Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда И,„ет,= ! й, ! Е„,ааз/Ее=5.9 10 — ' А/м, О„, „р — — T Е „,д/Е„=9.2.10-' А/и. Графики зависимостей 77, (ср) и Т, (ф), рассчитанные для некоторого конкретного значения е, изображены на рис. 6.8. Следует обратить внимание на то, что при чз 90' величина Тл монотонно стремится к нулю, в то время как коэффициент отражения ег„, отрицательный при любом угле падения, стремится к значению — 1. Глава б.
Падение ллосяих волн на границу раздела !!8 Параллельная поляризация характеризуется тем, что векторы Е всех трех волн — падающей, отраженной и преломленной — параллельны плоскости падения (рис. 6.9). По аналогии со случаем перпендикулярной поляризации можно записать граничные условия непрерывности касательных составляющих векторов электромагнитного поля. Данные условия принимаад ют вид (Еа„+Е„р) соз Р=-Еар соз ~У, (6. ЗЗ) (Еч„— Е„р)/Л„=Е„р/л.сз. (6.34) Введем коэффициенг отражения и коэффициент преломления Т „ по электрическому полю (ннжний значок указывает на то, что данньге величины относятся к случаю параллельной поляризации). Разделив обе части равенств (6.33) и (6.34) на комплексную амплитуду Йааа, получаем следующую систему уравотносительно неизвестных лт' г и Т г .
-ас Рис. 6.!О. Зависимости иозффициентов отражения и преломления от угла падения для случая параллельной поляризации при значениии е = 2.56 ненни (1+77~) соз о=Тг соз ф, (1 — 77 г )!Л„= — 7' г (Л,з откуда (6. 35) гз Лгз СОЗ е — лгг Сон 9 сг= Лсз СОЗ Ф + Ли! СОЗ т (6.36) 7. 27сз соз т г лез соз ф+ лсг соз т (6.37) )' а — яп2т а соз В йг= )' е — а!Пз е .!- а соз е (6.38) 2р/а соз т л т'а — Мп2е ц-а соз у (6.39) Если средой 2 служит немагнитный диэлектрик с относительной проницаемостью е, формулы (6.36) и (6.37) приводятся к виду, более удобному для инженерных расчетов: 6.5. Угол Брюетера 1!9 Конкретные графики зависимостей )т1 (1р) и Т, (1р), полученные в соответствии с данными формулами, изображены на рис.
6.!О. Сравнивая их с аналогичными зависимостями, изображенными на рис. 6.8, можно отметить, что характер кривых Т1 (ер) и Тг Щ) ПРаКтИЧЕСКИ ОДИН И тОт жЕ. ОДНаКО КРИВЫЕ )1'1(ЕР) И 1т'л (1Р) принципиально различны — монотонно возрастающая функция г~'т (ер) при некотором значении угла падения изменяет знак, проходя через нуль, 6.6. Угол Брюстерв Так принято называть угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, переходит через границу раздела двух материальных сред. Из выражений (6.29) и (6.36) следует, что угол Брюстера ер, удовлетворяет одному из двух уравнений: Лет С05 ~5 — Ле1 Соз уз=0 (6.40) при перпендикулярной поляризации, либо Лет соз тв — Ле1 соз 'та=0 (6.41) откуда легко находим 9 в = агс 1Я )/а .
(6.42) Явление Брюстера используется в технике. Так, пластина из диэлектрика, установленная под углом Брюстера по отношению к направлению распространения падающей волны, при правильном 'при параллельной поляризации. Здесь под трв подразумевается Угол пРеломлениЯ, соотвстствУюЩий УглУ падениЯ 1Рв. Рассмотрим типичный случай, когда обе граничащие среды являются немагнитными диэлектриками (р1=1лт=1), причем оптическая плотность второй среды больше, чем первой (55)51). Из этих предположений следует, что л,1)Л„. Кроме того, в силу закона Снелля имеет место неравенство ер)тР, т.
е. соз ей<сов ф. Обратцаясь к уравнениям (6.40) и (6.41), видим, что первое из этих уравнений в рамках сделанных предположений не имеет решений. Таким образом, явление Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может наблюдаться лишь при параллельной поляризации падающей волны. Удобную формулу для вычисления угла Брюстера можно получить из соотношения (6.38). Действительно, угол ера служит корнем уравнения е со5 ~5=) а — 5!п тв, 120 Глава б. Г)адские плоских волн на границу раздела выборе поляризации не создает отражений. В то же время эта пластина может играть роль конструктивного элемента какого-либо прибора, обеспечивая, например, его вакуумное уплотнение. Важно отметить, что при падении плоских волн из вакуума на диэлектрическое полупространство (е .-1) знаки действительных коэффициентов отражения )г'х и Я, совпадают при гр(грв и оказываются противоположными, если гр)грп (см.
Рис. 6.8 и 6.10). 1и Эта дает возможность преобразовывать направление вращения векторов в волнах с круговой или эллиптической поля!с ризацией. Чтобы убедиться в этом, вве- дем единичные векторы перпендикулярП пал ного 1, и параллельного ! ) направлений (рис. 6.11) и представим электрический вектор падаю)цей волны, поляризованной по кругу с левым направлением враще- 1 ния, в форме — )В, 1В *) п те" ссс т) ~чгл= — кцлс () Г /)х) Е Рис.
6.11. Единичные век- (6. 43) торы перпендикулярного и параллельного направления [ср с Формулой (3.50), приняв во вни- мание, что векторы )в и 1, ориентированы по отношению к вектоРУ П„, так же, как и вектоРы 1, и )в по отношению к 11. Тогда комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны р Е (гз - г> ° ) — )В 1У мп т — г сос т) (6.44) при ц))грв будет, очевидно, соответствовать эллиптически поляризованной волне с правым направлением вращения. Действительно, здесь два взаимно перпендикулярных компонента, поляризованных линейно, имеют разность фаз, отличающуюся на 180' от той, которая наблюдается в падающей волне. 6.7. Полное внутреннее отражение Обратившись вновь к формулировке закона Снслля з(п р!з(пФ=п.,/и„ заметим„что могут представиться два случая: 1.
Оптическая плотность среды 2 превосходит оптическую плотность среды 1, т. е. пз)пь При этом всегда зр(ц), а поскольку угол падения ц) лежит в интервале 0:. р(90', преломленная волна существует при любом угле падения. 6.8. Неоднородные плоские волны 121 2. Среда 2 оптически менее плотна по сравнению со средой 1, т. е. и, -пь В этом случае всегда зр)ср и поэтому найдется такое значение угла падения, при котором преломленная волна будет распространяться параллельно границе раздела под углом зр=90'. Данное критическое зпачспне угла падения называют углом полного внутреннего отражения: ~рпво=агс з|п (п,~п,). (6.45) При углах падения ср)~рава преломленной волны в обычном смысле не существует; энергия падающей волны полностью отражается внутрь среды с большей оптической плотностью, Явление полного внутреннего отражения широко используется в оптике, например для изменения направления пучка лучей при помощи призмы (рис.
6.(2). Подобные же устройства находят применение в коротковолновой части СВЧ-диапазона (на частотах выше 50 ГГц). 6.8. Неоднородные ппоскме волны ПРивеДенный анализ ЯвлениЯ полного р В 12 д Рис. 6.12. Диэлектривнутреннего отражения является неполным, ческэи призма с ионпоскольку пе позволяет ответить на вопрос о иым внутренним оттом, чтб происходит при углах падения ср, Р превышающих угол српво. Обратимся к формуле (6.24), предполагая, что пе(пь Можно заметить, что в этом случае при ~р)ерово величина з1п ф должна быть больше единицы. Если угол преломления является действительным, такая ситуация ненозможна.
Однако известно, что синус, рассматриваемый как функция комплексного аргумента, может принимать любые, н том числе сколь угодно большие, действительные значения. В соответствии с этим формально будем считать, что при ср)српио угол преломления зр, достигший значения 90' при ср=-српио, получает мнимые приращения, так что ф=90' + )а. Легко проверить, что при этом в1п ) сйа; соз ф= — уз(1а. (6с46) Итак, концепция комплексного угла преломления позволяет удовлетворить закону Снелля в области углов падения, превышающих угол полного внутреннего отражения. Подставив выражения (6.46) в формулу (6.19), находим зависимость комплексной амплитуды электрического вектора преломленной волны от пространственных координат: (6.47) 122 Глава В.
Падение плоских волн на границу раздела По математической форме данное соотношение весьма напоминает выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распространяющейся в среде с потерями (см. гл. 5). Однако имеется и принципиальная разница, так как в соответствии с выражением (6.47) волна распространяется вдоль координаты у, в то время как экспоненциальное уменьшение амплитуды волны происходит вдоль координаты з. Подобные процессы называют неоднородными плоскими волнами. С физической точки зрения рассматриваемая неоднородная плоская волна распространяется вдоль границы раздела, как бы «прилипаял к ней, т. е.
с резким уменьшением амплитуды при удалении точки наблюдения от границы раздела по направлению нормали. Указа1шая особенность дает основание называть такие волновые процессы поверхностными волнами. На первый взгляд может показаться, что понятие плоской волны, распространяющейся под комплексным углом по отношению к некоторой выбранной оси, довольно искусственно. Однако, по существу, такая расширенная трактовка математической модели волнового процесса совершенно правомерна. Дело в том, что функция вида (6.47) является одним из частных решений уравнения Гельмгольца дгЕ„р д2Е„е В этом можно убедиться прямой подстановкой, приняв во внимание, что зЛ'а=сЛ2 а — 1.
Поскольку сЛа) 1, коэффициент фазы поверхностной волны (зиов=р2 сЛ а всегда больше коэффициента фазы однородной плоской волны с той же частотой. Так как коэффициент фазы непосредственно связан с фазовой скоростью соотношением оф=го/р, приходим к выводу о том, что неоднородные поверхностные волны имеют меньшую скорость по сравнению с однородными плоскими волнами. По этой причине поверхностные волны называют также замедленными волнами. Наибольшее замедление фазовой скорости наблюдается в том случае, когда волна в среде 1 распространяется параллельно границе раздела, т.
е. когда ц~=90'. При этом с Л а = п,(пх' р = М(пз'= ри Таким образом, фазовая скорость волн в оптически менее плотной среде стремится к величине, свойственной более плотной среде. Остановимся, наконец, на вопросе о глубине проникновения волн в среду л при полном внутреннем отражении. Из формулы (6.47) следует, что расстояние вдоль координаты е, ва котором амплитуда поля уменьшается в е=2.718...раза, есть е( = 1(((22 сЛа). бб. Неоднородные нлоенне волны 123 Таким образом, электромагнитное поле в менее плотной среде 2 практически существует лишь в поверхностном слое, толщина которого порядка одной длины волны. Существенно, что с ростом угла падения ер замедление становится более интенсивным, а глубина проникновения поля в менее плотную среду сокращается.
Пример 6.3. Найти фазовую скорость и глубину проникновения неоднородной плоской волны, возникающей при падении плоской электромагнитной волны из среды ! с параметрами в~=3.4, р1=1 на границу раздела со средой 2, имеющей параметры ее=1, )ее= — 1. Угол падения гр=45', частота поля 1=35 ГГц. В данном случае угол полного внутреннего отражения ~разо=агс з)п (1Д'' 3.4)=--32.8'. Поскольку ~р)грпзо, неоднородные плоские волны в среде 2 действительно возникают. Для определения комплексного угла преломления воспользуемся законом Снелля з)пФ =) ' 3.4 з)п р=- 1.3, откуда получаем уравнение относительно параметра ен сЬа='7,(е" +е — ") =1.3. Чтобы численно решить это трансцендентное уравнение, преобразуем его следующим образом: а=.)и(2.6 — е ').
Взяв в качестве нулевого приближения к корню значение а=-0 и проведя на микрокалькуляторе ряд последовательных итераций, получаем приближенное значение корня а=0.756 (все знаки верные). Таким образом, угол преломления ф.=-я!2+ (0.756. Коэффициент фазы однородной плоской волны в среде 2 рз=ы)с=733 и — '. Коэффициент фазы поверхностной волны с)за.=952.9 м — ', откуда фазовая скорость н~в „,— — ы/~„„=2.308 10' м7с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
