Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е ни е. Применив известнОе ре1пение для П1ара В Од" поле к скалярБОму маГнитному пОтенциалу В комп фОрме, ПОлучим для поля Вне п1ара 6,5 см И1 '„:,'$О см. атносит "':;нитное " ~01 А/ Ф.:-точке -;индра '-::':;:-- Пост ':"ПеРиОД : ры (ри р, „— ~~г„Во 3 Н 1+2 " —" — з- со~о; Д,„+ Ъ1ги 3 р „— ~$г„Ло и 1 "=--" —, ~1ПО го р +2ц Д В 2к = РьФоН2л,' В2~ — р2„роН2 Для рассматриваемой точки (Я = Ко,' 0 = 45') Зр,„ Н.р, = Но " — = 0,15 '. 36'50' А/см; н~ + Ъз ~/2 ЗР2, 1 Н28 = — Но — = — 0,69 '.
— 3" 46" А/см. Н1, + 2Рг. ~Д~ Рис. 17,55Р Мгновенные значения Ни —- 0,212 81п(ом+ Зб'50') А/см; Н~е = — 0„975 яп (см — 3'46') А/см; В2д — — ро 0,975 яп (а~ — 3'46') Вб/см2; В = — р 4,5 яп (в~ — 44'22') Вб/см~, где р, =4п 10 ~ Гн/см. П ри соответствующем выборе масштабов геометрическое место для обоих векторов одно и то же (рис. 17.55Р, где указаны в градусах значения а~). 17.4. Энергия и силы в магнитиом поде Л.%. Индуктивность однослоинои короткои катушки на низкой частоте приближенно определяется выражением Х,-- аул 2 = 0,04У в ~(9У+ ИИ) мГН, где У вЂ” радиус витков, м; 1 — длина катушки, м; в — число витков катушки.
Определить силу, стремящуюся растянуть катушку, и силу, стремящуюся разорвать витки катушки, при токе Х =2,45 А, если у = 0,05 м; Х = 0,2 м; в = 100 витков. 17.57. Две катушки вариометра соединены последовательно. Индуктивности катушек Ь, =90 мкГн и Х,2 — — 160 мкГН* 606 циент связи между катушками й = 0,4 сов и, где а — угол осями катушек. ределить вращающий момент, действующий на каждую шек, при й = 0,24 и токе в катушках Х = 10 А. 58. На стальное кольцо нанесена обмотка, содержащая витков. В кольце сделан поперечный зазор длиной мм. Средняя длина магнитной линии в кольце 12 —— Поперечное сечение кольца Я = 10 з м'. Относитель- нитная проницаемость стали Р„= 8ао.
ределить энергию магнитного поля в стали И", и в воззазоре И', при токе в обмотке Х =1 А. Вычислив энергию магнитного поля, определить индуктивность и силу, стремящуюся уменьшить зазор. 9(Р). При поражении молнией трубчатого молниеот- уба оказалась сплющенной. ределить давление, действовавшее на трубу при токе Х = 200 кА в предположении, что ток протекал лишь м поверхностном слое трубы (поверхностный эффект). ый радиус трубы У0 = 1,25 см.
шение. Силу, с которой магнитное поле действует рхность трубы, определим из выражения Р„= РИ'/дт~, энергия магнитного поля, и — обобщенная координата, ставляющая силы по этой координате. именим это выражение к силе, действующей на элемент ОСТИ 6Б = 1Ур 6Ь. как ток сосредоточен на поверхности трубы, то юе поле отлично от нуля лишь вне трубы.
Если эле- верхности под воздействием силы переместится на Й", ащение энергии магнитного поля по (17.23) 1 0 И~ = — В'о д Р = — — ВН дЯ й 2 действующая на элемент поверхности И, 1 ИР = РИ'/дУ = — — ВНЙБ. ;::;мту '" 'ушки ;,;;.:-' 17.5 :"да тр '-лнии :ружн Ре - пове , ' '6НТ ПО , .'О, прир ! „*.';ф*' Зна 607 ление 1 ~р /Дя ВН Д0Н = — — ~.~,~ (Х/2ЙУО) 2 = — 407 Н/см2. к минус указывает на то, что сила стремится уменьадиус, т. е, с~~~ае~ трубу.
68(Р). Выяснить, можно ли силу в предыдущей задаче ть так: индукция В = р~Х/2кУО, на единицу периметра тся ток Хо — — Х/2ку~ и сила Р = ВХ~. длина якоря'~ = 50 см, наружный диаметр якоря В = 20 см, диаметр окружности, на которой расположены провода, И = = 16 см. Относи~ельная магнитная проницаемость стали о,, =- = 500. Ток в витке 1 = 50 А.
Считая поле под полюсами однородным с индукцией В = 1 Тл (при токе в витке, равном нулю), определить значение вращающе~о момента М, действующего на якорь; оценить силу Г, дейстВующую на проВОда, и момент Мо, Обусловленный давлением проводов. Решение. Обозначим индукцию в зазоре слева от проводника В„, а справа В„. Так кяк магнитная проницаемость сажали намного больше проницаемости воздуха, то в соответствии с законом полного тока (17.1б) можно считать, что („— В„) О = р01, где 5 — зазор между статором и якорем, Пусть при отсутствии тока в якоре индукции в зазоре В,, тогда В„+ В„= 2ВО.
Энергия магнитного поля в зазоре (в единице объема) слева от проводника И'О, — — В',/2ро, справа И~о„—— = В'„/2ро. Приращение энергии при повороте якоря по направлению движения часовой стрелки на угол Ьи Изменением энергии в стали при повороте якоря на угол Ли можно пренебречь, так как р„» 1. Вращающий момент, действующий на якорь, М = ЛВ'/Ла =.- =1ВдИ = 5 Н м. Силу, действующую на провод в пазу, можно оценить, исходя из следующих соображений.
Если паз глубокий, то можно считать, что напряженность магнитного поля В нем приблизительно равна напряженности поля в стали, а индукция в и, раз меньше, чем в стали. Следовательно, сила, действующая на провод В пазу, Г= — Ц=ОО5 Н, Во Р а момент этой силы ВОЫ д М~=Ы= — д=М вЂ” =8 10 Н м„ Н ~Р. Таким образом, момент, действующий на провода В пазу примерно в и„раз меньше момента, действующего на якорь ВВедеше к Гл.
18 Действительная и мнимая части аналитической функции плексного переменного к(~) = ~р(х, у)+~ф(х, у), где х+~у, удовлетворяют двухмерному уравнению Лапласа бх ду д~' Естественно, что при этом и функция ю удовлетВоряет внению Лапласа. Поэгому каждая из функций ~р и ф может дставлять потенциал плоскопараллельного поля, тогда гая представляет функцию потока, при этом и — функция мплексного потенциала. Уравнение семейства эквипотенциальных линий в плоско- ( Ф ) ,;:;-,-':АР У ,;:;::,„:;::жи Уравнение семейства линий поля (силовых) в плоскости у Ф = сом1 (или ~р = сопй). Поток вектора Е между линиями ф~ и Ф, на единицу ины системы (в направлении, перпендикулярном плоскости у) Определяется как разность функций потока: Ф =Ф вЂ” Ф2. Например, поле зар~~енноЙ с л~~еЙной пло~~ость~ ~ оси якууме, проходящей через началО координат, ОписыВается нкцией комплекснОгО потенциала Составляющие напряженности поля дЧ дФ д Р дФ Е вЂ” — — = — — Е = — — = —.
(18.1) дх ду ' ' ду дх Комплексная напряженность поля Е = Е„+ ~Е, может быть ределена и непосредственно по функции комплексного поциаля ю: Е = —,~у~д . (18.2) ЭтО семействО Окружно( гей проходящих через = — й, с центрами на оси ~у. ) значение функции потока для Линии поля, проходящеи через точку М (рис. 13.2), т 2йу Ф = агсф 2ухо й — х — у" Поток вектора напряженности через отрезок Оси у (на единицу длины ДВухпроВОДИОЙ линии) От у = О ДО у = й 2й~ О т Ф(у = а) — Ф(у = О) = — агар ~, — агс1д —, 27гЕО й — й' й 48~ Это составляет 1/4 часть полного потока.
18.3(Р). Найти выражение для комплексного потенциала поля, создаваемого и параллельными заряженными осями (нити сетки электронной лампы) с зарядами ~ на единицу длины (рис. 13.3). Оси проходят через точки окружности радиусом а, ° ~ ~ ф г ф' %. ф ~),1~ ф'=О,~ 0 и=в Рис. 18.3 Рис. 18.3Р лежащей в нормальной к ним плоскости, и расположены на равных расстояниях одна от другой и центра окружности. Подобрать постоянную так, чтобы потенциал в центре окружности равнялся нулю. Получи~ь уравнения эквипотенциалей и линий напряженнОсти пОля.
Построить несколько экВипОтенциалей и линий пОля при и = 6. Решение. Комплексный потенциал оси, расположенной в начале координат (см. задачу 13.1), г ю1 — — — — 1п ~ + С . — 2 — — 1' Комплексный потенциал оси, расположенной в точке е„= = й.~ 27гги/и, , 2й — Ф ж~ — — — — 1п я — ае " + С2, 27гг.о где и — общее число осей; и7 — порядковый номер оси Функция по генциала г дед = 1п 1+ — 47тео й — 2 (г/а)" сои ии Функция потока ф т Б1п ий ~7 = 1гп ~~ = агсф семейства эквипотенциалей (~р 1 — К + (г/й)~" при К=е 2 (г/а)' семейства силовых линий ® 1 при С=1~ (Йп им)/С + сои ии Уравнение = Ф = СОПИМ. сов ии = = сом1) Уравнение г й На рис.
13.3Р, где ф' = софит, показаны тенциали и линии поля (пунктир) при и = 18.4. На цилиндрической поверхности ра ых расстояниях друг от друга расположень и отрицательно заряженных проводов ( ровода г, намного меньше расстояния ме Найти: 1) комплексный потенциал эле функцию потока и функцию потенциала; 2) на еДиницу Длины; 3) уравнениЯ семейстВа и семейстВа линий пОля. некоторые экви- 6. диусОМ й на раВ- 1 и пОлОжительно рис. 13.4). Радиус жду проводами.
КТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, емкОсть сис'темы эквипОтенциалеи 615 Комплексный потенциал всех осей л г — М т — 1п ~ — йе + С = — 1п(л' — й)+ С, „":'::;,;:,~Ф' =— 27ГЕО ш=1 Так как при д = О должно бьггь и = О, то С = — 1п( — а"), 27тео ",;:~и этом Я" — й" г — л 1п 1 — =„ — 27ге() — й" 27те(7 й Записав ~ для произвольной точки поля в виде ~ = г ' и, "~-::;-:,,''',:::-Получим: и = — — 1п ~1 — (г/а)",е' ~. 27тео 18.5.
На цилиндрическОЙ поВерхности радиусОм а на равных расстояниях друг ОТ друга располо'кено ~ положительно заряженных проводов ~рис. 18.5). Отрицательно заряженные провода ~их тоже л) расположены на цилиндрической поверхности радиусом о и сме~цены на уГОл ~. Радиус прОВОда Го намнОГО меныйе расстояния между прОВОдами. Найти." 1) кОмплексный пОтенциал злектрическОГО пОлЯ, функЦию потенциала и функцию пОтока; 2) емкость системы на единицу длины, 13.6(Р). 1) Найти комплексный потенциал электри мского поля, создаваемого центральным положительно заряженным + и7 прОВОдом и параллельными ОтрицательнО заряженными — 7 проводами, которые расположены на равных расстояниях Рис. 18.6Р друг от друга и симметрично относительно центрального провода ~рис.
18.6), Напряжение между це~тральным проводом и Остальными (имеюйдими ОдинакоВые потенциалы) равнО Г. Радиус каждОГО провода 1'О намноГО меныпе расс7ояния между ПРОВОДами. '!:.: Г "-:еес ;"~-!-~: ~'!!"Й,' ф'Я МИ вЂ” 7 Д;;~ ПОВЕРХ еделить емкос"Гь системы на единицу длины и сравемкостью цилиндрическОГО кОнденсатОра, ОбразО" м же центральнь~м проводом и ОболочКОЙ рад~усом = 1~'~-'ф и д ти уравнения эквипо7енциалей и линий пОля; пОстрО" ~о/а = 1/4О и и = б. н и е. 1) Комплексный по~енциал можно представить потенциала ъУ~, ОбуслОВленнОГО зарЯдОм + лт на ом проводе, и потенциала и~~, обусловленного заряна остальных проводах (см. рецжние задачи 183): янную С леГкО Определить, если задаться пОтенциамер, периферийных прОВОдов, равным нулю; ТОГда , 2 и ф Тих и ОВОДОВ, т. е.
при ~. = аГ + ~'ос НОСЪИ 3 Р МОЖНО СЧИТатв.' 2и ~'() ~ Р— — ~и 2 =а 1+И вЂ” В 4 а ф Р— — 61 р е,д — Я.е 10 иС— = — 1п иС 2юо ъ (~че щ~вательно ( = а/иГО и и Комплексную переменную ~ для точки М поля (рис. 18.б) "-;:",.Йредставим в виде д = ~е'", тогда 27~ВО ито :~;:.;:Откуда Опред лим функЦию пОтенЦиала; 2 2и и 1П вЂ”, — + 1 — 2 — СОВ ИИ АБО л Г() Емкость системы на единицу длины при И'Г И7 2нко Со= — = — = У Ю+ а 1 а 1п — + — 1п— Го И ИГО Емкость цилиндрического конденсатора 2~В~) 2378~ 1п (а/~'О) 3„69 С 1. 1п(а/и~о) 1 1п и — =1+— = 1+ — 1 —, — = 1,О86.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
