Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 53
Текст из файла (страница 53)
7Р'о 3) Уравнение эквипотенциалей ~«р = сопй) СЬ 2г. — = К сов 2~т — при К = С$п у Х 2378 Ь 'о рева пчахо проводЯщего матер~~~ ,, О) в не~ улажены две сте ~ы равадов ~+ " женных на рис. 18.15. 1) Определить комплексный потенциал и напрЯженность электрическОГО пОля в проводящем материале. Д Ж 2) Определить проводи В~у Ф МастЬ СНСТЕМЫ На еДиниЦу д~ длины вдаль Осеи прОВОДОВ Й и на расстОяние Ь ВдОль ф ОСИ Х. О 3) Найти средБюю актив- НУЮ МОЩНОСТЬ, ПРИХОДЯЩУ- юся на квадратный метр граничной поверхности.
4) Построить зависимо- Рис. 18,15Р сти, пО'генциала и напряженности полЯ: а) от х при у = О; б) ат у при х = О и в) от у при х = + Ь/4. Напряжение между палОжительными и Отрицательными пров~ ~дами и 1ОО ~п ~ 1 4г Я ~ъад~Уус п~ оводов г 4 мм Ь/2=6О см; 6=2О см; а.,=1О; о~=1О з См/см. Р е щ е н и е. Для рещения задачи можБО применить метод зеркальных изображений. Гамале в проваджцем материале ~с:„, (72) Определяется при этом истинными тОками + 1 ~на единицу Длины Вдоль Осей прОВОДОВ) и их изображениЯми +1«, причем О" 2 — ~ « ° О'2 + /ЯС~Я~ — ЯД~:«~ +1, =+1== — =+1 О~ + О'~ О'2 + ~ИЕой~р + ~0360 + + + Рис.
18.16 4в) При х = + Ь/4 (рис. 18*15Р ) Комплексный потенциал ряда истинных ТОКОВ Оп е-7,- ляется так Я так же, как и потенциал заряДОВ + т, В задаче 18 14. В ОПРЕДСУчитывая„что проводники располОжены Бе на оси х, а сдВИ- нуты на расстояние — Й вдоль оси у, и п7именяя акал налох'ию расчета полей токов и электростатических полей„запипем комплексный потенциал В Виде Напряженность электрического поля по (18.2) .Š—— Х 1 1 й О.2Ь з1п 27~ ~~ + ф)/Ь яп 27~ ( — ф)/Ь 4Г СЬ (2кЬ/Ь) Ып (2яг/Ь) а~ 6 СЬ (47й/Ь) — сов 47~ фЬ) Х 3~ ф = Ее и = — Йе!п ~д — г е'~ ~д — — 2'А е'~ 2на, Ь Ь вЂ” '77+ 7' Е'" П потенциал ф = — ф+.
Напряжение между поло- жительно и ОтрицательнО заряженными прОВОдами П ово ро одимость системы на единицу длины Вдоль осей про- ВОЯОВ и на ширину Ь вдоль Оси х 630 О,О654 См/см = 6о Ь 27й 1п сй 7РО 3) Ток, стекающий с 1 м провода, 1 = У У,7 и У6, = — О,0654 = 4,61 А/м, 1ОО 2 Средняя активная мощность, приходящаяся на 1 м' поверх';',;: ности, Ро — — ~Л/Ь = 271 Вт/М2.
4а) При у = О (рис ц СЬ (2кй/Ь) * яп (27~х/Ь) е =, Ь С1~ (47ффЬ) — соБ 47~ (х/Ь) у СЬ (27й/Ь) + СОЯ (2кх/Ь) ~Р = 2, " С1~ (277,,77/Ь) — сои (2йх/Ь) 4б) П~ри х — — О (рис. 18 15Р~ ~"-~) 1 у — 6 Ф 1п сй к С~Ь 27И77, Ь На рис. 18,15Р обозначено: А = 1/27~а„В = Г/~77Ь, 18.16. Реп7ить задачу 18.15 для системы проводов, изображенных на рис. 18.16. 18.2.
Метод интегральных уравнений . 71Р). Опрел~лнть линейную плотность заряда т вдо:ь уединенного провола элиной ! = 50 мм н диаметром 2а = 1 мм Потенциал провода относительно бесконечно удаленной гочкл равен Г Рассчитать емкость проводе Р е ш е н н е. ение.
Поле вокруг проволнгггга аксиально-симмегр - иснт ог координа~ г и =, поэтому можно счнрн шов н зав тать, что в есь з,ряд нахолигся на осн провода с линейной плотностью т(э), (4) Решим это уравнеюге методом приведения к системе ли;иегйных аггсбранческих уравнений (методом алгебраизации) ~Разобьем провод на и оэгшшпгвьгх участков с зарялами т; ;и будем считать, что внутри каждого участка т; постоянно ггто-гкт вабчю геггняу потенциал кого)гпй бг возьме~ лосе(гэзнне участка прово.иг В этом случае интеграл (3) заменится суммой Рве 1817Р Выг .
делим на оси провода — на расстояннч:, ог начала координат элемент г(гг (рис. 18.17Р,а). Элемегнгарный заряд этого элемента т(с,)йгг. По (184) потенциал .глемег.арного заряда в произвольной точке М г(гз = т ( г) лег)4тгг.,й, (1 тле Я =-. )Тг3 + (, .-,)г Потенциал поля заряженного провода по (18.5) 1 ) т(гг)г)з, 4я" ( Я (2) о Для точки М на поверхности провала (г =-а) погенцнал яг=У н — — ==== = Т, т(=,) 4., (,'а г гле Т-. 4ла,П Это ннтсг алы ра. ьпое неоднородное уравнею;е Фрелголг-ьга первого р рода относительно неизвестной шготностн т(к), алз.«.
личное (18.6). 632 Таких уравнений можно написать п (1 -) "= и). Таким образом, гюлучзегся сисгема уравнений вида 1т(=-(1~, Т, (5) - гле ~, 'и,; — ггвадрагггая матрица коэффициентов; (т ! — матри. ца-столбец искомых линейных плотностей зарядов на участках: '! 11, — единичная магрппл-столбец Если г' — ", ), то ~ 2) — 2!1 гь 1 (6) ~ 2)г — 21 ( — 1 * если г .=-д го г„.= )п 1 ! .г- (1:яа)гэ = 21п (Рпа).
(7) В (6) и (7) учтено, что а «). Вычисления по (6) и [7) лают -; при п =- 5 слелуюгцую матрицу коэффициентов. ~ 5,994 1,099 0,5! 1 0,336 0,25! ! (1,099 5,994 1.099 0,511 0,336( ( 0,511 1,099 5.994 1,099 0,511)~ . (8) ' ~ 0,336 0,511 1.099 5,994 1,099'~ ~ 0,251 0,336 0,511 1,099 5,994~~ Вследствие симметрии расположения зарялов т, = т, н т, = = т,.
поэтому вместо (8) можно записать матрицу ~, 6,245 1.435 0,511 1.435 6.505 1,099 ~~. (9) 1,022 2,198 5.994 Решив систему уравнений (5) с матрипей коэффициентов (9), найден зарялы т, = 0,126Т; т, --: О,!08Т; т, = 0,105Т. 3арлл г.рочола г) =. 2т,)гп т 2гг)п ч тз)п = 0559Т=- 064 10 "(7 Кл, т.е емкость провода 0,64 пФ. Для проверки точности решения повторим его, разбав провод на и = 10 частей. Вследствие симметрии расположеш я зарядов т1 т~о тэ то тз то то тэ тз то Матрипа коэффициентов системы (5) ! 4,726 1,224 0„654 1,224 4,758 1,266 0,654 1,266 4,316 ! 0,503 0,712 1,350 0,452 0,537 0,847 0,503 0,452 ~', 0,712 0,587 ~! 1,З5О О,847,. 4,951 1,610 1,610 5,714 й Решение уравнений (5): т, =-0,146Т; т, = 0,115T, тз = 0,1097 то —— 0,1067', т, =- 0,105 Т.
На рис. 18.17Р,б приведены результаты расчета при л =- 5 (залитые гочки) и а = 10 (незалитые точки). 18.18(Р). Определить распределение заряда вдоль провода задачи 18.17, который находится на расстоянии л =. 25 мм нал бесконечнои проводящей плоскостью (рис.
18.!8). Потенциач провода относительно проводящей плоскости равен Г Рассчитать емкость между проводом и плоскостью. йа Рнс. !3.! 3 Рис. !ЗЛЗР -л о- Поместив точку наблюдения на поверхность провода, нучим: ),оон,, -г оо~ з Т х з П 1 ,)э )74лз -Ь (г — т,) тде = . о Т=4яс (7 Перейдем, как и прн решении задачи 18.1, . 7, к системе 'гебраических уравнений Ь,„ н- л и-1Ь' ','здесь первый интеграл аналогичен интегралу,, л ,4, за. ачи !8.17 Матрица коэффициентов ) п ' полученной системы уравне-::Ний состоит из двух подматриц: (1 1) ;,причем подматрица,, ,'и' ~ такая же, как н н в задаче 13.17.
: Коэффициенты полматрицы ! и" ! вычисляются по формуле ~27' — 21~+ 3- $'(!2~ — 2П+ 3)'+ !.' ~2) — 2м -«1-ь )'((2/ — 21~ -ь 1)э+ Аз .'Рде Л = 4пЮ Прн и=-5 т(г,)Ит, т(г,)Ит„ 4леоЯ ° 4хсой— где )! = 1„~0 „- Ь)'+ (з — зо)", Потенциал точки М т(з,) г)х, 4асо 2(,)! )(-) о 635 Р е ш е н н е. По методу зеркальных изображений потенциал поля в верхней полуплоскости определяется зарядами на проводе и их зеркальными изображениями (рнс. 18.18Р).
Потенциал поля элементарного заряда т (з,) Иг, и его зеркального изображения в произвольной точке М (см, рецюние задачи 18.17) 0,196 0,186 0,171 О,!56 0090 Р 0,186 О,!96 0,186 0,171 0,156 ! и" ~', = 0,171 0,186 0,196 0,186 0,171 0,156 0,171 0,186 0,196 0,186 ~~ 0,090 О,!56 0,171 0,186 О,!96 , !( 5798 0913 0340 0180 0,161 3 0,913 5,798 0,913 0.,340 0,180 ~ а ! = ~ 0,340 0,913 5.798 0,913 0,340 ~ 0,180 О,З4О 0,913 5,798 0913 ~~' 0,161 0,180 0,340 0,913 5,798 /) Вследствие симметрии расположения зарядов т, =-тм поэтому матрица коэффициентов 5,959 1„093 0,340 (( 1,093 6,133 09!3;(. ); 0,680 1,825 5,798 ',, по (11) Р~ 18 19 сг Рвс, 18.19Р ,Д Ряс.
18.20 Рнс. 18.20Р- где Аг == 2л)г/1, Р ешение системы алгебраических уравнений: т, =О.! гх ! тг —— 0,121Т; т, = 0,118Т. Заряд провода д = (2г, + 2т. -ь т,) 1," .. --0636Т= 0707 10 гг(7, Кл; емкость С =-0707 пФ. Результаты рас ~ета представлены на рис.
18,17р.б ',к.:с тихи). ис... ',к! ге 18.19(Р). Оп ег . ( ). р делить распределение заряда вдоль прова задачи 18.17, если провод расположен перпендикуля но бс," печной проволяшей плоскости. Нижний конец провода ,а. дится на расстоянии Й = 5 мм ох плоскости (рис. 18.10! Потенциал провода относиз'слыло проводягцей плоскости раве (7, Рассчитать емкость между проводом и плоскостью. Р е ш е н и е.
По методу зеркальных язображеннй приход:.'" к расчетной схеме. показанной на рис. 18,19Р. Последоватс ность расчетов такая же, как в задачах 18.18 и 18.17, но вмес.о (10) получим уравнение л г г т г = — — -= — т(г,)дг, =- Т Раз+ (г — г„) ),'гаг, !г -, г,)г/ и систему алгебраических уравнений (5) с матрицеи' (11) По . матрица и' ', ест стается оез изменении, Козффигпгенть~ п~ матрицы,', и" 1 вычисляются по формуле па =- !и 21 -с 2г — 1 . Х 27'ч ч — 3-. гг'' 0,693 0.405 0,288 0,223 0,182 ),' 0,405 0,288 0,223 0,182 0.,154 !' ',, и" 1 =. ) 0,288 0,223 0,182 0,154 О,!34 ", 0,223 0,182 0,154 0,134 0,118 ! 0,182 0,154 0,134 0,118 0,053 ,) 5,301 О,бо4 0,223 0.113 0,069 ~ 0,694 5,706 0,876 0,329 0,182 ~, 'и ! = 0,223 0,917 5,840 0.945 0.377 0,113 0,329 0,945 5,860 0,981 (~ 0,069 0,182 0,377 0,981 5,941 ~,' Решив систему (5) с полученной матряцей козффициенгов, ' входим зарядьп г; = 0,162Т; т =- 0,126Т, т, = 0,1ПТ; тг = ж 0,119Т; т, =- О 135Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
