Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Благодаря наличию в формуле (5.29) множителя /ит, увеличивающего аргумент комплексного числа на и/2 радиан, подходящим окажется лишь второе значение квадратного корня, при котором и ! аа агу у = — + — агс(я 4 2 а отвечает комплексному числу у, лежащему в 1 квадранте. Итак, коэффициент распространения однородной плоской волны в плазме с учетом столкновений определяется по формуле иаа у = — аа 4е' (а,(а )а+ (о(а /а0а ехр ~/ ~ — + — агс (й (5.33) а ВведЯ паРаметРы (4о=оа)е ао(ао и е=е,/ао, отсюда находим Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией в 1з . Си 1 е (1(ы)=8в т,г еа+~ — ) и!и ~ — + — агс18.
) ~нес ) 14 2 в/(в во) (5.35) Пример 5.4. Давление газа 10' Па, температура 2 1Оз К. Под действием некоторых внешних факторов, например фотохимических реакций, происходит ионизация части молекул; концентрация свооодных электронов равна 3 10'в м '. Найти коэффициент ослабления а и коэффициент фазы р плоской электромагнитной волны с частотой са= 10в с '. По формуле (5.24) вычисляем частоту соударений электронов с нейтральными молекулами: в=5 10т.10е7 ' 2.10'=1.1.
10в с — '. Определяем плазменную частоту: ыа„=54.41 у' 3. 10св=9.42. 10' с — '. Применив формулы (5.25) и (5.26), находим безразмерные пара- метры: 5.5. Распространение импульсов в средах с частотной дисперсией фазовой скорости. Понятие групповой скорости Зависимость фазовой скорости плоских электромагнитных волн от частоты служит причиной ряда явлений, наблюдаемых при распространении колебаний в диспергирующих средах. в=1 — "" =0.598, на+те н т ='0.442. ыаа н (ил+ та) Коэффициент фазы плоской волны в вакууме ра=ы/с=3.33 м — '.
В соответствии с формулами (5.34) и (5.35) получаем а= =0.899 м — ', Р=2.726 м-'. Ослабление электромагнитных волн в такой плазме оказывается весьма существенным. Действительно, здесь погонное затухание Ь„,=8.686а=7.81 дБ/и. Пройдя путь длиной 1О и, плоская волна уменьшает амплитуду в 10"л~'-с- -8000 раз.
о.о. Распространение импульсов. Групповая скорость 93 Для того чтобы упростить анализ и сделать его результаты более наглядными, будем рассматривать материальные среды без затухания, подобные бесстолкновительной плазме на частотах выше плазменной. Предположим, что в плоскости а=О, которая рассматривается как «вход» волновой системы, некоторые внешние источники возбуждают однородную плоскую электромагнитную волну. Данная волна распространяется в материальной среде с известным законом дисперсии О(со) в сторону увеличения координаты з. Будем считать, что электрический вектор данной волны имеет единственную отличную от пуля проекцию Е„.
Ранее изучались волны с гармоническим (сннусодиальным или косннусондальным) законом изменения мгновенных значений поля во времени. Теперь обратимся к более общему случаю, когда сигнал Е (О, () па входе волновой системы представляет собой импульсное колебание, существующее лишь на конечном отрезке времени, называемом длительностью импульса т .
Разложим сигнал Е„(0, с) на элементарные гармонические колебания, представив его ьнтегралогя Фурье [2] Е, (О, ()) = — ( 5 ( ) ерш сто, 2п (5.36) в который входит спектральная плотность Е(а)= ) Е„(0, У) е — ™Ж. (5.37) Среда, в которой расгрострапяются волны, считается линейной. Поэтому на основании принципа суперпозиции частные решения уравнений Максвелла могут любым образом складываться, вновь образуя в совокупности некоторое решение уравнений электромагнитного поля. В рассматриваемом нами случае такими частными решениями служат гармонические волны со всевозможными частотами са и исчезающе малыми амплитудами; уровни этих амплитуд пропорциональны функции (5(са) (. Спектральная плотность, вообще говоря, принимает комплексные значения; ее аргумент описывает частотную зависимость начального фазового сдвига отдельных элементарных волн.
Каждая элементарная волна, распространяясь в среде без затухания и с частотной дисперсией, характеризуется тем, что мгновенные значения гармонических колебаний в плоскости с координатой г запаздывают на р(са)я радиан по отношению к колебаниям на входе, т. е. при в=О. Другими слонами, функци~ К (у ) = — ехр ( — /8 (м) в! (с о31 Глава б. Электромагнитные волны в средах с дисперсией должна рассматриваться как частотный коэффициент передачи некоторого воображаемого линейного четырехполюсника, который преобразует входной сигнал Е,(0, 1) в выходной сигнал Е„(г, 1). Итак, мгновенное значение выбранной проекции электрического вектора в плоскости с фиксированной координатой г дается вы- ражением Е (г, г)= — ~ 5(ы)е)1"'-и"1'1г)~.
1 2л (5.39) гвв Рис. о.й. узкополосный сигнал (5.40) В равной мере аналогичные выражения можно записать и для других проекций векторов поля, например для Ни(г, 1). Распространение узкополосных сигналов. Формула (5.39) служит полным и однозначным решением, однако конкретное вычисление интег- 0 М в рала может оказаться весьма а) трудным нз-за того, что переменная интегрирования входит в аргумен~ экспоненциальной функции нелинейным образом.
Задача существенно упрощается в том случае, когда колебание Е,(0, 1) на входе среды оказывается узкополосным сигналом. Как известно, спектральная плотность такого сигнала концентрируется в окб) рестности некоторой центральной частоты озо, так что если П вЂ” ширина спектра сигнала, а ч стык л веы нмаств моктлл спск илли измеренная на каком-либо произвольном уровне, то отношение П!соо«1 (рис. 5.5, а). Временная диаграмма типи щого узкополосного сигнала (рис.
5.5, б) имеет вид квазигармонической кривой, у которой текущая амплитуда и начальная фаза изменяются гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение вида сов озсй Простейшим сигналом рассматриваемого класса, на примере которого удается тем не менее изучить ряд важных явлений, является узкополосная группа Е, (О, 1) =-.Еы соз ы,б+Еы соз ы,,б, 55. Распространение вмлульсов. Грулловал скорость 95 т. е.
сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми ампли- тудами; частоты этих колебаний ььг ="'в — Лм ь'г =ьво -Г Лм (5А1) Производную фрог следует вычислять при ог=ого, обозначим эту производную для краткости как ])о'. Используя представление (5.43), перепишем формулу (5.42) в следующем виде: Е„(а, ~) =Е соз [(во — Л в) ~ — Р(ьго) и+ЪоЛаа]+ + Ен соз [(вв+ Лм) ~ — р (мо) а — роЛвьз]. Воспользовавшись известным тождеством (5.44) а — 6 а+5 соз я+ соз Ь =-2 соз сО5 2 2 отсюда находим Е„(а, 1)=2Е соз[Аь (1 — р, )]соз[ьо1 — р(юо)а].
(5А5) Понятие групповой скорости. Займемся анализом полученной формулы. При фиксированном г мгновенные значения поля изменяются во времени как квазигармонический сигнал вида 2Е соз(Лог(+ьр) соз(оо1+гр). Здесь ~р и гр — некоторые постоянные числа. Сомножитель соз(Лсо(+ьр) определяет закон изменения медленной огибающей процесса; сомножитель соз(ого1+гр) описывает быстрое высокочастотное заполнение. Подобные процессы в физике принято называть биениями.
Из формулы (5.45) можно сделать вывод о том, что как медленная огибающая узкополосной группы, так и быстрое заполне- расположены симметрично относительно центральной частоты ого. Безусловно, считается, что Лсо/ыо«1. По аналогии с формулой (5.39) запишем математическую модель сигнала в плоскости а)0, возникающего при подаче на вход волновой системы узкополосной группы: Е~ (а, У)=Ещ сон [шьем — р(ой) а]+Е~ соз [вг1 — р(~г) а]. (5.42) В дальнейшем будем предполагать, что имеет место случай так называемой слабой дисперсии, когда в пределах малой (в относительном смысле) окрестности частоты соо дисперсионная характеристика среды 5(вг) достаточно точно описывается двумя первыми членами разложения в ряд Тейлора: ( ш ) ~ ( и О ) + ( в ив ) ар (5.43) ая Глава 5.
Электромагнитньге волны в средах с дисперсией 96 э„~= 1/рО=с)м/Щ (5.47) в диспергирующей среде, как правило, не равна фазовой скорости. Если обратиться конкретно к случаю бесстолкновительной плазмы, для которой закон частотной дисперсии задан формулой (5.19), то, вычислив производную 68/с(со, на основании выражения (5.47) получаем простую формулу для групповой скорости =С 1г 1 — (гоал/м)~, (5.48) Прибегая к понятию групповой скорости, удается приемлемо точно рассчитать скорость волнообразного распространения в диспергирующей среде любого достаточно узкополосного импульсного колебания. Более определенно, групповая скорость служит хорошей приближеннойоценкой скорости распространения ра ого отличен от нуля лишь в пределах производная с((1/Ьо может счптаться Рис. 5.6, Пространственное распределение полн узкополосной группы в три последовательных момента вре- мени диоимпульса, частотного и постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
