Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Понятие магнитного тока играет вспомогательную роль, позволяя в ряде случаев значительно упростить расчеты. б) а) Рис. 2Д. Картина силовых линий поля: и — магнитное поле вблизи проводящей полосни", б — злентрняесное поле вблизи зазора между двумя заряженамми плоскостями Геометрическое сходство полей на рис, 2.5, а, б есть следствие симметрии двух основных уравнений Максвелла го1 Н=Утея,Е; го1 Е= — ейеР,Н, (2.30) которые переходят одно в другое при следующих перестановках: Е Н; я, — Р,. (2.31) Если в правой части первого уравнения Максвелла фигурирует плотность стороннего электрического тока З„м то для сохранения симметрии уравнений в правую часть второго уравнения следует ввести гипотетическую плотность стороннего ми~ нитного тока л„лм такую, что '1ет з ')ет м (2.
32) уравнений Максвелла принимает вид В этом случае система го1 Н=рар,Е+.1„„, (2. 33) .)щ)звН 1ет м Соотношения (2.31) вочной двойственности и (2.32) отображают принцип перестанодля электромагнитного поля. В соответст- 41 2Х Лемма Лоренца вин с этим принципом, если известно решение какой-либо электро- динамической задачи, простая перестановка позволяет сразу получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация силовых линий магнитного поля повторяет конфигурацию силовых линий электрического поля в исходном процессе.
При этом, поскольку уравнения Максвелла не меняют своего вида, дуальный электромагнитный процесс заведомо существует. 2.6. Лемма Лоренца В теоретических вопросах важную роль играет соотношение, называемое леммой Лоренца, которое устанавливает связь между полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми си- стемамн сторонних токов. Пусть некоторая совокупность гармонических сторонних токов ()„.„.)„.,) создает электромагнитное поле с комплексными '(1) ' (1) ) амплитудами ( Е,, Н,), которое удовлетворяет системе уравнений Максвелла '(1) го( Н, =/шеэЕ(+ )ст.э, (2.34) го( Е, = — — )ш(э,Н) — )„., ' (! ) Наряду с этим рассмотрим другую систему сторонних токов (Л~ )„гт,' ), имеющих ту же самую частоту. Эти токи возбуждают поле с комплексными амплитудами (Еэ, Нг), удовлетворяющими уравнениям ГО( Н =1 ээЕ2+ й',)„ (2.35) го( Е,= — рср,Н,— А...
'(г) Этапы вывода леммы Лоренца схожи с теми, которые использовались при выводе формулы для вектора Пойнтннга. Умножнм скалярно первое уравнение из (2.34) на вектор Еэ, затем второе уравнение из (2.35) на вектор Нт и вычтем второе равенство из первого. В результате получим — ГВч [Е2Н)]=ушеэЕ(Е2+2ш)тэН)Н2+ 2~т,~эЕ2+ )~тт~мН1.
(2.36) Теперь умножим скалярно второе уравнение из системы (2.34) на вектор Н,, первое уравнение из системы (2.35) на вектор Ет и вычтем второе уравнение из первого. При этом будем иметь (21Ч[Е)Н21= — /шеэЕ)Е2 — ро)ээН)Н2 — Зст.эЕ1 )ст.мН2. (2.37) 48 Глава 2. Уравненан Максвелла Складывая почленно равенства (2.36) и (2.37), приходим к соотношению 61ч[Е1На] — б(ч[ЕаНс]= )~ес~вЕа+ )~С,~мНс — 3сс~вЕс 3с~~мНа (2.38) которое выражает лемму Лоренца в дифференциальной форме. Векторные произведения [ЕсНв] и [Е,Нс] в левой части можно трактовать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых электромагнитных процессов.
Возможна также интегральная формулировка рассматриваемой леммы. Чтобы получить ее, допустим, что имеется конечный объем Р„ограниченный поверхностью 5. Применив теорему Остроградского — Гаусса к формуле (2.38), находим ] ([Е1На] — [ЕаНс],'68= ] (К',~вЕа+З~,~мНс — 1~',~,Ег— 1с[.мН2) с(~ ° (2.39) Лемма Лоренца в форме (2.38) или (2.39) является полезным инструментом решения многих задач электродинамики, особенно связанных с расчетом антенн. Этот круг вопросов будет рассмотрен в гл.
17. ЗАДАЧИ 2.1. Покажите, что векторное поле Н, изменяющееся во времени и в пространстве по закону Н=бх соз аНв+2 ехр ( — 2у) з|п аЛгм не может быть полем магнитного вектора, который удовлетворяет уравнениям Максвелла. 2.2. Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция гространственных координат, вытекает следующее уравнение относительно вектора напряженности магнитного поля: 1 61ч Н= — — (Н агасси )с,). (лв 2.3. Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты г.
Используя уравнения Максвелла, покажите, что при этом продольные проекции Е, и Н, векторов электромагнитного поля будут отсутствовать. 2.4. В некоторой точке материальной среды с параметрами е= =3.5 и о=6.2 10 ' См/м создано электрическое поле с частотой 600 МГц и амплитудой напряженности 15 В/м. Определите ампли- 49 Задачи тудное значение и фазовый угол вектора плотности полного тока в данной точке пространства. 2.5.
Грозовая туча площадью 5 км' располагается на высоте 2 км над поверхностью земли. Между тучей и землей образуется постоянное электрическое поле с напряженностью 2.10' В/м, одинаковое во всех точках. Оцените энергию этого поля. 2.6. Сердечник трансформатора массой 2 кг выполнен из стали плотностью 7.7 г/см'. Амплитуда вектора магнитной индукции в сердечнике 2.1 Тл. Найдите максимальное значение энергии, запасаемой в сердечнике, если относительная магнитная проницаемость стали равна 200. 2.7.
Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля Е=28е~ л 1 — 105е "' 1„+Збе~~'~1, (углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц. Найдите мгновенное значение вектора Е в момент времени 0.1 мкс. 2.8. При описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель, которая уподобляет молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающим при движении вязкое сопротивление окружающей жидкости, При этом связь между вектором поляризованности Р и вектором напряженности электрического поля Е устанавливается дифференциальным уравнсш;см — + — Р=аЕ, Ж Т где а в некоторая постоянная, Т вЂ т называемое время релаксации процесса поляризации. Получите формулу, описывающую частотную зависимость комплексной диэлектрической проницаемости подобной среды.
2.9. В некоторой точке пространства заданы вектор напряженности электрического поля В=20!и В/м и вектор Пойнтинга П= = 101 +301, Вт/м'. Определите вектор напряженности магнитного поля в данной точке, если известно, что Е) 14. Глава третья ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Основополагающие исследования Максвелла показали, что переменное во времени электромагнитное поле имеет волновой ха. рактер.
В дальнейшем Герц подтвердил теоретическое предсказание Максвелла прямым экспериментом. Глава 3. Плоские электромагнитные еолноз 50 В данной главе будет изучен простейший, но очень важный вид волнового движения электромагнитного поля, называемый однородными плоскими волнами.
ЗЛ. Понятие волнового процесса. Продопьные и поперечные волны Волнами в физике называют колебательные движения непрерывных сред. Существует принципиальная разница между волновыми процессами в сплошных средах и колебаниями токов и напряжений в электрических цепях. Если в теории цепей состояние системы полностью определяется конечным числом токов и напряжений в отдельных ветвях, то для задания волнового процесса требуется знать его состояние в бесконечном множестве точек пространства.
Поэтому говорят, что среда, в которой распространяются волны, является распределенной физической системой. а) Рис. 3.1. Некоторые примеры волновых процессов: а — звуковые волны в воздухе; б — волны нв оовнрхносзн воды Природа волновых явлений может быть самой разнообразной. Так, известны электромагнитные волны, механические волны в твердых, жидких и газообразных средах, волны на поверхности моря и т. д.
Сравним два хорошо известных и легко представимых волновых процесса — звуковые волны в воздухе и волны на поверхности воды (рис. 3.1, а, б). Пусть эти волны распространяются в направлении слева направо или справа налево. Звуковые волны связаны с перемещением в пространстве областей сжатия и разрежения газа. Каждая отдельная частица газа колеблется вдоль направления распространения волны. Такие волны принято называть продольными. В литературе можно встретить также термины акустические или скалярные волньь 8.2.
Плоские волны и их характеристики Совсем иной характер волн на поверхности воды. Здесь колеблющиеся частицы перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны (строго говоря, предмет, плавающий на поверхности, описывает некоторую замкнутую кривую, однако продольные перемещения значительно меньше поперечных). Для волн такого вида следует указывать ту плоскость, в которой происходят колебания частиц. Эту плоскость называют плоскостью поляризации, а сами волны — поперечными, поляризованными или векторными.
Нетрудно понять, что математическая теория поперечных воли сложнее теории продольных волн. Поэтому следует ожидать, что в поперечных волнах наблюдается большее число различных физических эффектов. 3.2. Плоские волны и их характеристики Предположим, что в каждой точке пространства с декартовой системой координат (х, у, е) определена некоторая величина и (физическая природа ее на данном этапе безразлична), описываемая формулой о(е, 1)=1/„соз (е~ — рз), (3.1) где е', со, р — действительные числа. Говорят, что данная зависимость является математической моделью однородной плоской волньс.
Рассматривая характер изменения величины э(е, 1) в пространстве и во времени, заметим прежде всего, что значения о постоянны в любой плоскости, перпендикулярной оси а Иными словами, мгновенные значения однородной плоской волны не зависят от поперечных координат х и у. Далее обратим внимание на то, что как временная, так и пространственная зависимости величины о1з, Ц описываются гармоническими функциями. Действительно, зафиксировав точку в=О, получим э10, г)= У совий Колебания в точке с координатой з) )О имеют вид п(з, 1) =)т соз(со1 — рг), т. е. характеризуются теми же амплитудой г' и частотой ьп однако запаздывают по фазе на ре радиан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
