Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Направляемая волна Е-типа, имеющая амплитудный коэффициент Е =500 В/м, существует над плоской границей раздела с хорошо проводящей немагнитной (9=1) средой. Удельная проводимость среды о=5.10т См/м, частота поля /=1 ГГц. Определите величину П,р „— модуль составляющей вектора Пойнтинга, которая описывает плотность потока мощности потерь. Здесь д — поперечное волновое число исследуемого проц а, оп- ределяемое, как известно, следующим образом: й = 1'(: — д'= ~«~~"врв — й'. (7.60) Равенства (7.59) могут рассматриваться как формуль ерехода от продольных к поперечным проекциям векторов т)аправляемого электромагнитного поля.
Роль их состоит в том, что достаточно найти лишь две функции я,(х, у) и Н,(х, у); остальные проекции определяются через них простым дифференцированием. 8!. Постановка задави 149 Глава восьмая ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД В данной главе будет рассматриваться полый металлический волновод прямоугольного сечения — линия передачи, находящая в настоящее время, пожалуй, наибольшее применение в технике СВЧ.
Задача об электромагнитных волнах в трубе с хорошо проводящими стенками представляет большой самостоятельный интерес и требует математических методов, более общих по сравнению с теми, которые использовались при изучении волн над проводящей плоскостью. 8.1. Постановка задачи Анализируемая здесь линия передачи представляет собой трубу с поперечным сечением прямоугольной формы (рнс. 8.1). Считается, что стенки трубы выполнены из идеального проводника (о= со). Размер сечения вдоль широкой стенки всегда в дальнейшем будем обозначать через а, размер вдоль узкой стенки — через Ь. Данный волновод помещен в декартову систему координат х, р, з так, как показано на рисунке. Волновод неограниченно протяжен вдоль осн з, кото- .
рая принимается за ось распространения электромагнитных волн Рнс. 8.1. Прямоугольный метал- Будем считать также, что внутри анчаскнй волновал волновода находится воздух или вакуум, т. е, среда с электродипамическими параметрами а,=еа, 1ь,=1ьа. ТакаЯ ситУациЯ чаще всего встРечаетсЯ на пРактике.
Поставим цель найти всю совокупность электромагнитных волн, которые описываются решениями уравнений Максвелла и могут существовать внутри волновода на всем протяжении оси. При этом мы не станем интересоваться тем, каким именно образом те или иные источники (антенны, электронные пучки и т. д.) возбуждают эти колебания в волноводе.
Можно сказать, что здесь будут рассматриваться свободные колебания в волноводе (ср. со свободными колебаниями в резонансном ЛС-контуре). Глава 8. Прямоугольный металлический волновод 150 8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводв — Гд дЕ» еа дх Л тм»о дЕ» ут ду — уа де» уг ду О ув»0 дЕ» дх (8.1) Если удастся найти проекцию Е, во всех внутренних точках поперечного сечения волновода, задача будет полностью решена.
Чтобы получить функцию Е,(х, у, а), следует воспользоваться уравнением Гельмгольца, которому удовлетворяет любая проекция векторов поля, в том числе и Е„при некотором фиксированном значении частоты; и'Е,+3»Е =О. (8. 2) Решение этого уравнения будем искать в виде, общем для всех волноводных задач, рассматриваемых в дальнейшем: Е,(х, у, х)=Е,(х, у) е — Гл». (8.3) Здесь Е.(х, у) — подлежащая определению действительная функция, описывающая распределение продольной составляющей электрического поля в поперечном сечении волновода. Амплитудное значение поля не зависит от координаты з, так как, по исходному предположению, потери в волповоде отсутствуют. Изменение фазы колебаний вдоль оси распространения учитывает экспоненциальный множитель вида ехр( †/Ьд).
Знак показателя экспоненты указывает на то, что решение вида (8.3) соответствует бегущей волне, которая распространяется в положительном направлении оси г. Продольное волновое число Ь нужно найти исходя из геометрических размеров а и Ь, а также длины волны возбуждающего генератора Ло. Вид решения, принятый выше, дает возможность несколько упростить исходное уравнение (8.2). Действительно, подставив (8.3) в (8.2) и воспользовавшись правилом дифференцирования экспо- Как уже известно, волны типа Е отличаются присутствием продольной составляющей вектора напряженности электрического поля, в то время как магнитное поле этих волн чисто поперечно, т.
е. Е +О, Н =О. Зтот несколько особый характер проекции Е, позволяет выразить все поперечные проекции векторов электромагнитного поля любой волны типа Е через частные производные от Е по поперечным координатам на основании формул (7.39). Поскольку здесь Н,=О, формулы перехода принимают весьма простой вид: В.2. Волны гиии Е в ирямоугольном волноводе !о! Е,=О при у=О, у=.Ь. (8.5) Проекция Е„, определяющая х-ю составляющую электрического вектора, должна обратиться в нуль лишь на широких стенках волновода, параллельных оси х: Е =О при у=О, у=Ь. (8.6) Наконец, на узких стенках волновода следует потребовать обращения в нуль проекции Е„: Е„=О при х=О, х=а. (8.7) Однако легко убедиться в том, что граничные условия (8.5)— (8.7) связаны друг с другом.
Действительно, согласно формулам перехода (8.1), в случае волн Е-типа проекции поперечных составляющих электрического вектора Е„и Е„пропорциональны частным производным дЕ /дх и дЕ /ду соответственно. Поэтому приведенную систему граничных условий можно записать через Е, и ее производные по поперечным координатам: х=О, х=а, Е,=О при (а) у=О, у=Ь, дŠ— *=О при у=О, у=Ь, дл (б) (8.8) дЕл — '=О при х=0, х=а.
ду (в) ненты, будем иметь следующее уравнение относительно неизвестной амплитуды Е (х, у): у'„Е„,-у Е,=-О. (8.4) Здесь "(т =дЧдх'+ д'/ду' — так называемый поперечный оператор Лапласа, действующий на неизвестную функцию лишь по координатам х и у; д= У р' — Ь' — поперечное волновое число. Граничные условия на стенках волновода. Наша конкретная задача — найти такое частное решение уравнения Гельмгольца(8.4), которое обеспечивало бы выполнение граничного условия Е,=О на идеально проводящем контуре сечения волновода.
В общем случае следует предполагать, что вектор напряженности электрического поля имеет все три декартовы составляющие. При этом з-я составляющая Е,ь, является касательной ко всем четырем стенкам волновода. Поэтому на стенках эта составляющая должна обращаться в нуль: х=О, х=а, Глава В. Прямоугольный металличеении волновод 152 Очевидно, что условие (а) обеспечивает постоянство Е, на контуре сечения волновода и автоматическое выполнение граничных условий (б) и (в). Краевая задача и ее решение. Мы убедились, что для исследования волн типа Е в прямоугольном волноводе необходимо решить уравнение Гельмгольца относительно амплитуды проекции Е вместе с соответствующим граничным условием на контуре поперечного сечения: (8.9) Ч ь Ее+ д'Е, = О, х=О, х=а, Е,=О при у=О, у=Ь. В математике подобную совокупность уравнения в частных производных и некоторых граничных условий называют краевой заДачей.
Конкретно краевая задача (8.9), согласно которой искомая функция должна обратиться в нуль на границе области, носит название однородной краевой задачи Дирихле. Интересно отметить, что рассматриваемая электродинамическая задача допускает наглядную механическую аналогию. Оказывается, краевая задача вида (8.9) возникает при изучении колебаний однородной жесткой мембраны прямоугольной формы с размерами сторон а и Ь. Искомая функция описывает смещение точек мембраны относительно положения равновесия в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Нулевые граничные условия указывают на то, что края мембраны жестко закреплены.
Среди известных в математике способов решения дифференциальных уравнений в частных производных одно из центральных мест занимает метод разделения переменных, иногда называемый также методом Фурье (что никак не связано с рядами или интегралами Фурье). Сущность метода разделения переменных состоит в том, что решение уравнения в частных производных отыскивается в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты. Применительно к краевой задаче (8.9) имеем Е, (х, у) = Х (х) 1'(у) . Подставив искомую функцию вида (8.!0) в уравнение Гельмгольца из задачи (8.9), получаем уравнение Х"У+Х> в+даХ~ =О, (8.11) в котором двойным штрихом обозначена обыкновенная (не частная) производная по соответствующей координате. 8.2. Волны гиии Е в ирямоугольном волноводе 153 Далее, разделив почленно обе части уравнения (8.11) на неизвестное решение в форме (8.10), будем иметь Х-1Х+Г1Г = (8.12) Заметим, что левая часть уравнения (8.12) есть сумма двух функций, каждая нз которых зависит только от одной переменной, х или у.
В правой же части располагается число — д', не зависящее ни от х, ни от у. Поэтому для того, чтобы (8.12) выполнялось тождественно при всех х и у, необходимо потребовать, чтобы Х-/Х= — Е'„ (8. 13) Г1)' =. — 8.~, (8.14) где д», ди — некоторые числа, удовлетворяющие в силу (8.12) очевидному соотношению К +Ки=й ° (8.15) Теперь смысл метода разделения переменных становится ясным: сложную задачу — поиск решения дифференциального уравнения в частных производных удается свести к более простой— интегрированию уравнений вида (8.13) и (8.14) в обыкновенных производных.
Эти два уравнения с постоянными коэффициентами можно записать в привычном виде: х" +д'„х=о, (8.16) г+Д'= — о. (8. 17) Общие решения уравнений (8.16) и (8.17) выражаются через гармонические функции пространственных координат и содержат четыре произвольных амплитудных коэффициента А, В, С и Вч Х(х)=.А ейп йях+Всоэдлх, (8. 18) )г (У) — С з(п диУ+ асов оиУ, (8.19) отсюда Е,(х, у)=(А з(пд„х+Всоздях)(С з(пдву+глсозйеу). (8.20) Итак, общее решение уравнения Гельмгольца, входящего в рассматриваемую краевую задачу, получено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
