Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Остается выбрать шесть величии — А, В, С, О, д„йи — таким образом, чтобы выполнялись граничные условия па стенках волновода. Прежде всего заметим, что из условия Е,=О при х=О и у=О следует обращение в нуль коэффициентов при косинусоидальных слагаемых, т. е. В=0=0. Тогда произведение двух оставшихся Глава Е. Прямоугольный металлический волновод 154 амплитудных коэффициентов можно обозначить через Е, и запи- сать пт ел а (8.24) где гп, и — любые целые положительные числа. Отметим, что для рассматриваемых здесь волн Е-типа ни одно из этих чисел не может быть нулевым. В противном случае проекция Е„а следовательно, и все другие проекции векторов электромагнитного поля тождественно обратились бы в нуль в каждой точке поперечного сечения волновода.
Итак, выражение тта 1 . (аи Е,(х, у)=Ер яп ~ — х) яп ~ — у), '(а ) (Ь (8.25) в которое входят два целочисленных параметра т и п, является решением краевой задачи (8.9). Собственные значения и собственные функции. Проведенный анализ позволяет сделать вывод: краевая задача вида (8.9) имеет отличные от нуля решения не при любых значениях параметра ст, а лишь при таких, которые связаны с геометрическими размерами стенок волновода соотношением (8.26) которое непосредственно вытекает из формул (8.15) и (8.24). Данная величина д, отвечающая паре чисел и и п, носит название собственного значения рассматриваемой краевой задачи для уравнения Гельмгольца .
Каждому собственному значению отвечает функция вида (8.25), называемая собственной функцией краевой задачи. Такая собственная функция описывает одно из бесконечного множества ре- Е,(х, у)=Е яп8' ха!пдву. (8.21) Теперь остается подобрать должным образом величины д, и дв. Из граничного условия Е,=О при х=а следует, что яп д„а=О. (8.22) Аналогичным образом граничное условие Е,=О при у=5 приводит к равенству яп евЬ= О. (8.23) Легко видеть, что равенства (8.22) и (8.23) будут тождественно выполняться лишь в том случае, если е е 8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 155 Атл гтп Х . !пп Ел= — / Ео соз ~ — х) 51п ~ — у) е-1"', воа а ) ~ Ь Е„= — / Е, ьйп ~ — х) соз ~ — у) е — твл, Е,= — Е, з!и( ™ х) з(п ~ у)е — Уо', Н =/ыв — Е ейп 11 — 'х) сов ~ — у) е — т ' Н„= — уоооо Ео соз ~ — х) з(п 1( — ) е о Ков о ~ в (8.27) Пример 8.1.
В заполненном воздухом прямоугольном волноводе с размерами стенок а=50 мм, Ь=25 мм возбуждена волна типа Еьь Вектор напряженности электрического поля в центре волновода при х=а(2, у=Ы2 имеет амплитуду Е,=200 В/м. Определить комплексную амплитуду вектопа ~ вдоль прямой линии, параллельной оси з и пересекающей поперечное сечение в точке с координатами х=15 мм, у=10 мм. Длина волны возбуждающего генератора Ло=35 мм. Коэффициент фазы в свободном пространстве ~=2п/Х~ — — 6.2832/0.035= 179.5 м — '.
Поперечное волновое число, соответствующее волне типа Еи, находим по формуле (8.26): 140.5 и '. шений уравнений Максвелла, которое в данном случае называют волной типа Е . Числа гп и п называют индексами волны данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей х и у соответственно. Поскольку индексы могут быть любыми, в прямоугольном металлическом волноводе возможно раздельное существование сколь угодно большого числа волн типа Е „. Однако из сказанного ранее следует, что волн типа Еол и Еыо не существует.
Структура электромагнитного поля волны типа Е . Решение краевой задачи, даваемое формулой (8.25), позволяет непосредственно написать выражение проекции Е, комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля. Все остальные проекции векторов электромагнитного поля волны типа Е в прямоугольном волноводе получаются дифференцированием на основании формул перехода (8.1): 166 Глава 8.
Прямоугольный металлический еоляоеод Продольное волновое число й=)/ ~' — па=111.7 м — '. Подставляя эти числа вместе с исходными данными в формулы (8.27), получаем зависимость комплексной амплитуды Н (А/м) от продольной координаты а вдоль выбранной линии: Н (а) =/0.151 ехр ( — у 111.7а) 1„— /О. 199 ехр ( — /111.7а) 1„. Система формул (8.27), содержащая исчерпывающую информацию об электромагнитном поле волн типа Е „, не позволяет, однако, наглядно представить себе пространственную структуру 1 х Рис.
8.2. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля лля волны типа Еы в прямоугольном металлическом волноволе такого поля. Для этой цели в прикладной электродинамике принято строить картины силовых линий электрического и магнитного полей. Не останавливаясь на деталях построения, описанных в гл. 7, приведем картину мгновенного распределения силовых линий векторов Е и Н в простейшей волне типа Е„ (рис. 8.2). Видно, что линии поля Е представляют собой «скобки», которые подходят к поверхности металла под прямым углом. Линии поля Н являются замкнутыми кривыми и лежат в поперечной плоскости. Картина поля периодична вдоль оси а; пространственным периодом служит длина волны в волноводе Лв=2п1гг.
С течением времени данная картина поля как единое целое перемещается вдоль оси г с некоторой фазовой скоростью ое. Направления векторов Е и Н, обозначенные стрелками на силовых линиях, таковы, что усредненный вектор Пойнтинга Пер ориентирован вдоль положительного направления осн а. Для любой более сложной волны типа Е картину, изображенную на рис. 8.2, следует «повторить» столько раз, каково значение индекса волны по той или иной координатной оси. В качестве 8.3. Критическая длина аолны, Диснерсионная характеристика 157 примера па рис. 8.3 приведена картина распределения силовых линий полей для волны типа Е22.
По причинам, которые станут ясными при дальнейшем изложении, волны типа Е в прямоугольном металлическом волноводе на практике используются довольно редко. а.З. Критическая длина волны. Дислерсионная характеристика аолновода Найдем связь между продольным волновым числом гг, двумя геометрическими параметрами волновода — размерами сечения и и Ь, а также длиной волны возбуждающего генератора Ло. Е и У Как указывалось в $ 8.2, продольное волновое число связано с коэффициентом фазы 8 плос- 1 г г + г г кой волны в свободном простран- 1Ц~ ф3 числом д: l Ь )т'птт о 2 (8.28) В свою очередь, поперечное волновое число, определяемое формулой (8.26), зависит от разме- О ров поперечного сечения и от ин- выбранггого типа волны' линий элект омагннтного поля н но никак не связано с частотой.
поперечном сечении для волны Формула (8.28) вскрывает типа Ега важнейшую особенность работы волновода как линии передачи электромагнитных колебаний. Если рабочая длина волны Ла мала настолько, что й)д, то продольное волновое число й оказывается действительным, а это, как известно, означает распространение колебаний в виде бегущих волн постоянной амплитуды. Если же длина волны генератора Л, увеличена настолько, что р(д, то вместо бегущих волн в волноводе могут существовать лишь нераспространяющиеся колебания. Амплитуда этих колебаний экспоненциально уменьшается вдоль координаты з, а фаза во всех поперечных сечениях постоянна.
Об этом свидетельствует мнимый характер продольного волнового числа. Говорят, что прн этом волновод с рассматриваемым типом волны работает н режиме отсечки. Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, когда ~=д. При этом гг=О и, как следствие, длина волны в волноводе Л,=со. Принято говорить, что волновод с выбранным типом Глава д. Прямоугольный металлический воляовод 158 волны оказывается в критическом режиме. Длину волны генератора, соответствующую случаю р=й, называют критической длиной волны данного типа н обозначают Хяр.
Из приведенных рассуждений следует, что в критическом режиме коэффициент фазы 2а 2 й ')с(т/а)т -)- (а/5)а (8.29) Анализ этого выражения показывает, что при не слишком больших значениях индексов т и и критическая длина волны по порядку величин совпадает с характерным размером поперечного сечения прямоугольного волновода. Так, для волны типа Ем при а=40 мм и Ь=15 мм имеем Л,р — — 14.74 мм.
Наряду с критической длиной волны можно говорить также о критической частоте (8.30) Связь между параметрами Ь, р и д на основании формул (8.28) и (8.29) можно выразить через соответствующие длины волн: ! ч / ! ! (8.31) Это равенство показывает, что при изменении длины волны генератора Л, длина волны в волноводе Л, изменяется не пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называют дисперсионной характеристикой волновода. В явном виде эта характеристика описывается формулой, вытекающей из выражения (8.3!): Л— "о (8.32) У ! — (Лв/Лкв)т Заметим, что вывод формулы (8.32) основан лишь на двух предпосылках — на пропорциональности комплексных амплитуд бегущих волн множителю ехр( — /йа) и на существовании режима отсечки.
Поскольку обе предпосылки относятся к волне любого типа в полом металлическом волноводе с произвольной формой 8,р — — 2л,'Л,р Отсюда получается формула для вычисления критической длины волны 8.8. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика (59 поперечного сечения, полученный здесь результат оказывается универсальным и может быть применим к любому волноводу. Отличия будут состоять лишь в различных способах вычисления критической длины волны. х(исперсионную характеристику волновода удобно изобразить графически (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
