Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Аналогичным образом находим групповую скорость для высокочастотной части спектра: п„,=су 1 — (4.176,91)а=0.805 с. 181 Задачи Можно убедиться„что при заданной длине волноводного тракта низкочастотная группа волн «отстанет» от высокочастотной на отрезок времени длительностью 51=7.04 10-' с. Импульс на выходе, несомненно, будет существенно искажен по сравнению с входным колебанием, поскольку найденная величина запаздывания значительно превышает длительность передаваемого импульса. При больших длинах волиоводного тракта явление «расплывания» радиоимпульса может послужить серьезным препятствием к реализации импульсных систем. Естественный путь, позволяющий избежать этого, заключен в переходе к линиям передачи с Т-волнами, в которых дисперсионные эффекты выражены слабо (см.
гл. 10). задачи 8ьЕ Решите задачу о волнах типа Е в прямоугольном металлическом волноводе, заполненном магпитодиэлектриком без потерь и имеющем электродинамические параметры е, и р„отличные от аналогичных параметров вакуума. Найдите, во сколько раз сократятся критические длины волн различных типов под влиянием материала заполнения. 8.2.
Определите критическую длину волны, критическую частоту и длину волны в прямоугольном волноводе, работающем на волне типа Еп. Волновод имеет сечение 4Х 3 см и заполнен воздухом; частота колебаний 10 ГГц. 8.3. Какую максимальную мощность можно передать по прямоугольному волноводу сечением 23Х10 мм, работающему на частоте 11 ГГц? Волновод заполнен сухим воздухом при нормальном атмосферном давлении, предельно допустимое значение напряженности электрического поля составляет 30 кВ!см. Предусмотрите двукратный запас по электрической прочности.
8.4. Определите, какие типы волн могут распространяться в прямоугольном волноводе сечением 10Х5 см, если частота колебаний !'=5 ГГц. Волновод имеет воздушное заполнение. 8.5. Вычислите размеры поперечного сечения квадратного волновода с воздушным заполнением, если известно, что фазовая скорость волны типа Е„равна 6.10» м/с. Частота передаваемых колебаний 5 ГГц. 8.6. Вдоль прямоугольного волновода сечением 50Х25 мм, работающего на волне типа Ннь передается средняя'мощность !О кВт.
Частота колебаний 5.5 ГГц. Определите амплитуду вектора напряженности электрического поля на оси волновода, а также максимальное значение поверхностной плотности тока на стенках. 8.7. Амплитуда продольной проекции вектора напряженности электрического поля на оси прямоугольного волновода сечением Глава у Круглый металлический волвовод !82 50Х25 ым составляет 10в В/м.
Частота поля 7.5 ГГц. Диэлектрик— воздух, тип волны — Еп. Вычислите максимальные значения амплитуд плотности поверхностного тока на стенках и плотности тока смещения во внутренней области. 8.8. Размеры стенок прямоугольного металлического волновода удовлетворяют системе неравенств а»Л, Ь»Л, согласно чему по данному волноводу одновременно могут распространяться волны всевозможных типов. Докажите, что число распространяющихся типов волн можно вычислить по асимптотической формуле Л'=' ж2паЬ/Лв Глава девятая КРУГЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД Данная глава посвящена решению уравнений Максвелла, которые описывают волны электрического и магнитного типов в бесконечно протяженном металлическом волноводе с круговой формулой поперечного сечения.
Обсуждаются некоторые технические применения круглых металлических волноводов. 9.1. Постановка задачи Круглый металлический волновод представляет собой трубу с внутренним радиусом а (рис. 9.1). Исходные предпосылки остаются теми же„что н при исследовании прямоугольного металлического волновода. Так, считается, что проводимость стенок волновода бесконечно велика, волновод неограниченно протяжен и однороден вдоль оси а, а внутренней средой является воздух или вакуум. Требуется проанализировать всю совокупность волн Е- и Н-типов в подобной системе. Некоторое качественное представление о структуре электромагнитного поля в круглом волноводе можно получить, воспользовавшись результатами, которые получены в гл.
8 применительно к волноводу с прямоугольной формой сечения. Например, структура поля волны типа Н1о в прямоугольном волноводе известна (рис. 9.2, а). Контур сечения волновода можно преобразовать из прямоугольного в круглый путем последовательных деформаций. На рис. 9.2, б изображен один из первоначальных этапов такого преобразования. Картину поля в волноводе следует строить исходя из того, что силовые липин электрического вектора всегда подходят к металлическим стенкам по направлению нормали.
В конечном итоге получаем картину одного из типов волн в круглом волноводе, изображенную на рис. 9.2, в. Есть основание полагать, 9.1. Постановка задави что эта картина соответствует основной волне круглого волновода. В дальнейшем этот факт будет строго доказан. Несмотря на кажущуюся простоту, метод, основанный на непрерывной деформации контура поперечного сечения волновода, имеет малую практическую ценность, так как не позволяет находить числовые характеристики процессов в круглом волноводе. Поэтому нам потребуются строгие математические методы решения электродинамнческих задач о полях в круглых воль поводах.
— х Уравнения Максвелла в цилиндрических координатах. Легко видеть, что Рнс. 9.1. Круглый мсталлнстенка круглого волновода совпадает с координатной поверхностью г=а цилиндрической системы координат (г, оь г). Поэтому данная система очень удобна для решения поставленных задач. Е Е Е Рнс. 9аь Последовательные этапы деформации прямоугольного волновода Первые два уравнения Максвелла го! Н=рааоЕ, го! Е = — рв!ьрН (9.1) в цилиндрической системе координат принимают следующий вид (см. Приложение А): 1 дН дНт = Р" ааЕг г дт дл дН, дН вЂ” ' =/~~,Ет, дл дг (9.2) 1 д ° ! дН вЂ” — (гН ) — — ' =/ма Е, г дг т г дт о ! дЕ, дЕт — — — ' = — умрв~)„ г дт дл 184 Глава У. Круглый металлический валаавад дЕ, дЕ, lырац де дг д - ! до, — — (гН ) — — — ' — — ро!лаН,.
г дг г де Направляемые волны в цилиндрических координатах. Среди всевозможных решений системы уравнений (9.2) особо рассмотрим направляемые волны, распространяющиеся вдоль оси а. Комплекс- ные амплитуды векторов напряженности электрического и маг- нитного полей направляемых волн запишем в виде ~ (г, р, а) = Е (г, р) е — т"', (9.3) Н(г, ~р, а)=Н(г, р)е — т'"'. Характерный вид зависимостей (9.3) позволяет, как это уже было сделано в гл. 7, выразить поперечные проекции векторов Е и Н че- рез частные производные от продольных проекций Е, и Н, по ко- ординатам г и тр. В результате получаем следующие формулы перехода: -У 1а дЕ, дНе Ла ( г дт дг (9.4) — У / дЕл й дггв 1 й,=- (; — *+— Ла ( дг г дт Из этих формул непосредственно вытекает возможность существования в круглом металлическом волноводе волн Е- и Н-типов. Чтобы исследовать эти волны, необходимо решить уравнения Гельмгольца относительно продольных проекций Е, и Н,: 'раЕ, +~'Е, = — О, (9.5) р'Й.
+ рчо. =ОВоспользуемся выражением оператора Лапласа в цилиндрической системе координат и перепишем уравнения (9.5) в развернутой форме: дчЕе + ! дЕ, + 1 дтЕе + даЕе +рак. дГа г дг га дта деи (9.б) даНе ! дга г дг га Д2. Волив~ типа Е в круглом волповоде 1Во Специфический вид зависимостей комплексных амплитуд Е и Н от продольной координаты з, устанавливаемый формулами (9.3), дает возможность избавиться от частных производных по а, введя поперечное волновое число д=ф' — йв. В результате приходим к поперечным уравнениям Гельмгольца в цилиндрической системе координат даЕ 1 дЕ. 1 даЕл - + — — + — ° +ЕвЕ,=О, дгт г дг га дта (9.7) д ~г + 1 д~г ( 1 д ~.
+ т,тут О дга г дг гв дтв Разумеется, для получения физически содержательного решения каждое из этих уравнений следует дополнить соответствующими граничными условиями на стенке волновода. 9.2. Волны тнпв Е в круглом волноводв Задача волповоде гольца дтЕ, „1 дга г о волнах электрического типа в круглом металлическом сводится к решению поперечного уравнения Гельм- дЕл ~ 1 двЕ» ' +раЕ,=О дг га дтв (9.8) при граничных условиях, согласно которым касательная составляющая электрического вектора на стенке волновода обращается в нуль. Очевидно, что из трех возможных проекций комплексной амплитуды Е, а именно Е„Е и Е„касательным составляющим к стенкам могут отвечать лишь проекции Е, н Е .
Поэтому необходимо потребовать, чтобы Е,=О при г=а, (9.9) Ее=О при г=--а. (9.10) Из формул перехода (9.4) с очевидностью следует, что эти два условия не являются независимыми. Действительно, проекция Ер, пропорциональная в случае волн Б-типа частной производной с1Е./дтр, обращается в нуль, если проекция Е, постоянна на контуре поперечного сечения волновода. Таким образом, достаточно, чтобы на идеально проводящей стенке волновода выполнялось граничное условие (9.9).
Вместе с уравнением Гельмгольца (9.8) оно образует требуемую краевую задачу. Метод разделения переменных в цилиндрических координатах. Будем решать задачу (9.8) — (9.9) методом разделения переменных, который уже использовался ранее при изучении электромаг- 188 Глава у. Круглый металлический ввлновьд нитных колебаний в прямоугольном волноводе. Положим, что искомое решение Е, есть произведение двух функций: Е, (г, ~) =Й (г) Ф (у), (9.11) одна из которых зависит только от г, а другая — только от ~. Подставив выражение (9.11) в уравнение (9.8), приходим к равенству, не содержащему частных производных по поперечным координатам: ФЯ'+ ФЯ'!г ~--ГЕФ "(ге+ цвай Ф = О.
(9.12) Теперь преобразуем уравнение (9.12) таким образом, чтобы в левой части располагались функции только от г, а в правой — только от св. Зля этого разделим левую и правую части на произведение ЯФ, предполагая заранее, что это произведение не обращается в нуль тождественно (нулевое решение было бы, конечно, физически бессодержательным): г'й,'1Р+г~'~Р, +етг'= — ф")Ф (9.13) Чтобы уравнение (9.13) удовлетворялось при всех значениях г и р, левая и правая части должны быть некоторым постоянным числом, например Ф~)Ф в (9.14) Равенство (9.14) является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
