Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Наконец, предположим, что в каждой точке поверхности задан некоторый вектор П, своим модулем и направлением характеризующий плотность потока мощности. Вектор П имеет размерность Вт/ м', если этот вектор ориентирован по направлению от поверхности, это ознаи чает, что в точке задания данного векто- ра энергия покидает объем 1Г. Рис. 2.2.
К лакаввтсль- На основании закона сохранения стну теоремы Поантингв энергии естественно полагать, что пере- численные выше физические величины связаны между собой соотношением (2.13) В 1884 г. английский ученый Дж. Пойнтинг, развивая идеи Максвелла, показал, что вектор плотности потока мощности электромагнитного поля (2. 14) П= [ЕН(. Данный вектор называют вектором Пойнтинга. Для вывода формулы (2.14) возьмем два первых уравнения Максвелла го1Н= — +аЕ+Я„, дт дВ го1Е =— дс умножим скалярно первое уравнение на вектор Е, второе на вектор Н, а затем почленно вычтем первое равенство из второго. В результате получим Н го1Š— Е го1Н= — Н вЂ” — Š— аЕ' — Л„Е. дп дп (2.15) дС дС 2.4.
Энергетикеские соотношения. Вектор Поднтинги 4! Левую часть этого уравнения можно преобразовать на основании известного тождества векторного анализа: Н го(Š— Е го!Н=б(ч !ЕН1. Далее, так как В=(г,Н, 1)=е,Е, то дн дН ! д Н =  — = — (ВН), дг дг 2 д! Е = 1) = — — (ОЕ). дп дЕ ! д д! д! 2 д! Воспользовавшись этим, представим равенство (2.15) в виде б(ч [ЕН)= — ~ ) — аЕ' — ЗстЕ~ д (НН+ПЕ~ откуда, по теореме Остроградского — Гаусса, д Г ВН+ Ген б!и (ЕН!б('=ф!ЕН1 б8= — д ) б~'— — ) аЕЧ)т — ) г„Еб)т.
(2.16) Мощность тепловых потерь в объеме всегда положительна: Р„' = ) аЕЧУ. (2.19) Объемная плотность мощности тепловых потерь пропорциональна квадрату модуля вектора напряженности электрического поля: )т,р,— аЕа. (2.20) Сравнивая формулы (2.13) и (2.16), следует отождествить величину (ЕН) с плотностью потока мощности П, что и подтверждает формулу (2.14). Наряду с этим интеграл Г вы+не (2.17) представляет собой полный запас энергии электромагнитного поля внутри объема )т в фиксированный момент времени. Энергия поля распределена в пространстве непрерывно с объемной плотностью (Дн т г) чп= — (ВН+ 1)Е) = — "' + — ' 2 2 2 (2.18) Глава 2.
Уравненил Максвелла Наконец, мощность сторонних источников Р„= ) .1„Еб(l (2.21) распределена в пространстве с объемной плотностью р„=.)„Е, (2.22) которая может быть как положительной, так и отрицательной в за- висимости от взаимной ориентации векторов, фигурирующих в пра- вой части последней формулы. Если электромагнитное поле изменяется во времени гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные амплитуды Е и Н соответствующих полей, поскольку действительная часть любого комплексного числа есть полусумма комплексно- сопряженных чисел, так что Е=Ке(Ее' )= Ч, (Еет + Е е 1 '), (2.23) Н=Ке(Нет ')='!а(Не~"и+Йе т ').
(2.24) Подставляя данные выражения в формулу (2.14), находим П = — 1[ЕЙ1+ [ЕН1+ [ЕН1 е~ " + [Е Н|е У " ) = = — Ке[ЕЙ)+ — Ке1[ЕН1е~ ~). 2 2 (2.25) Здесь первое слагаемое в правой части неизменно во времени, а второе изменяется с удвоенной частотой.
Таким образом, процесс Пример 2.3. Пусть в некоторой точке пространства заданы неизменные во времени векторы Л„=301 „— 801„+451, А1м', Е= — 251„+401„+161, В1м. На основании формулы (2.22) плотность мощности сторонних источников в данной точке р„= — 30 25 — 80 40+45.16= †32 Вт/м'.
Отрицательный знак данной величины свидетельствует о том, что сторонние токи, существующие в малой окрестности рассматриваемой точки, совершают работу против сил поля и увеличивают его энергию. 24. Энергетические соотношения. Вектор Пайнтиига 43 переноса энергии в гармоническом электромагнитном поле характеризуется, с одной стороны, действительным вектором т П„= — ~ ПЖ = — Ке 1ЕЙ], о (2.26) равным плотности потока мощности, усредненной за период, и, с другой стороны, действительным вектором П„,„= ~ цеДЕН]е" '), (2.27) который представляет собой колеблюи1уюся составляющую вектора Пойнтинга. Следует иметь в виду, что среднее за период значение вектора Пги равно нулю.
При анализе гармонических электромагнитных полей часто вводят комплексный вектор Пойнтинеа П = — 1ЕЙ], 2 (2.28) обладающий тем свойством, что Пример 2.4. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды полей Е=51х — 781и+12е~" 1, В/и, Н=0.4енм1,+1.бе г~ 1 — 0.75е г~~1, А!и.
Найти комплексный вектор Пойнтинга П и его действительную часть П,р в данной точке. Сопряженная комплексная амплитуда магнитного вектора Й=0.4е 1,+1.6е 1„— 0.75е 1,. П„= КеП. (2.29) Легко видеть, что имеется полная аналогия между комплексным вектором Пойнтинга и известной из теории цепей комплексной мощностью гармонического колебания. Если комплексный вектор Пойнтинга оказывается мнимым, то это значит, что рассматриваемый электромагнитный процесс в среднем за период не переносит мощности.
Принято говорить, что чисто мнимому значению комплексного вектора Пойнтинга отвечает перенос электромагнитным полем реактивной лгощности. Глава 2. Уравнения Максвелла Раскрывая векторное произведение в декартовой системе коорди- нат, получим 1р — /8 !.ее/лб' (2е/зо' — о 78е/бе. ! П=— л б В.4е У'б = (3еугбб' — 9.6еУ"') ! + (1.875еУ"'+ 2.4е — У") 1„+ 5.6е/"'! Преобразуя экспоненты с мнимыми показателями по формуле Эй- лера, находим, что П=( — 5.083 — /7.773) ! +(3.306+ /1.003) 1„+ +(3.960+ /3.960) 1, Вт/ми, П,р — — — 5.083! + 3.306!и+3.9601, Вт/мй.
а) У ! ! / У г Н Рис. 2.8. Передача энергии электромагнитного поля от источника к нагрузке: а — прннцнпнальная схема цепи; и — конфигурация силовых лилий поля а по- перечном сечении Концепция вектора Пойнтинга позволяет правильно описывать любые процессы передачи энергии электромагнитным полем. В качестве примера на рис. 2.3 представлен эскиз двухпроводной линии передачи, вдоль которой энергия от источника постоянной ЭДС передается резистивной нагрузке.
Здесь же изображена примерная кар~ина силовых линий полей Е н Н. В каждой точке пространст- 25. Магнитный топ. Принцип двойственности Рнс. 2.4. Система нз нврнженното конденсатора н постоянного магнита откуда б1чП=О, а это означает, что в этой физической системе векторное поле П не имеет источников. Поток такого поля через замкнутую поверхность равен нулю, и поэтому энергия электромагнитного поля внутри любого ема постоянна. ограниченного объ- 2.5. Магнитный ток. Принцип перестановочной двойственности Рассмотрим картину магнитных силовых линий, возникающую вблизи тонкой проводящей полоски шириной Л, по которой протекает электрический ток т', (рис.
2.5, а). В непосредственной близости от проводника магнитные силовые линии в значительной мере повторяют его контур. На самой поверхности проводника магнитный вектор касателен к плоскости полоски, отмеченной сплошной линией. С удалением от полоски силовые линии, постепенно деформируясь, превращаются в окружности. На рис. 2.5, б изображена картина силовых линий электрического вектора в системе из двух заряженных металлических полу- плоскостей, которые разделены зазором нгириной Л. С точностью до направления стрелок в верхнем и нижнем полупространствах эта картина тождественна той, которая рассматривалась ранее. ва существует отличный от нуля вектор Пойнтинга, ориентированный вдоль линии от генератора к нагрузке. Переносимая мощность равна интегралу от вектора Пойнтинга по поперечной плоскости, взятому в бесконечных пределах.
Анализируя данную систему, приходим к несколько неожиданному выводу в энергия переносится не токами в проводниках, а электромагнитным полем в окружающем пространстве. Наличие проводников и токов в них служит лишь условием существования полей требуемой конфигурации. Другой интересный пример — система из постоянного магнита н заряженного конден- Ф сатора, которые ориентированы так, как по- ~ ~ ~ ~ ~ ~ гЕ казано на рис. 2.4. Здесь поля Е и Н не параллельны, и поэтому в каждой точке пространства существует отличный от нуля вектор + Пойнтинга Н= ~ЕН]. Однако никакого переноса энергии в данной системе нет.
Дело в 1~Г115ГВ том, что рассматриваемые поля статические, 5 токи проводимости отсутствуют и в соответствии с уравнениями Максвелла го1 Н=О; го1 Е=О, Глава 2. Уравнения Максвелла Сходство картин данных полей позволяет чисто формально предположить, что в щели параллельно кромкам протекает некотОРЫй ГИПОтЕтИЧЕСКИй тОК )и, НаЗЫВаЕМЫй Магиитыбон ТОКОМ. Подчеркнем, что в силу соленоидального характера магнитного поля (см. гл. 1) физических носителей магнитного тока не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
