Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 25
Текст из файла (страница 25)
роль коэффициента фазы направ- '-.Т"" ,-„",- ,,';:=:::,:;'':::."",."':.;„:;:т;;:-,'..::/,';:::',;,: ляемых волн над проводящей 'а' ".'Х,.",::: ',"=';-:;,;.;:::-:.,;..~» ''::,:.:;;! плоскостью. Тогда, по определению, фазовая скорость волнового процесса .Ь „. ,р о П Зов!от Мпт (7. 25) 7.З.
Структура поля Е- и Н-волн 135 Однако точка О, в которой пересекаются стенка и волновой фронт, будет двигаться быстрее: — (ОВ) = пфо/з(п ф, и и| что полностью соответствует формуле (7.25). Читатель, безусловно, не раз обращал на это внимание, наблюдая за тем, как волны набегают на берег водоема. Заметим, что если |у=0, то колебания во всех точках линии, параллельной стенке, происходят с одинаковой фазой. Поэтому формально можно говорить о трм, что фазовая скорость волнового процесса вдоль оси г обращается в бесконечность. Продольная и поперечная'длины волн.
Несмотря на существенные различия, структуры полей электромагнитных волн Е- и Н-типов имеют общую черту: проекции векторов поля описываются периодическими функциями как продольной координаты г, так и поперечной координаты х. Пространственный период поля Л,р,п вдоль оси распространения г будем называть продольной длиной волны.
Очевидно, что хо Лпроя— Ь ро о|п и о|п т (7.27) где Хо — длина однородной плоской волны в свободном пространстве. Отметим, что всегда Лпроп>Хо, так как Оф>с. Аналогично, пространственный период стоячей волны вдоль поперечной оси х будем называть поперечной длиной волны.
2п Ло Л попер й аоот (7.28) ПаРаМЕтРЫ ЛО, Лпроя Н Лпопер СВЯЗВНЫ ОЧЕВИДНЫМ СООТНОШЕНИЕМ 2 . 2 2 г Лпроп з|п т+Лпопер с05 ее = 2е о. (7.29) Пример 7.1. Плоская электромагнитная волна с параллельной поляризацией, имеющая частоту 1=5 ГГц, падает из вакуума под углом |у=40' на границу раздела с идеальным проводником, образуя в верхнем полупространстве волну Е-типа.
Найти продольное волновое число й, поперечное волновое число д, фазовую ско- роетЬ Е-ВОЛНЫ Оф, а ганжа дЛИН|я ВОЛН Лпроя И Лпопер. Прежде всего определяем коэффициент фазы в свободном пространстве: ~о=ш!с=6.283.5,102Я(3.10о) 104.72 м '. Глава 7. Основы теории направляемых волн 136 Затем по формулам (7.18) и (7.19) находим /а=раз!п40'=5731 м — ', д= — росоз40'=.8022 м — '.
На основании соотношения (7.25) фазовая скорость Е-волны юе — с/з!и 40*=4.бб7 10' м/с. Наконец, в соответствии с выражениями (7.27) и (7.28) имеем Л„р„— 2л//а=0.093 м=9.3 см, Л„,„р=2л/я=0.078 м=7.8 см. Структура силовых линий электрического и магнитного полей. Чтобы наглядно представить электромагнитный процесс, который возникает при падении плоской волх т ны на идеально проводящую плос- кость, целесообразно построить сна ловые линии электрического и магнитного полей. Такое построение можно выполнить на основании Ех формул (7.2! ) — (7.22) и (7.23)— вх (7.24) . м аду ед с Рассмотрим вначале данную за- дачу в общем виде. Пусть кривая 0 МЛ/ на рнс.
7А является некоторой силовой линией поля Е, наблюдаеРие. 74. К нынолУ ниФФеРенци- мой в фиксированный момент вреальных уравнений силоиых линий алентромагнитного поля мени /а. Вектор Е, определенный в точке А и имеющий проекции Е„и Е„изображен отрезком АВ. Согласно определению, этот отрезок направлен по касательной к силовой линии. Если координата д в точке А получает приращение дг, то, перемещаясь вдоль силовой линии, мы из точки А переходим в точку Г), прн этом координатах получает приращение на величину с)х. Пренебрегая бесконечно малыми величинами порядка (г)х)а и (г)г)а, можно заменить дифференциал дуги отрезком касательной и считать, что «треугольник» А/)Е подобен прямоугольному треугольнику АВС, Отсюда следует, что дх оа Ек (х, х, Да) Е» (х, а, Да) или Ех(-т ° д Де) (7.30) ах Еа (х, а, да) !37 7.З.
Структура поля Е- и !т'-волн Равенство (7.30) представляет собой дифференциальное уравнение силовой линии рассматриваемого поля. Помимо уравнения необходимо задать также начальное условие„указав некоторую точку пространства с координатами (хв, гв), через которую должна проходить эта силовая линия.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что если в окрестности выбранной точки правая часть уравнения вида (7.30) имеет непрерывную частную производную по аргументу х, то такая точка является неособенной н через нее проходит единственная силовая линия (интегральная кривая). Продемонстрируем описанную методику на примере построения силовых линий поля электрического вектора для Е-волны (формула (7.21)1 Прежде всего, переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям поля, запишем Е(х, х, /)= — 2Е 51п у созйх соз(м/ — асс)!„— — 2Е сов~.з)пух ып (н/ — /сх) !,.
(7.31) Здесь принято во внимание, что г-я проекция опережает по фазе х-ю проекцию на и/2 радиан и поэтому соз (н/ — лх+ и/2) = — 5!и (в/ — /сх). Условимся строить силовые линии поля в момент времени /=О. Тогда на основании выражений (7.30) и (7.31) имеем дифференциальное уравнение ах 5!и т со5ух соБ пх (7.32) ав сов т' 5!и дх 5!и пх Анализируя данное уравненне, приходим к следую!цим выводам: 1) На границе раздела при х=О производная с)х/с(г неограниченно велика.
Значит, силовые линии поля Е в полном соответствии с граничными условиями подходят к поверхности идеального проводника по нормали. 2) Картина силовых линий поля является периодической с пеРиодами Лпр,д и Лп,„,р по осЯм з и х соответственно (см. фоРмУ- лы (7.27) и (7.28)). Поэтому силовые линии электрического вектора волны типа Е представляют собой замкнутые кривые, лежащие в плоскости ХОХ.
Исключение составляют лишь те линии, которые «входят» в идеальный проводник или «выходят» из него. На рис. 7.5 изображена группа кривых, построенных путем численного интегрирования на компьютере уравнения (7.32) для частного случая Е=45', когда волновые числа й и д совпадают. В целях удобства построения по координатным осям отложены безразмерные аргументы пг и пх. Кривые построены в пределах квад- !38 Глана 7.
Основы теории калравллемьгх волн рата, внутренние точки которого удовлетворяют неравенствам ат/2<йг<п; 0<дх<п/2. Требования к точности графического построения картины поля не слишком высоки. Поэтому использовался простейший численный способ решения дифференциального уравнения — метод Эйлера первого порядка, согласно которому уравнение (7.32) приближенно заменяют уравнением в конечных разностях Лх=1п р с1пдх с1дУгх.дх. Вычисления начинают с некоторой начальной точки (хс, гс). Далее определяют координаты очередной точки х,=хс+Лх, г1= =га+Лг, где Ла — фиксированрл ный шаг. Эту операцию цикличе- 7 Е ски повторяют до гех пор, пока л/,' текущая точка на кривой не достигнет границы области.
Кривые на рис. 7.5 построены для шести начальных точек, у которых координата пас=я/2 одна и та же, а координаты дхе прил/к х нимают значения 0.25, 0.5, 0.75, р г г з лл 1.0, !.25 и 1.5. Теперь не представляет труда Рис. 75, РезУльтат численного ин- изобразить полную картину ситегрирования дифференциального уравнения силовых линий влектри '.'ловых линий электрического векческого вектора ,.'.тора (рис. 7.6). Для этого доста- точно «повторить» картину, приведенную на рис. 7.5, должное число раз.
Необходимо лишь следить за тем, чтобы направления стрелок на силовых линиях чередовались в силу пространственной периодичности поля. На этом же рисунке построены силовые линии магнитного вектора Е-волны. Из формулы (7.22) вытекает зависимость напряженности магнитного поля от пространственных координат при 1=0: Н (х х 0) — соз а'х соз ьх !у 2Еы (7.33) ло Силовые линии такого поля представляют собой «нити», параллельные оси у. Направление вектора Н периодически изменяется в пространстве. Вектор, ориентированный от наблюдателя к плоскости чертежа, обозначен сплошным кружком; вектор противоположного направления обозначен кружком с точкой. Как принято в электродннамике, силовые линии проведены чаще там, где напряженность поля больше.
Полезно заметить, что магнитное поле Е-волны, будучи поперечным, концентрируется 1зр 78. Структура поля Е- и Н-волн именно в тех областях пространства, где велика поперечная проекция Е„ напряженности электрического поля. Наоборот, там, где продольная проекция Е, достигает максимума, проекция На обращается в пуль. Структура поля волны типа Т. Поперечные электромагнитные волны (Т-волны) существуют в полупространстве над идеально проводящей плоскостью в частном случае, когда угол падения плоской волны с параллельной поляризацией равен 90'. При этом поперечное волновое число д=-О, а продольное волновое число Ь=()о. Оо ° ° о О 7 Рис. 7.6. Структура силовых линий волны типа и над идеально проводиптей плоскостью Соответствующие проекции комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля прямо вытекают из формул (7,21) и (7.22), в которых следует опустить коэффициент 2, так как отраженная волна отсутствует: Е=Е е-)Р"1„, (7.
34) Н= — е — УР *1 . и,„ в' 2а (7,35) Отсюда мгновенные значения векторов Е(з, 1) =Е,„соз (ы1 — роз) 1, Н(з, т)= — соз(ы1 — Рса)1. Лв — у* (7.36) (7. 37) Глава 7. Основы теории нанравлнелых волн 140 В момент времени 1=0 имеем Е(з, 0)=Е„соз Коз)„ (?. 38) Н(х, О) = — соз р х1е. (7. 39) ло Картина распределения векторов поля в плоскости ХОХ, построенная на основании формул (7.38) и (7.39), приведена на рис. 7.7. Заметим, что она ничем ие отличается от картины поля однородной плоской волны. Рис. 7.7. Структура силовых линий ваправлнемой Т-волны Структура поля волны типа Н.
Исследование пространственной структуры силовых линий электромагнитного поля воды типа Н, возникающей над идеально проводящей плоскостью, можно провести аналогичным образом. Не останавливаясь на подробностях, запишем с помощью формул (7.23) и (7.24) выражения мгновенных значений векторов поля волны типа Н в момент времени 1=0: Е(х, х, О)= — 2Е„, 5(паях ° 51пйх 1„, (7.40) 2Е„, Н(х, х, О)= — 51п<у 51п хтх 51п ттх 1 ло 2Ем — соз р соз дх соз йз 1 . 2о (7.41) Дифференциальное уравнение силовых линий магнитного вектора в соответствии с выражением (7.41) имеет вид ох — =1оу 1ипх (пьх. (7.42) 7/1.
Характеристики поля Е- и Н-волн Картина силовых линий вектора Н, построенная путем численного интегрирования этого уравнения для частного случая р=45; приведена на рис. 7.8. Здесь же изображен эскиз пространственного распределения силовых линий вектора Е, построенный на основании выражения (7.40). Е е и ! ---~ 1Ь' к -1 )Е' = ~~' / х 1Ь' Ь1Ф1Ь1, ') ,'о101Ь1,( )1е Ф1Ь1(','1Е1О1Ь1( /1Ь1 / ',' / х / ' / / 11е '1Ь1 / 'Ь1 О1О1Е ~,' ) ~Е1Ф~Е1',,' 1Е~О~Е1( .,' ~Е1Ф1 ° 11 ', ~Е~ / / 'е~ ' ' 'е! / 1о' Е1Ф1Е1/ ' ~Е1О~Е1( ' 1Е1Ф1 ° 1', )1О1О1Е1' ', ~ ° 1 , °, ',,е, ~ !ь1, /',е, / т / / х / ! е! Ф1 ° 1 О1Ь о / е! Ф1Ь 1 Рис.
7.8. Структура силовых линий волны типа Н над идеально проводящей плоскостью Следует обратить внимание на то, что в силу граничных условий при х=О нормальная составляющая магнитного вектора и касательная составляющая электрического вектора обращаются в нуль. В остальном картины полей волн Е- и Н-типов идентичны с точностью до перестановки векторов Е и Н. 7.4. Некоторые характеристики электромагнитного поля Е- и Н-воли Получив аналитические выражения (7.21) — (7.24) и построив картины силовых линий векторных полей Е и Н, перейдем к изучению некоторых частных характеристик электромагнитного поля направляемых волн над проводящей плоскостью. Плотность потока мощности направляемых волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
