Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Второе уравнение выполняется в силу того, что электрический потенциал тр, служит решением уравнения Лапласа (10.8) по предположению. Отрицательный знак в формуле (10.5) связан с установившейся в физике традицией ориентировать вектор Е в сторону уменьшения электрического потенциала. Другими словами, силовые линии вектора Е условно начинаются на проводниках, несущих положительные заряды. Таким образом, картина силовых линий электрического вектора в поперечной плоскости регулярного волновода с Т-волной целиком совпадает с картиной силовых линий вектора Е в заряженном цилиндрическом конденсаторе, конфигурация обкладок которого такая же, как и токонесущих поверхностей волновода. Статический характер поперечного распределения электрического поля в волноводе с Т-волнами позволяет ввести удобную характеристику электромагнитного процесса в разность потенциалов между проводниками (рис.
10.1, а) 205 !О.!. !!екотороге общие свойства волн типа Т ст лв= ) Е б1=9л грв- 11ОАО) с1л,ву Важно подчеркнуть, что из-за потенциального 1безвихревого) характера поперечного распределения электрического поля величина Улн не зависит нн от расположения точек А и В на проводниках, ни от выбора пути интегрирования Е в поперечной плоскости волновода.
и а! Рис. 10.1. К введению понятий разности потенциалов и напряжения: а — в волноводе с т-волной; б — в прямоугольном волвоводе с волной тннв Н~ь Отметим, что применительно к волнам Е- н Н-типов в изученных ранее полых металлических волноводах ввести понятие разности потенциалов невозможно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим поле Е в поперечном сечении прямоугольного волновода с волной типа Ню (рнс.
10.1, б). Здесь, очевидно, ~ Еб1~О, с, так как на всем пути интегрирования векторы Е и Л образуют острый угол, так что скалярное произведение Еб! положительно. Если же взять контур интегрирования !й, проходящий по стенкам волновода, то ЕЛ=О, поскольку на широких стенках вектор Е перпендикулярен элементарному вектору пути д1, а на узкой стенке вектор Е равен нулю в силу граничного условия. Этот пример убеждает в том, что применительно к прямоугольным и круглым металлическим волноводам можно говорить не о разности потенциалов, а лишь о напряжении между отдельными точками пространства с обязательным указанием выбранного пути интегрирования. Последнее обстоятельство делает малоэффектив- Глава 10. Волноводм с волнами типа Т 200 ным прямое использование понятия напряжения при анализе полых металлических волноводов.
Можно строго показать, что в металлическом волноводе с замкнутой односвязпой формой поперечного сечения волна типа Т существовать не может. Для этого заметим, что во всех точках контура сечения Г такого волновода скалярный электрический потенциал Р, должен быть постоянным. Поэтому функция ~Р, во внутренней области сечения является решением следующей краевой задачи для уравнения Лапласа: 2 Ч -'Рв=0 <2,1г=сопз1. (10.11) 40.?. Коаксиапьиый вопновод Данный волиовод, широко применяемый в радиотехнических устройствах, представляет собой два соосных металлических цилиндра радиусами а и Ь, разделенных диэлектриком (рис.
10.2). Для анализа структуры электромагнитного поля в таком волноводе целесообразно ввести цилиндрическую систему координат г, ~, г, продольная ось которой совпадает с осью системы проводящих цилиндров. Пространственное распределение векторов поля. По причине полной симметрии поперечного сечения рассматриваемого волновода функции, описывающие пространственные зависимости векто- В теории дифференциальных уравнений с частными производными доказывается следующее легко запоминающееся свойство функ- ции, удовлетворяюгцей уравнению Ъ Р Лапласа: такая функция принимает минимальные и максимальные знат чення пе внутри, а на границе области своего существования. Отсюда в силу краевого условия из Фть (10,11) приходим к выводу, что единственным подходящим решеннРвс.
10.2. Коавсвальный волновал ем УРавнения Лапласа во внутрен- ней области служит постоянная величина ~,(х, у)=сопз1. Но при этом, как легко видеть из формулы (10.5), поле в волноводе тождественно равно нулю, Итак, волны типа Т могут распространяться лишь в таких волноводах, где имеются по крайней мере два изолированных друг от друга токонесущнх проводника, между которыми устанавливается разность потенциалов. КЦ2. Коаксиальный волновод 207 ров электромагнитного поля, очевидно, не зависят от угловой координаты ф, т. е.
д)'дф=О. Ранее было показано, что распределение напряженности электрического поля Т-волны в поперечной плоскости волновода целиком повторяет электростатическое поле в цилиндрическом конденсаторе тех же размеров. Пусть электрический потенциал внутреннего проводника равен (/, в то время как наружный проводник волновода находится под нулевым потенциалом. Тогда функция ф„описывающая распределение электрического потенциала в области а(г<Ь, должна быть решением следующей краевой задачи: й~ 'р, ( ) .= О, (10.12) Двумерное уравнение Лапласа в полярной системе координат с учетом симметрии по углу ф имеет внд или г — = — А.
йт, йс (10.13) Общее решение этого уравнения о,(г)=А!и г+В (10.14) содержит две произвольнь!е постоянные А и В, которые следует по- добрать так, чтобы выполнялись краевые ус:юаня на внутреннем и внешнем проводниках: А 1п а+ В=(л', А1и Ь |-В=О. Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем У вЂ” (7! Ь 1и а — !и Ь 1и а — !и Ь откуда находим окончательно закон распределения скалярного электрического потенциала во внутренней области волновода: !.
(с!Ь) тэИ— !и (а)Ь) Полученная формула устанавливает, что при увеличении радиальной координаты от а до Ь потенциал уменьшается по логариф- Глава Гб. Волноводы с волнами гиаа Т 208 уменьшается обратно пропорционально координате точки наблюдения и имеет единственную проекцию вдоль единичного вектора 1„. Предположим, что пространство между проводягцими цилиндрами заполнено средой без потерь (о=-О) с заданными электродинамическими параметрами в„(ли.
Тогда в соответствии с формулой (10.4) комплексная амплитуда вектора Е волны типа Т, распространяющейся в сторону возрастания координаты з, есть Е(г, «)= е (1О. 15) !и(в/а) г Чтобы найти комплексную амплитуду Н(г, г) магнитного вектора, следует воспользоваться уравнением Максвелла го1 Е= — /вр,Н, записав операцию го( в цилиндрической системе координат (см. Приложение А): 1,= ) ' ' е '1,.
(10. 6) дв !и (б!а) г Н (г, а) ==. го1 Е = ива ивов Вектор Н имеет единственную азимутальную проекцию; силовые линии этого векторного поля представляют собой концентрические окружности, которые охватывают внутренний проводник волновода. Эскиз распределения силовых линий векторов электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волноводе, построенный в соответствии с формулами (10.15) — (10.16), изображен ва рис.
10.3. Видно, что данное поле представляет собой неоднородную плоскую волну, область существования которой ограничена металлическими стенками. Интересно отметить, что в каждой точке внутренней области отношение модулей комплексных амплитуд векторов Е и Н постоянно и равно характеристическому сопротивлению заполняющей среды: (10. 17) Токи на стенках волиоводщ Магнитный вектор Т-волны, направленный вдоль единичного вектора 1, оказывается касатель. мическому закону. Амплитуда вектора напряженности электрического поля в поперечной плоскости Е(г)= —.— дгаб р,(г)= — ™ 1,= дт, . (Г гс дг !и (Ь(а) г /0.2.
Коаксоольнььй волноаод 209 ным к токонесушим поверхностям, на которых возникают поверх- ностные электрические токи с плотностями .)и„л (а) = 11,Н (а)), .)ь....(Ы= — ~1,Н (Ы1. (! 0.18) Различие в знаках связано с тем, что единичным вектором внеш- ней нормали к внутреннему цилипдру служит вектор 1„, а к наруж- ному — вектор — 1„. А-А Е ~ Н Рис. 10.3.
Структура силовых линий электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волновопс Векторы 1„, 1о, 1, образуют правую тройку. Отсюда иа основании равенств (10.18) приходим к выводу о том, что вдоль проводников распространяются бегущие волны плотности поверхностного тока (10.19) .)и„,(Ь, а)= У аа/ра (/ — /Ьа. е 1,. 1п(Ь/а) Ь Амплитуду суммарного тока 1 на проводниках найдем, умножив амплитуды плотностей поверхностного тока на величины 2па и 2пЬ соответственно, равные длинам контуров сечений внутреннего и внешнего проводников. Легко видеть, что 2пф еь/1ьь / (а) = — У(Ы = с/.
(10.20) !п(Ь/а) Глава 10. Волноводм в волнами типа Т 210 Токи оказываются равными по модулю и противоположными по знаку. Это указывает на то, что по одному из проводников ток от генератора поступает в нагрузку, а по другому вновь возвращается в генератор. Понятие волнового сопротивлении. По определению, отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока бегущей волны называют волновым сопротивлением Л, линии передачи с волной типа Т. В данном случае 110.21) Пример 1О.1.
Коаксиальный волновод имеет размеры а=2 мм, Ь=б мм. Заполняющей средой является диэлектрик с параметрами 1л=1, в=2.4. Найти амплитуду напряжения в бегущей волне, если известно, что амплитуда тока составляет 0.4 А. По формуле 110.21) находим Л,= 60 1п 3/Рл 2 4 =42.5 Ом. Тогда Е/=УХ,=0.4 42,5=-17 В. Волновое сопротивление служит важнейшей технической характеристикой линии передачи с волной типа Т. Это объясняется тем, что при каскадном включении двух отрезков врлноводов с различными параметрами, например с разными диаметрами проводников, мощность из одной линии целиком, без отражений, будет передана в другую, если выполнено условие согласования 110.22) Эта формула во многих случаях служит критерием согласования коаксиальных волноводов, обеспечивая точность, достаточную для инженерных целей [3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
