Сборник задач по ТОЭ_Ионкин (976477), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е ш е н и е. Для определения плотности тока в земле о пользоваться методом зеркальных изображений: влияаницы раздела сред (поверхности земли) заменим током фиктивного электрода (рис. 17.23Р). Применив принцип ения„определим напряженность магнитного поля в земле. женность поля истинного тока, как найдено в задаче 17.22, ( тьф 17 ;;;;,'::=:ао из :-';,-;",;::::Уаспо ':;::.считая -'-:,. Яалож .","' ' Напря оси симметрии г, т.е.
при О = О ЯяпОН = О = — 112~+У®+ ~- 1) Так как напряженность поля не может быть бесконечно бОльшои, то С2 = О. 2) Так как в бесконечности поле отсутствует, то Сз = О, 3) Из граничного условия (17.1О), т.е, Н~~ — — Н2~ (так как р,~ — — р„~ = 1), или д«р~/И = д«р2/дВ при Л = Ь получим С« = = — 2С«/Ь', Из граничного условия (17.9) или — д«р~/Яд0+ + д«р ~~Я д0 = У~ при В = Ь, где У~ —— Л/Ь д0 = пег/2Ь~ = па йп О/2Ь, получим С~/Ь' — С, = пц/2Ь. Из двух уравнений для С«и С~ находим: С« — — — пц/ЗЬ; С~ — — пцЬ'/6. Потенциалы: ~~я п«~ па Ь' «р = — — Я сов 0 = — — =:; «р2 — — — — сов О. ЗЬ ЗЬ ' 6 А2 По известным потенциалам сразу находим напряженность ПОЛЯ: д«р~ па Ь~ Н, = — — '~ = — — я'П0, Вд0 6 М~ Это решение определяет напряженность поля внутри и вне оболочки в любой точке, а не только на оси.
Нетрудно видеть, что для напряженности поля на оси решения задач 17.9 и 17.27 совпадают. 17.28(Р). В цилиндрическом медном проводе радиусом а есть цилиндрическОе Отверстие радиусОм ~о„расположенное на расстоянии д от оси прод~ вода (рис. 17.28). По проводу течет ток постоянной плотности Х '3 л Определить векторный потенциал и магнитную индукцию, составить уравнения линий магнитной индукции: Ц внутри отверстия, 2) в проводе и 3) вне провода.
Построить линии, проРис, 17,28 ходящие через точки; а) х =О; у = О„' б) х = а' — ~о,' у = О; в) х = а; у = О; г) х = И + ~0; у = О; д) х = а,' у = О при а =- = Ъ~ = 4го и график зависимости В,(х), при у = О. Р е ш е н и е. Применим принцип налОжениЯ следующим образом. Будем считать„что поле создано двумя токами— 582 Отекающим по сплошному цилиндру ОКОМ ОИ жЕ ПлотНОСтИ, ПРотекакиЦим по отверстию), Поле двух токов анных каждым из этих токов. Кроме тривае- отно- Ом плотностью У пр иусом а и встречным цилиндру радиусом но сумме полей, созд о, каждое из рассма х полей симметрично ЕЛЬНО СВОЕЙ ОСИ. Сначала определи вого тока. Для этого внение Пуассона для о потенциала (17.8).
Так как плотност еет только ~-ю сос ю, т.е, 1=1., то и илу симметрии пол ит от координат и и эффект не учить этому уравнение илиндрической систе М ПОЛЕ решим вектор- ь тока тавляю- А=А,. е не зая (крае~вается). Пуассона ме коор- ;--"'--:::;: динат принимае~ вид (см. приложение 4): 1 д сА — — г — = — Ро-«. г дг дУ Проинтегрировав это уравнение получим выражение для векторного потенциала внутри цилиндра 583 А, РоУ~ +С,1йг+С,. Вне цилиндра У = О и А, = Сз 1й(г/С,).
Постоянные Определим из условий на оси и на поверхности цилиндра. Так как напряженность поля на оси цилинд а др При г = а А; = А, (17.11) и (1/рор;,) дА;/й = = (1/РоР,„) аА„/й (Н1, —— Лг,) или — РоУаг/4+ Сг — — Сз 1п (а~С4) и — роУа/2 = Сз/а, откуда а 1 1 2 з = — Ро Уаг ' Сг = — РоУа 1 — 1п— Таким Образом„векторный потенциал внутри и Вне цилиндра определим по выражениям 1 2 2 г2 А; = — ро,Уа 1 — 1й — — — при г < а.
4 ппр 1 С,' А, = — ро.Уа 1п — ~- при г > а. г 4 г2 оп ели Постоянную С~ оставим неопределенной. Бе можно л ред ть после выбора точки. где векторный по~енциал ЛЕГКО раВен нулю. Поле второго тока определим по аналогичным выраже- ниЯМ. Их легко полУчить пз пРедыдУщих, заменив а на го, г на г1, С~ на С, и У на †,У: 1 г2 г2 а; = — — ро,Уго 1 — 1п — — — — при г < 2 О 1 4 С2 2 го С2 ае Ро'Уго 1п 2 пРИ г1 го 2 ПОле двух тОкОВ определим налОжением пОлей первОгО и второго токов. 1) Точки В1 гутри ОТВерстиЯ (г1 < го) ЯВЛЯЮТСЯ ВпутреННИМИ для обоих цилиндров, поэтому 1 2 2 А+,,у 2 „2 г+ г г; — — г1 — а 1п — +г 1й— — о В Выоерем точку, где А, = Π— центр отверстия (г1 —— О и Г =ф ПРИ ЭТОМ О г г г аг 2 го — а 1п=+г 1п —" г С2 о А, = — Ро,У(д + г1 — г ).
— о ;:::.;:.;::;:-2) Точки в провод А =А;+а,= ,:.":;::-'::;::;,;З) Точки вне про ",~~ьшого цилиндра, и 1 — + 4 !.'.:::,':-'. Уравнения линий '-'""'го поля (17.6) легко орного поте1 ЦнаЛа :>-,"'',...".--- а) Внутри ОтВерсти ,:;:+ г21 гг = С. ИМЕЯ ':;'::::дг+ уг~ = ах — д~ 2й' — 2д в) Вне провОда фФ;, В обоих выраже Если требуе~ся о ., дукции, проходящей ,~ЭМи г = г' и ' ":;.~ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ Э 'Внии, при этом уравн ;,„ИД." 1) Х = Хо при г1 ,;„1:. ~~ го ~~ г',„г ~ ~а -': г'; '-:В провод.
Уравнение ,;,:'Точку хо (в отверстии) 1п (г21Я) е (г1 > го г < а) ЯВЛЯЮТСЯ ВНутреНними И ВНЕШНИМИ ДЛЯ ВТОРОГО, ПОЭТОМУ вЂ” р,У го 1п — +1 +д 1 2 Г1 2 2 о го вода (г > а) являются внещними и для для малого, поэтому У а 1й — — го1п — +го+ Й вЂ” а 2 а 2 го 2 2 2 г2 Г1 магнитной индукции плоскопараллельопределяются при известной функции я это уравнение приводит к выражению в виду, что гг — г21 = (хг+ уг) — ~(хполучим: х=С или х=д — С~2а.
нии магнитной индукции в отверстии— осн у. 1п —;+1 +д — г =С. 2 Г1 2 2 — го1п — + го+а — а = С 2 ГО 2 2 2 г2 ниях г' = х'+ у' и г', =(х — д)2+у'. пределить уравнение линии магнитной через заданную точку М с координата следует найти значение постоянной той точ~е, и подставить его в уравнение ения линий индукции примут следующий < го,' 2) ~гг — (г')2~Я = 1п1г21ф'1)21 при 3) (а~/го1 1й ~г~Дг')21 = 1п Яф1)21 при и, проходящие внутри отверстия, Входят линии в проводе, проходящей через = (г — го + " — 2ахо)/~ о Часть линий из провода выходит в окружающее про ра„ ство. Точка а расположена в проводе (г' = 0; г', = д уравн „„ линии индукции, проходящей через эту точку г2/г2 1П(г2 ~.) Д " то'ки б (' =а — го' г1 = го) уравнение линии индук д, Р' — (~ — го)'1/г~ -= 1п(",/г',) или г'/.,' =1+ 1п(,2/,2).
Точка находится в отверстии (х = а); соответствующая линия индукции пересекается с поверхностью отверстия в точке г' =- и 'г"' = и (г') = а +'го. Уравнение этой линии в проводе (г2 — а~— 2,2 — го)/го =1п(г1/го) или г'/го —— 5+ 1п(г',/г,'). Для точки г (г'.= = Ы + го,' г', = го) уравнение линии индукции 1г' — (а'+ г~)2~/г~2--- = 1ПЯ/го2) или г2/г2о =9+1п(г21/гД). Для точки д (г' = а; г', = = а — а) уравнение линии индукции (она проходит вне провода) (аР/ф1~(~~/а~) = 1~ ~~~~/(а — Ы)~~ или 1б1~(~~/Ъ~) = 1 (4г21/а2). По этим уравнениям линии индукции построены на рис. 17.28Р, а. Вектор магнитной индукции определим при известной функции векторного потенциала по (17.3).
Так как векторный потенциал имеет только одну составляющую А = А то В =- Й. Х = дА/ду и В, = — дА/дх. Внутри отверстия 1 А, = — роУ(~2+ д2 — 2дх), так как г' — г', = ЪЬ вЂ” а'2 и В„= 0; В„= р,,И/2. В проводе 1)г + А2 — — — р,1 го21П 2 + г,'+02 — х' — у' г В2х = ' Ро~ го 2 — х 2 (х — а)2+ у2 Вне провода 1 Аз = 4 1~0'~ а 1п 2 +го 1п + г2+. а2 а го и зх = Ко~у го — 2 — 2 — а (х — 4+у х +у а рис. 17.28Р,б. коаксиальной литок Х = 1000 А.
см выполнен из алочка с внутреном гз =2,24 см— исимость В,,(х) при у = 0 показана н 29. Определить векторный потенциал о которой протекает постоянный нний проводник диаметром 2г1 = 2 агнитного материала (и„~ — — 100), а об диусом г2 = 2 см и внешним радиус ерромагнитного материала. ЗО(Р). Определить векторный пОтенци (рис, 17.30) с током 1, провода кот омагнитного материала. Найти макс 17.
"~утре 17. "иии ал двухпроводной ОРОЙ СДЕЛанЫ ИЗ имальный магнит- (."! ° Рис, 17.3ОР,:;; ояния между ВЫЯСНИТЬ, К Построить 4) только,вне пр ;Жнутри, частичн Реше Н~е. .,:Линдрическог О ;~~учено в задаче 1 а О ( 2 2 А' = — р,7а 1 — 1П вЂ” — — при г1 ~ а; ф 1, С4 А,' = — ~йоХа 1п — 2 — при г~ ~~ а„ е 1 О г', ,!'-'~де г, — расстояние от оси этого провода до точки наблюде:;-",,::::зия М. Для второго ~ро~ода с ~аким же током обратного направ- 587 иницу длины линии, у кОтОрОЙ ОтнОшение расосями проводов 2а к их радиусу а равно 4.
ак надо расположить контур, чтобы он охвальный потОк. несколько линий поля, которые проходят: оводов, б) только внутри провода, в) частично о вне провода. Выражение вектОрнОгО пОтенциала для ци провода с током плотностью 3 = 1. было по- 17,28: 2 2 г а А1 Дов7а 1 1п при У < а' С2 2 б а 2 1 С62 Ае = — — КоУа 1п —, 4 ПРИ Уг > а„ где уг — расстояние от оси второго провода до той же точки наблюдения.
Вне проводов А, = А', + А", = — роУаг 1п У2С2 За точку нулевого векторного потенциала координат (У, = Уг), тогда С~/Сб — — 1 и 1 Уг А, = — ро,Уа 1п — при У~ > а и Уг У1 Внутри первого провода 2 А = А+ А" = — роУа~ 1 — — — 1п а примем начало при У,<аи 2а' — а<У <,ц+а Внутри второго провода Аг А +Ж = Ро~а — 1+ — +1п— 4 а при Уг < а и 2д — а < У, < 2а + а.
Уравнения линий магнитной индукции вне проводов определяются из уравнения (17.6): А, = сопь1, т.е. Уг/У, = К. 3то уравнение такое же„как и уравнение для семейства эквипотеяциалей электрического поля двух заряженных осей, совпадающих с Осями РассматриВаемых проводов. Таким ооразом, линии магнитного поля вне проводов двухпроводной линии совпадают с эквипотенциалами электр~~еско~о поля тоЙ же линии, если можно считать, что эквивалентные электрические оси сОВпадают с Осями проВодОВ. Уравнение линий магнитной индукции внутри первого провода определяется из уравнения А1 —— сопй, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
