Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Решениями такого уравнения служат функции Ф(р)=Св (тир), (9.15) сьв а также их любая линейная комбинация (Св — произвольный постоянный коэффициент). Из-за симметрии волновода по угловой координате гр выбор функции не имеет принципиального значения; для конкретности будем считать, что Ф(в)=Свсоз тр.
(9.16) Чтобы выполнялось физически очевидное требование периодичности решения по углу тр с периодом 2п, параметр тп должен быть положительным целым числом или нулем. Число пт является одним из индексов волны Е-типа в круглом волноводе. Рассмотрим теперь левую часть уравнения (9.13) и постараемся вывести дифференциальное уравнение, описывающее распределение поля вдоль радиальной координаты г. Из (9.13) и (9.14) имеем 2.2. Волны типа Е в круглом волноводе 187 (9.19) .У„(х) =-( — ) '«~~ ( — ) (9.20) 2 Сх 1 Сх!т .2 ( — !)" Сх!22 Ж (х) = — л (х) 1и — — — ~ — ) ~ !( — ) Х н 2 н ~ 2) сс!(ь+т)! ~ 2 ) ,с.=с с-с л-о где С=0.5772... — постоянная Эйлера.
Функции Бесселя и Неймана линейно независимы, поэтому общее решение уравнения (9.19) имеет вид )к(х)=А!у (х)+А2)Чт (х), (9.22) где А„А,— некоторые произвольные коэффициенты. В цилиндрической системе координат функции Бесселя и Неймана играют такую же роль, как синусоидальная и косинусоидальная функции в прямоугольной декартовой системе. Взглянув на графики (рис. 9.3), можно заметить, что эти функции отчасти схожи с гармоническими, однако имеются и существенные отличия: Ф цилиндрические функции в отличие от гармонических не являются периодическими; Ф «амплитуда» цилиндрических функций не постоянна, а умень шается с ростом аргумента; Целесообразно несколько преобразовать уравнение (9.17), введя безразмерную независимую переменную х=ят.
(9.18) Тогда вместо (9.17) получаем уравнение с!2В 1 ВЕС С т2 1 — + — — + (1 — — ) 7~=0. с!Х2 х с)х ( х2 ) Данное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами хорошо изучено в математике и носит название уравнения Бесселя. Цилиндрические функции.
Так принято называть частные решения уравнения (9.19). К ним относятся: 7 (х) — функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода пс-го порядка; пС (х) — функция Неймана илн цилиндрическая функция второго рода т-го порядка. Аналитически функции Бесселя и Неймана выражаются посредством бесконечных сходящихся рядов достаточно сложной структуры. Так, если лс — целое положительное число или нуль, то 188 Глава у. Круглый металлический волновод ° при малых значениях аргумента функции Неймана неограниченно велики: 1пп Ж (х) = — оо. к 0 В силу последнего свойства при решении задач об электромагнитных полях в круглых волноводах коэффициент при функции Неймана в формуле (9.22) должен быть равен нулю, поскольку бесконечно большие амплитуды О полей на оси волновода (при т= =О) физически нереальны.
г ~Г В задачах, интересных с точ/ — Л'т И ки зрения радиотехнической практики, чаще всего приходится иметь дело с простейшими пиРис. 9.8. Типичные графики цивина- иметь Де 0 рических функций линдрическими функциями Ув(х) и У,(х). В математике доказано, что между ними имеется соотношение Уг (х) =' — ОУа (х)Убх, (9.23) которое вытекает из общей формулы дифференцирования цилинд- рических функций У (х)= — У (х) — У +,(х), справедливой при любых т. Соответствующие графики представлены на рис.
9.4. Как будет видно из дальнейшего, то(') особый интерес представляют те значения аргумента, при ко- ду торых Обращаются в нуль ли- /l 1 ' Угй бо сами функции Бесселя, ли- Игт вв х вот бо их производные. Введем 0 г «х ~ й и следующие обозначения: и „вЂ” и-й по счету корень уравнения Уы(Х) =О; )выл П-Й ПО СЧЕту корень уравнения У '(х) = О.
Можно заметить, что функция -хр У,(х) первый раз пересекает ось абсцисс в точке с коорди- Рис. 9.4. функции несселн Ул(к) и Уг(х) натой, . приблизительно равной 2.4. По принятой договоренности данную точку будем обозначать символом таь Аналогично, первый по счету максимум функции У,(х) имеет место в точке с координатой хж1.8; данное значение должно быть обозначено как )гп.
9.2. Волны типа Е в круглом волиоводе 189 В нижеследующих таблицах со справочными целями приведены значения некоторых корней функций Бесселя и их первой произ- водной Таблица 9.!. Корни о „функций Бесселя л м=о го=! м-2 1 2.405 3.832 5.135 2 5.520 7.016 8 417 3 8,654 10.714 1! .620 В математической литературе имеются весьма подробные таблицы таких корней. Кроме того, практически все компьютерные пакеты прикладных программ предоставляют богатые возможности вычислений с цилиндрическими функцйями.
Таблица 9.2. Корни р первой производной функций Бесселя 3.832 7.016 10.174 1.841 5.335 8.536 3.052 6.705 9.965 (9.25) откуда Д „= — т л/а. (9.27) Критическая длина волны. После краткого знакомства с теорией цилиндрических функций вернемся вновь к исследованию характеристик волн типа Е. В соответствии с идеей метода разделения переменных запишем амплитуду продольной проекции вектора напряженности электрического поля в виде Е,=Евл (дг) соз тр. (9.25) Поперечное волновое число д пока еще не определено. Чтобы найти его, заметим, что граничное условие Ел=О при тц н будет выполнено лишь в том случае, если аргумент цилиндрической функции в формуле (9.25) при с=а окажется равным одному из корней т „функции Бесселя. Это означает, что поперечное волновое число й должно принадлежать бесконечной последовательности д и, удовлетворяющей соотношению н,а=а „, Глава у.
Круглый металлический волновод 190 Номер корня и является вторым индексом волны типа Е „в круглом металлическом волноводе. Физический смысл индексов тп и п прост и нагляден: т означает число вариаций поля по угловой координате кр, а и — число вариаций по радиальной координате г. В частном случае на=О амплитуды векторов электромагнитного поля не зависят от угловой координаты; подобные типы волн в круглом волноводе называют симметричными. Критические длины волн Е-типа в круглом волноводе находят на основании того же принципа, что и в случае прямоугольного волновода: ).кре —. 2п/д„„= 2па/к„,. (9.28) Формулы для вычисления длины волны в волноводе и фазовой скорости совершенно аналогичны тем, которые были получены применительно к прямоугольному волноводу: (9.29) У 1 (кр/1кр)а ткк 1 Рв/1кр)а Пример 9.!.
Круглый металлический волновод диаметром 50.8 мм возбуждается генератором с частотой /о=14 ГГц ()о= =21.4 мм). Проверить возможность распространения волны типа Ень Вычислить длину волны и фазовую скорость. Из табл. 9.1 находим, что волне типа Егг соответствует второй по счету корень функции Бесселя 1-го порядка тм — — 7.016.
Критическая длина волны )кре„= 6.28.25.4/7.016= — 22.75 мм. Поскольку ).о() кр, волна типа Ем в рассматриваемом волноводе является распространяющейся. Длина волны в волноводе ).,= 21.4 =63 мм. 1' 1 — (21.4/22.75)а Фазовая скорость волны типа Ем 'пф — — = — — 8.84 109 м/с. 3 1Оз 1' 1 †(21.4/22.75)Р Анализируя формулу (9.28) совместно с табл.
9.1, убеждаемся, что среди волн Е-типа в круглом волноводе наибольшую крити- ческую длину имеет волна типа Ео, 1«ре„= 2па/2.405 = 2. 61а, (9.30) 9.2. Волны типа Е в круглел волноводе 191 так как корень то, является наименьшим из всех корней функций Бесселя любого порядка. Структура поли волны типа Е в круглом волноводе. Амплитуда продольной проекции электрического вектора волны типа Е „ в круглом волноводс на основании выражений (9.25) и (9.27) имеет следующий вид: Е,=Е уы( " ) созтр. а (9.31) Е,= — уйЕо~ — т — У ( " ) — У +г( " )|сов тле ' ' гпаг Е.,=уйЕо а у ( " ') з(п т уе — г"', 'афпг ( а (9.32) Е, =Еол',„( " ) соз туса — '"' а "'о Н = — — Е г Ь У Н = — Е ылв т —.
а т Н, =-О. При выводе формул (9.32) учитывалось правило дифференцирования цилиндрических функций (9.24), а также равенство (9.27). Подобно тому как это было сделано в теории прямоугольного волновода (см. формулу (8.60)), здесь также можно ввести полезный числовой параметр — характеристическое сопротивление ~/ЕгЕт+Е Е Е,е= т ' =120п')г'1 — (Ло/Л )' е . % ке и',и, + и,н, (9.33) Рассмотрим некоторые конкретные задачи расчета полей в круглом волноводе.
Пример 9.2. Радиус круглого волновода а=15 мм, длина волны возбуждающего генератора в свободном пространстве Ли=32 мм, тип волны Ео1. Амплитуда продольной проекции вектора напряженности электрического поля на оси волновода Ее=7.10з В/м. Найти величину Е„(а) — амплитудное значение радиальной проекции электрического вектора на стенке волновода. Отсюда, используя формулы перехода (9.4), в которых, по опре- делению, Й,=О, легко находим совокупность выражений, описы- вающих пространственные зависимости проекций векторов элек- тромагнитного поля волны типа Е Глава у.
Круглый металлический волновод Г92 В данном случае критическая длина волны Лере„=2.61а — --39.15 мм)Лв, так что процесс имеет характер распространяющейся волны. Из формул (9.32) при ль=О, и=-1 находим аналитическое выражение комплексной амплитуды радиальной проекции электрического вектора при т=а: Е,(п, а)==У' " Уь(~о,) е-'й', 'оь откуда амплитудное значение искомой проекции Е, (а)=(аа!чвь)Уь( „).
По таблицам функций Бесселя [19) находим У (2.405) =0.520. Безразмерный параметр йа= = — ' ) 1 — (32/39.15)в=1.69?. Л, 32 Отсюда окончательно Е, (а)=-1.69? 7 10'0.520)2.405=2570 В/м. Пример 9.3. Используя данные из примера 9.2, вычислить величину Н, (а) — амплитуду азимутальной проекции вектора напряженности магнитного поля па стенке рассматриваемого круглого волновода. Найдя характеристическое сопротивление Л, = — 377 )г 1 — (32ь39.15)а=-217 Ом, получаем искомое амплитудное значение Н, (а)=.Е, (а)!Е,в=11.82 А!м. Поскольку в волне типа Е„ магнитный вектор имеет единственную составляющую Н ь, амплитуда вектора плотности поверхностного тока на стенке д,ов =.11.821, А)м. Формулы (9.32) позволяют рассчитать и построить картины мгновенного распределения силовых линий электромагнитного поля любой волны типа Е „в круглом волноводе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
