Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 29
Текст из файла (страница 29)
8.4). Вся область длин волн, меньших Л„,, является лв областью «прозрачности» данного волновода на рассматриваемом типе волны. При этом если Л,«Лкв превратности отсечки то длина волны в волн~(воде лишь в малой степени отличается от длины волны в свободном пространстве, всегда превосходя ее. Если параметр Лс на графике рис. 8.4 стремится к Лкр слева, то длина волны в волноводе стремится к бесконечхк ности. При переходе Лс через граничное значение Лкр в волноводе сушествуют уже не бегушие волны, а колебания, экспоненциально затухаюшие вдоль продольной оси а.
Всю область длин волн, которой соответствуют значения Лс)Л„„ называют областью «непрозрачности» или областью отсечки. Рис. 8лп Дисперсионная характе ристика волновала Пример 8.2. Прямоугольный волновод с размерами поперечного сечения а=60 мм, Ь=З5 мм работает на волне типа Ен. Определить коэффициент ослабления а в данном волноводе, если частота )с — — 0.8(кв. По формуле (8.30), критическая частота з 1ов 2 =4.96.10' Гц. На частоте )а коэффициент фазы в свободном пространстве ~=то/с=2п~о/с=103.88 м '. Поперечное волновое число 8 = (3.14)0.06)т+(3.14!0.035)а=103.91 м '. Здесь ~(д, так что продольное волновое число мнимое: Ь=+/)/8в — (4т=+у2.497 М '.
Глава 8. Прямоугольный металлический волновод 160 Если в последнем равенстве выбрать отрицательный знак, то зависимость комплексных амплитуд от координаты а вида ехр( — )лг) превращается в ехр( — аг), где вещественный коэффициент ослабления а=2.497 м' '. То, что на частотах )о))вр длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве, говорит о том, что волны в волноводах распространяются с фазовыми скоростями, ббльшими скорости света в вакууме. Поскольку фазовая скорость, длина волны н частота связаны между собой очевидным соотношением, то из формулы (8.32) следует, что фазовая скорость Юф— (8.33) )т) — Ро)хвр)а Поскольку волновод является системой с дисперсией, групповая скорость о,р в нем не равна фазовой скорости (см.
гл. 5). По общему правилу, ды 1 ~гр ' (8.34) да (да/д)в)(д)оФ-) После несложных преобразований отсюда получаем ~„, = с )/! — (),,)) ьр)ч. (8.35) Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой скорости и скорости света. Интересно отметить также, что фазовая и групповая скорости волны одного и того же типа связаны равенством (8.35) пфп„р —— с 2 на любой рабочей частоте. ВА. Волны тнпв Н в прямоугольном волноводе В данном параграфе будет изучен еще один класс типов волн в прямоугольном металлическом волноводе.
Эти волны, называемые волнами типа Н, характеризуются тем, что в них магнитный вектор имеет продольную составляющую с проекцией Й„в то время как электрическое поле поперечно, т. е. Е,=О. Будем считать, что геометрические и физические параметры волновода те же, что и при рассмотрении волн чипа Е. Комплексные амплитуды всех проекций векторов электромагнитного поля можно выразить через функцию Н, по формулам перехода, вытекающим из равенств (7.59): В.4. Волны тина Н в нрямоугольном волноводе 16! дНг ду — /Ь дН, и„= уг дх — Е'ио уе (8.37) дН дх — уй дН уз ду М"а у= Функция Й, является решением уравнения Гельмгольца и должна отыскиваться в виде Нг(Х, у, Х)=И,(Х, у)Š— глл.
(8.38) в котором, как и ранее, й=')г()г — й' — поперечное волновое число. Уравнение (8.39) следует дополнить граничными условиями, которые обеспечивают обращение в нуль касательных составляющих электрического вектора на идеально проводящих стенках вол. повода: Е„= — 0 при у= — О, у=у, (8.40) Е„=-0 при х=О, х=а. Формулы перехода позволяют записать данные условия через ис- комую функцию Н,: дН» — '=0 при у=О, у=-б, ду дН, (8.41) — '=0 при х=О, х=а. дх Таким образом, исследование распространения волн типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи (8.39) — (8.41) для поперечного уравнения Гельмгольца.
Данная краевая задача отличается от той, которая описывает распространение волн типа Е, так как здесь на границе раздела воздух в металл обращается в нуль не сама неизвестная функция, а ее производная по нормали. В математике такие краевые задачи называют однородными краевыми задачами Неймана. Проблема, полностью аналогичная рассматриваемой, возникает в механике при изучении колебаний упругой мембраны прямоугольной формы со свободными краями. Равенство нулю нормальной производной на краях означает отсутствие внутренних напряжений в этих точках мембраны. 6 — 1З7Ч При этом амплитудная функция Н,(х, у) удовлетворяет двумер- ному уравнению Гельмгольца ту',и.+8'н,=-О, (8.39) Глава 8. Прямоугольный металлический волновод 152 (8.44) рл=гпп/а, де=ил/Ь, где пг, и — целые положительные числа, не равные нулю одновременно.
Как и ранее, поперечное волновое число д определяется соотно- шением р )/(льп/а)г+(лгьяе (8.46) Каждой паре индексов лг, п соответствует волна Н-типа, обозначаемая как Н „. Критическая длина волны находится по формуле, совпадающей с (8.30): Лкр —— (8.46) ) г(т/а)5+(а)Ь)а Для волн типа Н справедливы полученные ранее формулы, позволяющие находить длину волны в волноводе ) лв (8.47) = у-г р,ул„)г и фазовую скорость с %~= тг г — (лвгл„ )г Выясним вопрос о том, какой тнп волны в прямоугольном волноводе является низшим, т.
е. имеет наибольшую критическую длину волны. В соответствии с формулой (8.46) низшим окажется тот тип волны, которому соответствуют наименьшие индексы. Так как для волн Н-типа Н, =Не соь — х соз ~ — у), I ти Л гпи (8.49) а ! Л Ь то в данном случае один из индексов (но не оба вместе) может быть равен нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа ни (8.48) Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных.
Отсылая за подробностями к $ 8.2, запишем общее решение поперечного уравнения Гельмгольца в виде Н,=(А 5!од„х+В сов д х)(С ейп яру+0создру). (8.42) Граничные условия (8.41) при х=О, У=О будут выполняться лишь в том случае, если А=С=О. Далее, обозначая ВР как Б,, будем иметь Н» (х, у) =- Нв соз 8хх с05 лгду. (8.43) Из граничных условий при х=а, У=Ь следует, что В.5. Волна тило Н~о 1бз один из индексов не может обратиться в нуль. Из сказанного следует, что низший (основной) тип волны в прямоугольном волноводе относится к классу волн Н-типа. Если условиться считать, что а)Ь, то из двух волн с наименьшими значениями индексов, а именно Нш и Нм, наибольшую критическую длину волны будет иметь волна типа Н1о, у которой вдоль широкой стенки укладывается одна стоячая полуволна, а вдоль узкой стенки поле неизменно.
Приведем в заключение сводку формул, определяющих пространственные зависимости комплексных амплитуд проекций векторов электромагнитного поля волны типа Н „с произвольными значениями индексов ги и п. Формулы получены подстановкой выражения (8.49) в систему (8.37): Е„=- У ро Н, соз ~ — ' х) з(п ~ — у) е — 1 ', езЬ ~ а ) ~ Ь Еу Роуо, Но з1п ~ х) соз ~ У) е лзл а ) ~ Ь ! Е, =(7 И„=/ На з1п ( — х) соз ( — у) е Ьли Нь= 7 ' Носов~ — 'х) зш ~ — У)е — 1 ', доЬ а ) (х Ь Н, =Н, соз ~ х) соз ( — у) е — тл'. (8.50) 8.5. Волна типа Н,о Рассмотрим этот тип волны в прямоугольном волноводе более подробно как по причине его широкого практического использования, так и из-за наглядности построений и результатов. Начнем с картины силовых линий электромагнитного поля.
В качестве исходной можно взять структуру поля волны типа Н над идеально проводящей плоскостью, которая изучалась в гл. 7. Обращаясь к формуле (7.23), следует заметить, что в плоскости с координатой х=а, удовлетворяющей равенству да=и, напряженность электрического поля обращается в нуль. Поэтому здесь можно разместить вторую отражающую плоскость и тем самым локализовать электромагнитное поле в пределах бесконечного плоского слоя 0 =х(а (рис. 8.5), размер которого в точности равен половине поперечной длины волны: а=я/д=-Л„,„, /2.
6~ 164 Глава 8. Прямоугольный металлический волковод Далее, поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной оси у, во внутренней области волновода можно установить две идеально проводящие перегородки, параллельные оси х и отстоящие на некотором расстоянии Ь. В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам граничные условия на .них будут выполняться автоматически. Таким образом, можно рассматривать лишь поле во внутренней области, ограниченной прямоугольным контуром поперечного сечения (две плоскости и две перегородки).
Из приведенного рисунка видно, что количество полуволи вдоль осей х и у как раз таково, чтобы назвать рассматриваемый электромагнитный процесс волной типа Нго. е и Рис. 8.6. Построение картины силовых линий векторов электромагнитного поля волны типа Ны .Важно отметить, что характер картины поля не зависит от выбора расстояния Ь между перегородками. Отсюда следует, что размер Ь (длина узкой стенки волновода) не должен входить в выражение, определяющее критическую длину волны.
Действительно, из равенства (8.45) при т=1, п=О следует, что )г вн„=2а. (8.51) Так как волна типа Н1о в прямоугольном металлическом волноводе является основной, то полученный результат формулируется следующим образом: по прямоугольному волноводу можно передавать колебания, у которых длина волны в свободном пространстве не превышает удвоенного размера широкой стенки волновода. Более длинноволновые колебания экспоненциально затухают по амплитуде вдоль оси распространения. Приведем выражения, определяющие пространственную зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Ны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
