Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(7.3) Заметим, что начальная фаза в выражении (7.2) может выбираться произвольно и поэтому допустимо считать, что вектор Е„„имеет чисто действительные проекции, что удобно для последующего анализа. При падении плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость возникает однородная плоская отраженная волна с волновым вектором (г„р=ро(сов 71„+ з(п 71,), (7.4) который в соответствии с законами отражения (см. гл. 6) направлен под углом ьр к положительному направлению оси х.
Комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны Г ~ зра (х еьь Р+е 5)п е) (7.5) Е,з =Ео„„е Р =Ее,.„е должна иметь такой векторный амплитудный коэффициент Еоотр, чтобы суммарное электромагнитное поле на границе раздела при х — 0 удовлетворяло граничному условию: х-я проекция вектора напряженности электрического поля должна быть равна нулю.
Иными словами, отраженная волна должна скомпенсировать касательную составляющую электрического вектора поля падающей волны на границе раздела. Как следует из рис. 7.1, для этого требуется, чтобы Е„,р — — Е з1 и ~71л — Е сонцем,. (7.6) Структура электрического поля над плоскостью. Не составит труда записать общее выражение для комплексной амплитуды электрического вектора суммарного электромагнитного поля в полупространстве х)0: Глава 7. Основы теории направляемых волн 130 +е — 1)о (х саар+» Мп т)) ° ( Е СО5 Πà — 1ра ( — х соз р+» Ип т) — 1)а (х соз з+» з)п Р)1 (7.7) л~» Полученное равенство целесообразно преобразовать, вынеся за скобки общие множители в обоих слагаемых правой части, а затем воспользовавшись формулами Эйлера: — 1Ра» з!и Р / 1ае» сое Р— 1)ах соз т) ° (е +е )1+ СОзтрс — 1ра» Мп О (Е1()ох соз т Е-1ро» саз т) ( =2Е„51п р сов(рох соз вз)е — 1ра» "" Р1„+ +12Е„СО5 ср 51П (рОХ СО5 я>) Š— 1 М '" Р1,.
(7.8) Структура магнитного поля над плоскостью. Поскольку электрический вектор падающей волны лежит в плоскости ХО2, перпендикулярный ему вектор напряженности магнитного поля имеет единственную составляющую, ориентированную вдоль оси у. Комплексная амплитуда у-й проекции магнитного вектора падающей волны должна зависеть от пространственных координат х и г таким же образом, как и комплексная амплитуда электрического вектора [см. формулу (7.2)): Ет — 1ро ( — х созе+» мпр). е ! Ео Нпзп (7.9) Сводка результатов. Итак, задача о поле над идеально проводящей плоскостью при наклонном падении плоской электромагнит- где Ля=377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума.
Так как вектор Пойнтинга отраженной волны направлен вдоль волнового вектора й„р, необходимо (рнс. 7.1), чтобы магнитный вектор отраженной волны Н„р на границе раздела был направлен в ту же сторону, что и вектор Нп,и. Тогда соответствующая комплексная амплитуда Ет — 1ра (х созе+» з(по). (7.10) Н„= е » о (в. Складывая выражения (7.9) и (7.10), получаем формулу, которая описывает пространственную зависимость комплексной амплитуды магнитного вектора суммарного поля: НХ Нпз +Нотр СО5 (рвх СОзт) Е 1)а» з!пр! 2Еы (7.11) 7П. Падение волны с параллельной поляриваиией ной волны с параллельной поляризацией решена полностью.
Окончательные формулы (7.8) и (7.11) дают возможность сделать ряд принципиальных выводов: Э При любых значениях угла падения ьр из интервала 0<Ч~<90' результирующее поле представляет собой волну, которая распространяется в положительном направлении осн г. Об этом свидетельствует характерный фазовый множитель вида ехр( — 1()вг з|п !р).
Так как фаза поля неизменна в любой плоскости г=сопз1, данный электромагнитный процесс является плоской волной. ° В отличие от изучавшихся ранее однородных плоских волн здесь амплитуды составляющих векторов электромагнитного поля в пределах плоского волнового фронта не постоянны, а зависят от поперечной координаты х по закону соя(рох соз ~р) или з|п((|ах сов ьр). Такие процессы являются неоднородными ллоскими волнами. С физической точки зрения в поперечной плоскости за счет интерференции падающей и отраженной волн возникает стоячая электромагнитная волна. ° Структуры полей электрического и магнитного векторов принципиально различны.
Магнитный вектор с единственной проекцией О, чисто поперечеп, в то время как электрический вектор имеет и поперечную проекцию Е„, и продольную проекцию Е,. Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-волнами. В литературе встречается также термин ТМ-волньь (от англ. Тгапзчегзе Маапе||с %ачез — поперечные магнитные волны). ° Возможен частный случай !у=90', когда падающая волна распространяется параллельно границе раздела, так что отраженная волна фактически отсутствует. Поле в полупространстве х)0 является при этом однородной плоской волной; векторы электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси распространения. Такие электромагнитные волны принято называть Т-волнами (от англ. Тгапзчегзе чч'ачез — поперечные волны). 7.2. Падение плоской волны с'перпендикулярной поляризацией Метод анализа электромагнитного поля над идеально проводящей плоскостью, развитый в предыдущем параграфе, можно без труда распространить на случай, когда падающая плоская волна имеет перпендикулярную поляризацию, т.
е. электрический вектор поля в каждой точке полупространства х)0 перпендикулярен плоскости падения. Соответствующий чертеж, поясняющий ориентацию векторов поля, приведен на рис. 7.2. Не повторяя в деталях ход выкладок, запишем комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля падающей волны в виде оь Глава 7.
Основы глории направляемых волн .1 32 — Тол ( — х соя р+х л1и р) ° Паад л ые 1р, (7.12) где Š— произвольный действительный коэффициент. Для того чтобы выполнялось граничное условие Е,=О при к=О, необходимо, чтобы в полупространстве х)О существовала плоская отраженная волна с комплексной амплитудой электрического вектора — Уль 1х ссл Р+х на Ю ° Е, = — Е„е 1„.
(7.13) Тогда результирующее электромагнитное поле в верхней полуплоскости имеет комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля Ев=Е„,„+Е„р — Е (е'Р"'"Р- х(Р— /Рь» соз р1 — /мг л1а р. гв — е )е 1р= Рис. 72. Падение плоской вол- =72Еы ейп (арах созе) е урл' "" р(р. ны с перпендикулярной поляриаапией на идеально прово- (7.14) дяп1укр плоскость Чтобы выяснить пространственную зависимость магнитного вектора, следует обратиться к рис. 7.2, заметно, что векторы Пойнтинга Паад и Петр бУДУт Действительно напРавлены вдоль волновых вектоРов каад и катр соответственно если амплитудные коэффици енты векторов напряженности магнитного поля таковы: Но — — — — 51пр !в Е„, Е,„ аад х х х сова!, х о о (7.15) Ноат = 51ПЯ4.
С05Т1л. Еы . Еы ло ло (7. 16) Тогда комплексная амплитуда суммарного магнитного вектора На=На, +Н„р — — — ~ 51п <р 5!п(рох соз 7)е — )р *" р1х— — — соз у соз (рох соз?)е — !Рях "" Р!,. 2Е,„ (7.17) Ео Анализируя формулы (7.14) и (?.17), приходим к следующему выводу: рассматриваемый электромагнитный процесс представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся в сто- 7.3. Структура поля Е- и О-волн 133 рону увеличения координаты х, т. е.
вдоль границы раздела. В поперечном направлении поле имеет характер стоячей волны. Принципиальное отличие от случая, изучавшегося ранее в-$7.1, состоит в том, что здесь электрическое поле имеет единственную отличную от нуля проекцию Е„и является чисто поперечным. Вектор напряженности магнитного поля, напротив, кроме поперечной проекции Н, имеет также продольную проекцию Н,. По этой причине такие направляемые волны принято называть Н-волнами или ТЕ-волнами (от англ. Тгапзчегзе Е!ес1Пс %ачез — поперечно-электрические волны).
В заключение отметим, что прн падении плоской волны с перпендикулярной поляризацией на границу раздела с идеальным проводником чисто поперечных Т-волн возникнуть не может. Действительно, проекция Н, тождественно равна нулю лишь при ф=90', когда созф=б. Однако на основании формулы (7.14) при этом одновременно Е„=О, т. е. такая электромагнитная волна не существует. (7.19) 7.3. Структура электромагнитного поля Е- и Н-аолн В предыдущих пунктах были получены формулы (7.8), (7.11), (7.14) н (7.17), которые определяют законы изменения в пространстве комплексных амплитуд электрического и магнитного векторов для волн Е- и Н-тнпов.
Займемся теперь анализом этих выражений, с тем чтобы найти такие важные характеристики направляемых волн, как фазовая скорость, среднее значение потока мощности и т. д. Поскольку аналитическая форма представления векторов поля через пространственные зависимости соответствующих проекций зачастую лишена наглядности, полезно также построить картины распределения в пространстве силовых линий электрического и магнитного полей. Продольное и поперечное волновые числа. Как уже упоминалось, характер зависимостей проекций векторов электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты г и поперечной координаты х совершенно различен: по оси з устанавливается бегущая, а по оси х — стоячая волна. Чтобы учесть эту особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два параметра: продольное волновое число й=1вз(пф (7.18) и поперечное волновое число й.
= ро соз ф, такие, что Ь'+8'=Ро (7.20) при любом угле падения ф. Глава 7. Основы теории направляемых волн 134 Формулы (7.18) и (7.19) дают возможность существенно упростить выражения для проекций векторов поля (нижннй индекс Х опущен, так как здесь и в дальнейшем речь идет только о суммарном поле): Е-волны Е=2Е з|п р соз нх.е — /ал)„лГу2Е соз р 31п дх е — уае1„ (7.2! ) Н = соз дх.е — Уае)в.
2Ет ло (7. 22) Н-волны Рнс. 7.3. Структура волновых фрон тов падающей н отраженной волн Видно, что при любом угле падения ак отличном от 90', имеет место неравенство тт )с. (7.26) Поэтому Е- и Н-волны часто называют быстрыми волнами. Физический смысл неравенства (7.26) легко понять, обратившись к рнс. 7.3, где изображена хорошо известная из повседневного опыта структура волновых фронтов падающей и отраженной волн, наблюдаемая на поверхности воды вблизи непроницаемой стенки (берега). Пусть офо — фазовая скорость падающей волны, ~р — угол падения.
Если в треугольнике ОАВ мысленно зафиксировать точку В, а точке А дать возможность перемещаться вместе с волновым фронтом, то, очевидно, — (АВ)=п а фо' Е=/2Е з(п ех е — тае)е, (7. 23) Н= — / з!яр з(ппх е — т '1„— — созо создх е — 1 т),, (7.24) 2Еы ° .«е. 2Ет го " го Фазовая скорость Е- и Н-волн. Характерный вид зависимости функций, представляемых формулами (7.21) — (7.24), от координаты г указывает на то, что продольное волновое число й играет е' '4':::::.':,-'.;".",::::,,:-".:!,.:::-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
