наименьшего общего вратного ти(х) имеем: тл(х) = ЛМ(х) (Л 6 Г, Л ~ 0), а значит, ,у(х)д(х) = ЛМ(х)п(х).с 4.344. а хэ — Зхэ — х — 6 = 1 (хз + х — 2) + + ( — 2хэ — 2х — 4), хз + х — 2 = ( — 0,5х + 0,5)( — 2хэ — 2х — 4). Тан пав — 2хэ — 2х — 4 = — 2(хэ + х + 2), то хэ + х + 2 — наибольший общий делитель многочленов. ~> 4.345. хт + х + 1. 4.346. хт + 2х + 3. 4.347. х + 2. 4.348.
х' — 1, где И = ПОД(гя, и). 4.349. Ы(х) = хэ — 2, и(х) = — х — 1; а(х) = х+ 2. Указание. Для нахождения многачленов и(х) и а(х) двигаться по строкам алгоритма Евклида снизу вверх. 4.350. 4(х) = хэ + 1, и(х) = — 1, е(х) = х + 1. 4.351. 4(х) = хэ + 2х + + 3, и(х) = Зх + 2, а(х) = 2х + 4, 4.352. 4хч — 27хэ + ббхэ — 65х + 24. 4.353. а) 3; — 1; б) Ы~/2, ж21ъГЗ. 4.354. Да. 4.355. При нечетных и. 4.356. о = О, Ь = 1. 4.357. а = 1, Ь = 4. 4.358.
(хэ + х+ 1)х 284 Ответы и указания х(х — 2)(х + 3). 4.359. хз + хз + х + 1. 4.365. (х + 1)(х + 2) х х(х — 5). 4.366. (х — 2)(х + 3)(х — х + 1) над И, (х — 2)(х + 3) х 1 — 11/3 1 / 1 — 1»/3 4»-1 / 2»ь«'» х х — х+ над С. 4.36Т. П ~х — е и над 2 )1 2 »»» / 2хй С; над К при нечетных и (х — 1) П (хз — 2х сов — + 1, где ш = 1=1 а и — 1 »» / 2хЬ , и при четных п (х — 1)(х + 1) П ~хз — 2х соа — + 1, где 2 Ь=1 и т = —.
4.368. (х2 + 1)(х+ 3)(х — 2) над К, (х+ «)(х — 1)(х + З)(х — 2) 2 над С. 4.369. (х + З)(х + 2)(хз + х + 1). 4.370. (х + 1)(х + З)2. 4.3Т1. (х + 2)2. 4.372. (х + 4)(х + 5)(х2 + 1). 4.373. (х2 — 2х + 2)х х(х + 2х + 2). 4.3Т4. (х + 1) . 4.375. (х2 + З)(х2 — Зх + 3)х р-1 х(хз+ Зх+ 3). 4.376. П (х — у). 4.3Т7. х« + 4х2+ 1. 4.3Т8. 2хз + 1'=1 + 2х + 2. 4.379. Да. 4.380. Да.
4.381, Нет, х = 1 — корень. 4.382. Да. 4.383. Да. 4.384. Да. 4.386. «2 Рассуждаем аналогично тому, как Евклид доказывал бесконечность множества простых чисел. Если р1(х), рз(х), ..., р„(х) — все неприводимые многочлены, то многочлен р1 (х) р2(х) ... ... р„(х) + 1 имеет неприводимый множитель, отличный от р1 (х), р2(х), ..., р„(х), — противоречие. [> 4.38Т. Указание. Рассуждать «методом от противного». 4.388.
Указание. Воспользоваться результатом предьгпущей задачи. 4.389. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи, 4.390. Указание. Воспользоваться критерием Эйзенштейна. 4.395. х + х+ 1, х + х + 1. 4.396. /1 — — хз + 2х + 1, /2 — -хз+2х+2, /2 =хз+хз+2, /«=хз+х2+х+2, 2/1, 2/2, 2/з, 2/4 4397. х« + х + 1, х« + хз + 1, х« + хз + + х2 + х + 1. 4.398. 2. 4.399.
Таких а нет. 4.400. 2, 3. 4.401. О. 4.402. Например, хе + хз + 1 (всего таких многачленов 9). 4.404. У к азание. пусть /(х) = хг — х + а = /1(х).../ (х), где /«(х) — неприводимы. Убедиться в том, что /1(х + с«) = Ях) при некоторых 1 и а, и воспользоваться результатом предыдущей задачи. 4.405.
г'. 4.406. Я. 4.407. (а + Ь« (а, Ь Е Щ 12 = — Ц. 4.408. Нет. 4.409. Нет. — 11х+ 8 х2+ 4х 4.410. Да. 4.411. х2 — 2х + 5+ . 4.412. 4х+ хз + 2х — 1 Зхз + х + 4 1( 1 1 1» ~ 1( 1 4.413. +, —, . 4.414.— + 4 (,х — 1 х+1 х — » х+»/ 4 1, х — (1+1)/1/2 1 1 1 1 + + 4.415. — х х — ( — 1 + 1)/»/2 и — ( — 1 — 1)/1/2 х — (1 — 1)/1/2/ 12 / 1 16 27 1 / х х х~ + — ). 4.416. — ~ + ~х — 1 х + 2 х + 3/ 16 1,(х — 1)2 (х + 1)2 Ответы и указания 285 х х 3 3 3 3 1 + —.
+ —, . 4.417. — х (х — 2)2 (х+ 2)2 х — 2 х+ 1 х — г х+ 2/' ' 3 1(3 3 4.419. — + + + — + 16 1х + 1 х — 1 (х — 1)2 (х + 1)2 хг + 1 (хг + 1)2 1 / 1 х — 1 2(х + 1) г 1 1 1 4.420. — ~ — — + — + ). 4.421.— + — + + 4~ х+1 хг+1 (хг+1)2) х х+1 (х+1)г 1 1 х 1 х+1 + 4.422. — + + †. 4.423. + (х+1)з' ' хг хг+х+1 х+1 ' ' хз+х+ х 1 1 2 2х+2 р ' 1 2 . 4.424. + + — + .
4.425.— хг+х+1 х х+1 х+2 хг+1 ь ох — 12 р-1 52 1 о — 1 Х 2х(сг '1 4.426. — Х вЂ”. 4.427. а) — ~, где ыь = ехр ( — ) над ,х — Й пь ох — щ,.' 1 1 2 ~" 012 х сов(2хй/п) — 1 С; б) при нечетном п: — — +— над п х — 1 п ь 2 хг — 2х сов(2тй/п) + 1 1 1 1 1 2 "Мг ' х сов(2т12/п) — 1 П; при четном п: — — — — — + Е пх — 1 пх+1 п ь, хг — 2хсов(2вй/п)+1 1 -2 огьг Х(х + 2л)с)г'1 у'(х) 4.428.
— — Х , '— ь, где ыь = ехр ~ ). 4.429. —. п ь о х — огь ~, п ) эг(х) ~2 4.430. х — — п. 4.431.. 4.432. Например, поле 22(х) ~рг(х) Ег(х) рациональных функций над полем Ег бесконечно и имеет характеристику 2. 4.435. 3. 4.436. О. 4,437. х = — 1 — корень кратности4.
4.438. х = 2 — двукратный корень. 4.439. Указание. Доказать, что / и /' взаимно просты. 4.440. ) 3. 4.441. 312552 + 108а = О, а 21 О. 4.442. а) х2; б) 3. 4.443. — 5. 4А44. З Пусть Р— поле, 1 ( Р и Х ф О. Возьмем элемент а б 1, а ~ О. По аксиоме (П9) существует элемент а '. Так как а е 1 и 1 = а ' а, то 1 е 1. Если г — произвольный элемент из 11, то т = г 1 б т1 С 1. Следовательно, В = Х.Ь 4.447. Например, А = (/(хг) ] /(х) 6 Г]х]), В = (/(хз) ] /(х) б Г(х]1; так квк хгх ф /(х ) + д(х ), то А + В не является подкольцом.
4А48. Да. 4.449. О, 2Его, 4Его, 5Его, 10Его, Его 4.451. а) 2 Докажем, что тЕ + пЕ = НЕ, где Ы = НОД(т, п). Действительно, так как д]т, то тЕ С Ю. Аналогично пЕ С с(Е. Так как И вЂ” наибольший общий делитель, то при некоторых х, р б Е имеет место равенство а = тх + пд. Следовательно, д е тЕ + пЕ, а значит, ИЕ С тЕ + пЕ. Таким образом, тЕ + пЕ = ЫЕ; б) тЕП пЕ = 2Е, где $ = НОК(т, п); в) тЕ пЕ = = тпЕ. > 4.452. 2Е. 4.453. Е. 4.454. 2ОЕ. 4.455. 24Е. 4.456. 0 Ю О, Ег Ю О, 0 чг Ег, Ег Е Ег. 4.457. З Если 1 = О, то Х = /(х)р'(х] лля 286 Ответы и указания /(х) = О.
Пусть теперь Х 14 О. Выберем в 1 ненулевой многочлен /(х) наименьшей степени. Так как /(х) 6 1 и Х вЂ” идеал, то все многочлены /(х)д(х) при д(х) б В[х] лежат в 1, т.е, /(х)г'[х] С 1. Осталось показать, что 1 С /(х)Г[х]. Возьмем любой элемент Ь(х) 6 1.
Разделим Ь(х) на /(х) с остатком: Ь(х) = /(х)и(х) + т(х), где пебт(х) < бе8 /(х). Так как т(х) = Л(х) — /(х)и(х) и Ь(х), /(х) 6 1, то т(х) б 1. Так как /(х)— многочлен наименьшей степени из 1~(0), то т(х) = О. Значит, Ь(х) = = /(х)и(х) б /(х)Г[х]. Ввиду произвольности элемента Ь(х) б Х получаем: 1 С /(х)Р[х]. Таким образом, 1 = /(х)г'[х].С 4.459.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
