Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 14
Текст из файла (страница 14)
4.3) никак не влияет на величину заряда, заключенного внутри этой области. Применив интегральную формулировку закона Гаусса, можно записать формулу, аналогичную соотношению (4.3): ~11л~~~ ~21л'~~ = аиюб~~ (4.10) к» в Глава 4. Граничив~в условия для векторов ноля 14 откуда Гд,я — Гдхв= о... (4.11) Из выражения (4.11) следует, что при наличии на границе электрических зарядов нормальная составляющая вектора электрического смещения испытывает скачок на величину плотности поверхностного электрического заряда.
Физически это обусловлено тем, что заряд, располагающийся на поверхности, создает собственное электрическое поле, ориентированное в пространстве таким образом, что по одну сторону границы это поле складывается с внешним полем, а по другую — вычитается. 4А.
Граничные условия для касательных составляющих векторов магнитного поля Задача о взаимосвязи касательных составляющих вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред решается на основе интегральной формулировки за- 1» кона полного тока для некоторого малого контура Л (рнс. 4.4), прове- Р денного в окрестности точки Р та- 5 гт 1 л» 'х41 ким образом, что одна его половина проходит в среде 1„ а другая— в среде 2. Введем в точке Р три взаимно ортогональных единичных вектора; 1, 1, 1и Два первых по-прежнему Рис..44 К выводу граничных ус- являются Ортами касательного и ловий длн касательных состав- нормального направлений. Вектор лнюших векторов электромагнит- 1» направлен по нормали к плоскости, образованной векторами 1, и 1„ будучи параллелен границе раздела.
Выделим в окрестности точки Р малый прямоугольный контур Л со сторонами Ы и Лл. Будем считать, что на контуре задано такое направление обхода, что с конца единичного вектора 1» движение наблюдается против хода стрелки часов. Вообще говоря, в обеих областях пространства, разделяемых границей 5, протекают некоторые токи, в частности токи проводимости и токи смещения с объемными плотностями 1нр и )ся соответственно.
Применим к рассматриваемому контуру закон полного тока, причем, как и в 5 4.2, будем считать, что длины сторон контура столь малы, что в его пределах векторы поля Н неизменны. В результате получим 4.4. Касательные составляющие магнитных векторов 1 Н с(1=нг),д1 — Н 1,д1+ +интегралы по боковым сторонам= =- (Я„п!»+.),н1») д1 дД. (4.12) Здесь следует по отдельности рассмотреть два случая. 1) Числовые значения электродинамических параметров обеих граничацгих сред конечны. Из данного условия непосредственно следует вывод о конечности значений векторов плотности токов про- З - .- вс водимости и смешения.
Выполним предельный переход, устремляя высоту контура Лгг к нулю. Очевидно, что пРи этом линейный интегРалот . 1ч поля Н по боковым сторонам контура будет стремиться к нулю. Из-за конечности векторов плотности токов проводимости и смещения будем иметь (4 131 Рис. 4д. К введению понятия плотности поверхностного электрического тока 1 1 ш ( Я р 1» ) и $ ) д с ~ Ь О »» е Обращение в нуль правой части равенства (4.12) означает, что 11ш ш Н б)=-Н,1 д1 — Нт1,д(, (4.14) л» па или (4. 15) Таким образом, на границе раздела двух сред с конечными значениями электродинамических параметров касательные составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны.
Однако касательные составляющие векторов магнитной индукции на границе раздела в общем случае претерпевают разрыв: В„Гр„=-В,„1р„. (4.16) 2) Проводимость одной из граничащих сред неограниченно велика. Г1оложим для определенности, что 6,='оэ. Это предположение делает формулу (4.13) неприменимой. Дело в том, что при бесконечно большой проводимости среды электромагнитное поле в ней должно отсутствовать; наличие сколь угодно малого поля Е приводило бы к протеканию тока проводимости с бесконечно большой плотностью (см.
формулу (1.7)1, а это физически невоз- Глава 4. Граничные условия для векторов поля 76 Л1 Л„„,=1!т — 1п. Мв а1 (4.1 7) Теперь формулу (4.12) можно записать в виде 1цп Я Нб!=Л„',„,1ва1. вв в~ (4.18) Далее следует учесть, что в силу уравнений Максвелла внутри идеального проводника обращается в нуль не только электрическое, но и магнитное поле. Иными словами, Н,=О и из формулы (4.18) следует, что Н11,= )чово(е.
(4.19) Равенство (4.19) позволяет решить важную для практики задачу — определить плотность поверхностного тока 1„„, по заданной напряженности магнитного поля Н, на границе раздела между обычной средой, например воздухом, и идеальным проводником. Для удобства несколько преобразуем формулу (4.19), учтя, что тройка единичных векторов 1„1в, 1, связана очевидным соот- ношением 1,= — 19 Ц. Подставив это равенство в (4.19), получим 1-..= 11пЩ. (4.20) (4.21) Таким образом, поверхностный электрический ток на границе идеального проводника протекает в направлении, перпендикулярном вектору Нь который существует в обычной среде. Плотность поверхностного электрического тока численно равна касательной проекции вектора напряженности магнитного поля.
можно. В данном случае токи проводимости могут протекать лишь по поверхностной «пленке» исчезающе малой толщины, так что предельный переход вида (4.13) все же дает отличный от нуля результат. Для математического описания явлений на поверхности идеального проводника вводят понятие вектора плотности поверхностного электрического тока. Принцип введения этого векторного поля показан на рис.
4.5. Прежде всего проводят единичный вектор 1ть касательный к линиям тока в выбранной точке поверхности. Затем находят ток тъй протекающий поперек отрезка Л1, перпендикулярного вектору 1те Тогда вектор плотности поверхностного электрического тока можно определить посредством ра- венства 77 4.5. Касательные составляющие электрических векторов 4.5. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического поля Методика решения данной задачи полностью совпадает с той, которая применялась в 0 4.4. Отличие состоит лишь в том, что здесь вместо закона полного тока следует воспользоваться законом электромагнитной индукции.
Соответственно для контура 1„ изображенного на рис. 4.4, будем иметь ~ Еб(=-Е,!„а/ — Е,(,б/+ с +интегралос по боковым сторонам= = — (дВ/д/) 1вЫЬЬ. (4.22) Функция дВ/д/ в правой части последней формулы при любых электродинамических параметрах граничащих сред принимает конечные значения. Поэтому предельный переход при ЛЬ- О дает 11 Ф ЕЛ=Ет1 М вЂ” Е,(,Ы=О, (4.23) ьа ол откуда Е„=Еэо Р,,/ „=Р„/в„.
(4.24) Таким образом, касательные составляющие векторов напряженности электрического поля на границе раздела двух сред непрерывны. В то же самое время касательные составляющие векторов электрического смещения в общем случае претерпевают скачок. Пример 4.1. Имеется плоская граница раздела двух сред с относительными диэлектрическими проницаемостями е~ и ет (рис. 4.6). В первой среде силовые линии вектора Е образуют угол От с направлением нормали.
Найти ориентацию силовых линий поля Е во второй среде. Воспользуемся граничными условиями Е„=Есо Р,„=Р „, или Е, ейп 0,=Е, з1п8„ в,Е, соз 0, = етЕт соз 8те 78 Глава 4. Граничные условия для векторов поля Разделив одно уравнение на другое, получим (1/е ) 1К В = (1/а ) 168м откуда да= агс 1Я На,/е,) 1ц В,]. Отметим, что если ев-»со, то Ов л/2 независимо от ориентации электрического поля в первой среде. Рассмотрим отдельно частный случай, когда средой 2 (см. рис. 4.4) является идеальный проводник.
Здесь, как уже указыва- лось, всегда Ее —— О. Поэтому на осноЕт ванин равенства (4.24) граничное ус- ловие для касательной составляюШей Вг вектора напряженности электрического поля на поверхности идеального проводника принимает вид :7' Е,=О. (4.25) Е 7 В соответствии с этим условием силовые линии электрического вектора должны подходить к поверхности идеального проводника по направлению Рис. 4.6. Явление «преломления» силовых линий влектриче- ноРмоли. ского вектора на границе раа- Понятие «идеальный проводник» дела двух сред есть результат абстракции. На поверх- ности реального проводника (например, металла) некоторая касательная составляющая электрического вектора, безусловно, имеется.
Однако она весьма мала по сравнению с нормальной составляющей и, как будет показано в дальнейшем, в ряде практически значимых случаев эту составляющую можно с полным основанием не учитывать. В заключение отметим, что принцип перестановочной двойственности электромагнитных полей, описанный в 2 2.4, позволяет обобщить формулу (4.21) на тот случай, когда вдоль границы раздела протекает воображаемый поверхностный магнитный ток с плотностью 3„., „ (В/м).
Легко видеть, что при этом 1-.. = — 11.Ег1=!Ег(.1. (4.26) Данным соотношением часто пользуются в теории антенн, мысленно заменяя распределение напряженности поля Е вдоль излучающей поверхности эквивалентным распределением поверхностного магнитного тока. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 17. 79 Задачи здддчи 4.1. В каждой точке плоскости ХОУ декартовой системы коор.
динат задан вектор Е=71,+41„+31,. Найдите нормальную Е„и касательную Е, составляющие этого вектора. 4.2. Применительно к условиям предыдущей задачи получите формулу разложения единичного вектора касательного направления 1, по ортам системы координат х, у, з. 4.3. В пространстве с декартовой системой координат полу- пространство з)0 заполнено воздухом, а полупространство г< <Π— проводяцгим веществом с параметром о=2.10" См/м. В воздушной среде создано постоянное и однородное электрическое поле, вектор напряженности которого Е1=10 — 4!„В/м.
Определите: а) модуль вектора плотности тока проводимости Зррч в веществе; б) удельную плотность мощности тепловых потерь. 4.4. Полупространство з) О (среда !) заполнено воздухом (а=1), а полупространство я<0 (среда 2) — диэлектриком с относительной проницаемостью а=5. Вектор напряженности электрического поля в первой среде Е1=201, В/м, во второй среде Е,= — 41, В/м. Найдите плотность поверхностного электрического заряда а„, в плоскости г=О. 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
