Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Со и 1п (а/Г~) и 1п (а~г ) Отметим, что при и = а/~о емкость рассматриваемой системы равна емкости цилиндрического конденсатора с радиусами Го и а. 3) Уравнение семейства эквипотенциалей (~р = сопз1) —;--1 ~ 1+(1 — К')(/а)'" ~~ + )-'--~1 ~~ 4 2 (Г/а)" Уравнения семейства линий поля (ф = сопз1) (~/а)" = соз ии + (Йп ии)/Х при Х = ф ф и функциЮ потока: агар 2ес.() 2) Потенциал центрального т а' а ~р+ — — 1п 4ЙЙО и'Го ~ о З1П ИИ (г/а)" — соз ий проводника (Г = г~) при ~ << а ,'~я~«пповодов~ 3) менится реймсе ~ие Отсутствует. Ре~енне, -~~~ожно примени ;Язображений„то , ' удет Определят :--п«роводами, расп ФИКТИВНЫМИ "-'!1~иями проводов) ;:'Трубки на расст '-;~Продолжении ра ~ ~:-',.-',:,начала '-""~уммарный КО -".(см.
рипение зад ,:-':;:::,:ю = — 1пг— 2еяо 11остоячную ,-„::::потенциал равен О= 2еео 1) Для ре~пения задачи ть метод зеркальных Гда пОле Внутри трубки ься Всеми реальными сложенными Внутри нее, проводами (изображе- , РаСПОЛОЖЕННЫМИ ВНЕ Оянии Ь2/а от оси на лиусов, проведенных из ат через эти провода мплексный пОтенциал ачи 18.3) Г Определим из услОВия, что при нулю: — (Ь/а)" е"" 1(Ь/а)" е '"" — Ц С йе 1п Ь~1~" ~~~1 ~ Д~ ' )п ~ип Ц т Ь " ~С1 = — 1п 27~ВО а Ба рис, 18,6Р, где ~р' = 14~р/У и ф' = 12е~ф/Г, представлено семейство эквипотенциалей и линий поля (пунктир). 18.7(Р).
На оси проводящей трубки радиусом Ь расположен провод радиусом Г, (рис. 18.7). Симметрично на расстоянии а от оси расположены и проводов радиусом Г~. Радиусы про- ВодОВ намноГО меньпи расстОяний между прОВОдами. Липеиная пл ОтнОсть заряда центральнОГО пр ОВОда т ~, каждого из периферийных прОВОдов 7. Определить: 1) кОмплексный пОтенциал электрическогО поля внутри труб~и, с~~~а~ ~о~е~ц~ал ~руб~и ра~~~~ нулю; 2) по~е~ц~ал Це~~рал~ноГО провода и потенциалы ~ер~ферий- Аргумент постоянной С определяет только начало отсчета функции потока и не имеет значения в рассматриваемой задаче, при этом (~~Ь)" — (Ь/а)" 1п Н./а)" — 11( /Ь)"' * Откуда ПОтенциал центрального ~.ЕРОВО ~а т Ф1 = — -1П 2~~:О, а ерхности П~риферийного провода +г е~ г ПОРЯдковый номер провода 1 ак как Го 'Ф. "а, ТО аЕ„~2~У'.~,'л ~а~'б~" — ~ф~а)" ~~ —" е- р- ' щ ") -И Л (а/Ь)"'~*11" ' отенциал периферийного провода (Ь/а)" — (а/Ь)" Ь Б— а З) 1 ~редставив Выражение для ~р В Ви Ь т~ Ь 'Р1 = — 1и — + — 1п 1~~О Г1 23760 а найдем пОтенциальные коэффициенты: м„= — 1п (Ь~~1) и ж12 — — 1п (Ь|а).
2еео 2кео АналогичнО из выражения для ~р2 й2 1 1п (Ь/а) й 2еяо 12~ 1 (Ь/а)" — (а/Ь)" ~22 = — Ы 2йеои про/а По извест1 звестнь~м потенциальным коэффициентам легко опр".- деляются частичные емкости; Й ГДЕ Л = ж11и22 — ж12. При указанных в условии параметрах 11 = — -4; ж 2 = 1,2„а12 = -- — -1; ~,7~во 2ЯВц 237ВО 15 . 5 С11 — 231Е~ — -, С22 — 2У~С вЂ”; ~,1 — — 2У~Е- —. 19 % '12 ' О 4) Г1ри отсутствии центрального провода во всех формулах едует положить г1 =О и т1 = О, при этом емкость между стальными ПРОВодами и трубой С = Г22 = 1/222.
$3.3(Р). Найти напряженность электрического поля зада- 18.7. Г1остроить зависимости напряженности электри веского ля: 1) ог радиуса ~ при ~ = 2лк/и (рис. 18.7, в плоскости, оходящей через Оси пентральго и пеРиферийногО проводов); 2л 1 от радиуса при м = — к+в п 2 с.
18.7, в меридианной плоско- и, деля%ей пОпОлам угол между едними периферийными прО- дами); 3) от угла ж при г = Ь поверхности проводящсй труб- Расчет выполн~ть для двух ."=:::::: случаев: А) ит = 2т1 и Б) ю = -2т1, Р е ш е н и е. Комплексное Вы"!!:;:,:;:.'Ражени е напряженнОсти и Оля пО "-'-;;.;„:::-,'-:;. (1 8,2) Е= — — = —— Ф 2)~В,': т)1 (2" — а") ~(а3" — Ь'"3 1) При 2= г 2кт~и (~ 2и 2п) в — — + — 2„ е'2" '" = Е,е'2" '" тп ~Ь2" — (аг) "~ (~ — а") т.е. Вектор напряженности электрического поля направлен по радиусу. Для данных задачи где знак «+» соответствует случаю А, а знак « — » — случаю Б.
Эти зависимости представлены на рис. 18.8Р, а, где М = 2ик,~тл. ~ )и+ 1/2) 2) При 2 = ~е 2ыо~ ти ~Ь2" + (аг)"~ (г" + а") — (к+ 1/2) Ее л Т Вектор напряженности направлен по радиусу. Для данных задачи Е= 1+ 2 — 2лаог 1 + ~а/~)6 Смысл знаков такой же, как и в первом случае. Эти зависимости представлены на рис.
18:8Р,б, где Х = 2гко~ти. 3) При Л = Ьел ~д т Ь2п 2л + 2„— ~Л 2~со Ь ~~ Ь'" + а'" — 2Ь"а" соя жх Для данных задачи 1 т, е, ~ — ~т, + ти) = (1+ 21, 2~аь ' 2юЬ Реше ни е. Комплексный потенциал заряженной оси, проодящей через точку Я = + иЬ, т в~ = — 1п(2+ яЬ)+ С 27~8о Комплексная напряженность поля оси по ~18.2) Е~ —— т/2~со (: + иЬ). Е3 1 1 1Яд т.е.
напряженность поля практически не зависит от угла ж. 13.9. Комплексный потенциал электрического поля ю = =~А агссоз~ф'а)+ С,где 2 = х+~у; С = С~+~С2 — комплексная постоянная; А и а — вещественные постоянные. Найти уравнения линий поля и эквипотенциалей. Принять потенциал точки х = 5а, у = О равным нулю и нулевой линией полЯ вЂ” линию, проходЯщую через точку х = О, у = О. Определить постоянные С1 и С2. 18.1О. Внутри проводящей трубки диаметром 2А симметрично расположена лента шириной 2а и малой толщины. Ширина ленты намного меньше диаметра трубки, Пользуясь отсветом к задаче 18.9, определить постоянную А и емкость системы на единицу длины.
Найти распределение поверхностной плотности заряда на ленте. Определить, цилиндром какого радиуса следует заменить ленту, чтобы емкость осталась такой же. 13.11. Пользуясь ответом к задаче 18.9, определить емкость конденсатора на единицу длины, образованного двумя конфокальнъ~ми эллиптическими цилиндрами при фокусном расстоянии 2а, большем диаметре внутреннего цилиндра 2а, и,большем диаметре внешнего цилиндра 2а2. 18.12~Р).
Считая известным выражение для комплексно~о потенциала заряженной оси ~см. задачу 18.2(Р)1, най~и комплексньй потенциал, описывающий электрическое поле бесконечного ряда одноименно заряженных осей, которые расположены на оси х на равных расстояниях Ь друг От дру га (рис. 18,12), Определить функцию потенциала и функцию потока. Найти уравнения семейств эквипотенциалей и линий поля.
Построить несколько эквипотенциалей и линий поля. б22 Рис, 18,12 Рис. 18.12Р -> Комплексная напряженность поля бесконечного Ряда осей т=+сс Й~ 1 т 1 1+ Е= Е = е 27~8 а 3ф О ~ — тЬ г+ тЬ Обозначив 2, = кр'Ь, получим: Выражение в скобках есть ким образом, 'б й а Е = — с$я д1 27ГГц Ь разложенный в ряд с~я 2~. Та- не отличаегся от полученного другим путем в задаче 18.12.
2) В задаче 183 было получено выражение для комйлексного потенциала и заряженных осей, расположенных на окружности радиусом а: т ю= — — 1п 1— 237ео д Аналогично тому, как было получено выше, -~е ' "'='"" при ~ ~7 я и — — ~~п — "2 + 1п 2 23780 Ь вЂ” Ь 2 2 — и~~ Ф2 П ервое слагаемое соответствует полю, рассмотренному выше.
Второе слагаемое — это однородное поле, комплексная напряженность которого по (18.2) т .н . т Е = — ~ — = ~ — — =~Е„ 2еяо Ь 2еоЬ т.е. поле направлено вдоль оси у~ (рис. 1813Р). Таким образом, общее поле создается заряженными Осями +т, расположенными на оси х2 на расстоянии Ь друг от друга, и заряженной плоскостью, паРаллельнОй Оси х и неГущ Р не~,у'Щеи заРЯД н,а — т/Ь на единицу длины вдоль оси х2. Плоскость находит некотором расстоянии Ь от оси х2, большем, чем Ь„на Д ТСЯ котором поле осей р осей практически однородно (см. решение задачи 18.12).
Если у, < — Ь, то 1е '~"-"~ 1=е"'" <е 2" <<1 и можно считать в =О т.е. ь и =, т.е. По~енциал всех точек э~ого пространства (у~ < — Ь) равен нулю — поле отсутствует. Если у2 —— Ь > Ь, то ~е ~~'='-'~ ~ = е"'У'~ > 2" >> 1, е », при этом т и = — — 1п ( — е '~"-"~~) = — 1 — Ь + у (х ~ + Ь/2Д и потенциал заряженной плоскости <р = — тЬ/Ьяо.
Если оси заменить тонкими проводами радиусом го (г о «Ь), то при ~~ = тЬ+ гое'~ погенциал 626 ,р — Ке 1П(1 — е -" ) = — 1п —. — ~2яг2/Ь 27юо 27ИО 2!б" о Напряжение между проводами и плоскостью м'. Емкос*ь системы„приходящаяся на единицу длины вдоль ..'-,::: Проводов и на ширину Ь вдоль оси х:, т с,о с У 1 Ь Ь * — 1п + —- 2я 2~го Ь Это выражение для емкости можно получить и предельным переходом из формулы (и. 4) решения задачи 18.7. Рис. 1о1ЗР 18.14(Р).
Считая известным выражение для комплексного потенциала бесконечного ряда одноименно заряженных осей, расположенных на оси х на равных расстояниях Ь друг от друга (см. задачу 18.12), найти комплексный потенциал знакопеременного ряда заряженных тонких проводов радиусом го (го « Ь), расположенных на оси х на равных расстояниях Ь/2 г друг от друга (рис. 18,14). Определить: 1) функцию потенциала и функции потока; 2) емкость, приходящуюся на шаг Ь системы; 3) составить уравнения эквипОтенцийлей и линий пОля. Рекомендуется дополни~ель~о по~уч~~~ ко~пле~сный потенциал рассмйтривйемОЙ задачи предельным перехОдОм в за" даче 18.4. Р е ш е н и е, Комплексный потенциал ряда пОлОжительно заряженных Осей яд ОтрицательнО заряженных Осей сдВинут Относи рЯда положительна зарЯженных осей на Ь,'2 /, поэ.гаму комплексныи ПОтенциал этОГО ряда ~омплексн~ ~й потенциал всех осеи Ц ОтДЕЛИв .
делствительную часть в от мнимой получим функции потенциала и потока: К г сЬ 2 — у — са$2 — х Ь Ь «~ = — — 1п 4~тео к Г сЬ2 — у+ СОБ2 — х Ь Ь 7 О ьЬ 2~«вЂ” ф = — — „агс® 23780 Х яп 27«вЂ” 'о 2) Погенциал положительно заряженных проводов поч чим, ПОмссгив тОчк б у наблюдениЯ на поверхности тонких пОлО- жительнО заряженных прОВодОВ, т. е. пОАОжиВ е = иЬ + + гое'~(~о << О), при этом Аналогично получим для отрицательна заряженных проводов при д = аЬ+ — + ~ е~ потенциал «р О «Р- = «Р+ Напряжение между прогиВОпалОжна заряженными и ОВО" дами И ПРОВО" Емкость„приходящаяся на шаг системы, Ь Со = т/У = ~ср/1п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
